Kräfte zusammensetzen und zerlegen

Kräfte sind Vektoren: Sie haben Betrag und Richtung, und sie addieren sich nicht wie Zahlen, sondern geometrisch, nach der Parallelogrammregel. Der Versuch prüft diese Regel am Kräftetisch (drei Kraftmesser im Gleichgewicht) und wendet sie rückwärts an: die Zerlegung einer Kraft in vorgegebene Richtungen, das Handwerkszeug für Seile, Stützen und die schiefe Ebene.

Die Vektoraddition ist die Rechenregel der Mechanik schlechthin: Ohne sie gibt es keine Statik (warum hält die Brücke?), keine Kräftezerlegung an der schiefen Ebene und später keine Impulsrechnung. Sie ist zugleich der erste Punkt, an dem die Mathematik der Physik sichtbar Arbeit abnimmt: Der gezeichnete Pfeil ersetzt das Experiment, sobald die Regel einmal geprüft ist.

Die Parallelogrammregel formulierten Stevin und Newton im 17. Jahrhundert; Newton stellte sie als Zusatz (Korollar) an den Anfang der Principia. Sie gilt für alle vektoriellen Größen der Physik: Wer sie für Kräfte geprüft hat, besitzt sie auch für Geschwindigkeiten und Impulse.

Hänge das 500-g-Stück symmetrisch an zwei Schnüre mit Kraftmessern. Miss die Seilkräfte für $\alpha = 0^\circ$ (beide senkrecht), $30^\circ$, $60^\circ$ und möglichst flach ($80^\circ$), und vergleiche mit der Zerlegungs-Vorhersage.

Zerlegung ist das Parallelogramm rückwärts: Die Last zieht mit $F_G$ senkrecht nach unten; die beiden Schnüre können nur längs ihrer Richtungen ziehen. Gesucht sind die Seilkräfte, deren Parallelogramm-Resultierende genau $F_G$ entgegenwirkt. In der symmetrischen Anordnung trägt jede Schnur mit ihrem senkrechten Anteil $F_S \cos\alpha$ die halbe Last:

Die brisante Vorhersage steckt im Nenner: Für $\alpha = 0^\circ$ teilen sich die Schnüre die Last ($je 2{,}5\ \mathrm{N}$). Bei $60^\circ$ trägt jede bereits die volle Last ($\cos 60^\circ = 0{,}5$). Und für $\alpha \to 90^\circ$ (straffe Leine) geht $\cos\alpha \to 0$: Die Seilkräfte wachsen über alle Grenzen. Eine perfekt waagerechte belastete Leine ist mathematisch unmöglich.

Zwei Stative mit Umlenkpunkten in gleicher Höhe, zwei Kraftmesser in den Schnüren, Winkelmessung per Geodreieck gegen ein Lot.

Symmetrische Aufhängung mit eingezeichnetem Kräfteparallelogramm an der Last: F_G nach unten, die beiden Seilkraft-Pfeile längs der Schnüre; der Winkel α zwischen Schnur und Lot.

Aufbau: Kräftetisch (oder Whiteboard mit drei über Umlenkrollen geführten Schnüren) mit zentralem Ring, drei Federkraftmesser, Winkelskala bzw. untergelegtes Papier für die Richtungen; für die Zerlegung zwei Stative mit schrägen Schnüren und ein Wägestück als Last.

Schritt 1: Beide Schnüre senkrecht ($\alpha = 0^\circ$): Kräfte ablesen.

Schritt 2: Stative auseinanderrücken, bis $\alpha = 30^\circ$, dann $60^\circ$: jeweils Winkel prüfen und beide Kräfte ablesen.

Schritt 3: So flach wie möglich spannen ($\alpha \approx 80^\circ$): Kräfte ablesen und das Spanngefühl notieren.

Die Zerlegung stimmt Punkt für Punkt: Senkrecht teilen sich die Schnüre die Last; bei $60^\circ$ trägt jede Schnur bereits die komplette Gewichtskraft ($4{,}9\ \mathrm{N}$), zusammen also das Doppelte der Last: Die „überzähligen“ waagerechten Anteile ziehen die Stative gegeneinander und heben sich auf. Bei $80^\circ$ explodieren die Kräfte auf fast das Dreifache der Last: exakt der $1/\cos\alpha$-Verlauf.

Der Alltagsschluss: Eine Wäscheleine, ein Slackline-Band, ein Abschleppseil: Wer flach spannt, vervielfacht die Seilkräfte weit über die Last hinaus. Deshalb hängen belastete Leinen immer durch: Der Durchhang ist kein Schlampigkeitsfehler, sondern der Winkel, den sich das Seil zum Überleben nimmt.

Die Kräftezerlegung nach dem Parallelogramm beschreibt die Seilkräfte exakt: von der halben Last (senkrecht) über die volle Last (bei $60^\circ$) bis zum Vielfachen bei flachen Winkeln: $F_S = F_G/(2\cos\alpha)$.

Die Winkelmessung dominiert die Unsicherheit, besonders im flachen Bereich: