Kräfte zusammensetzen und zerlegen

Kräfte sind Vektoren: Sie haben Betrag und Richtung, und sie addieren sich nicht wie Zahlen, sondern geometrisch, nach der Parallelogrammregel. Der Versuch prüft diese Regel am Kräftetisch (drei Kraftmesser im Gleichgewicht) und wendet sie rückwärts an: die Zerlegung einer Kraft in vorgegebene Richtungen, das Handwerkszeug für Seile, Stützen und die schiefe Ebene.

Die Vektoraddition ist die Rechenregel der Mechanik schlechthin: Ohne sie gibt es keine Statik (warum hält die Brücke?), keine Kräftezerlegung an der schiefen Ebene und später keine Impulsrechnung. Sie ist zugleich der erste Punkt, an dem die Mathematik der Physik sichtbar Arbeit abnimmt: Der gezeichnete Pfeil ersetzt das Experiment, sobald die Regel einmal geprüft ist.

Die Parallelogrammregel formulierten Stevin und Newton im 17. Jahrhundert; Newton stellte sie als Zusatz (Korollar) an den Anfang der Principia. Sie gilt für alle vektoriellen Größen der Physik: Wer sie für Kräfte geprüft hat, besitzt sie auch für Geschwindigkeiten und Impulse.

Stelle am Kräftetisch $F_1 = 3{,}0\ \mathrm{N}$ und $F_2 = 4{,}0\ \mathrm{N}$ im rechten Winkel ein, bringe den Ring mit der dritten Schnur ins Gleichgewicht und miss deren Kraft und Richtung. Konstruiere das Parallelogramm maßstäblich und vergleiche.

Wie macht das Gleichgewicht die Resultierende messbar? Die Resultierende ist definiert als die eine Kraft, die dieselbe Wirkung hat wie $F_1$ und $F_2$ zusammen. Ruht der Ring unter drei Kräften, heben sich alle Wirkungen auf. $F_3$ muss also genau die Gegenkraft der gesuchten Resultierenden sein: gleicher Betrag, entgegengesetzte Richtung. Das unsichtbare „Zusammenwirken“ bekommt so eine Messvorschrift.

Die Vorhersage für 3 N und 4 N im rechten Winkel: Das Parallelogramm ist hier ein Rechteck, seine Diagonale nach Pythagoras $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$: Die Konstruktion sollte $5{,}0\ \mathrm{N}$ liefern, in Richtung der Rechteckdiagonale (Winkel zu $F_2$: $\tan^{-1}(3/4) \approx 37^\circ$). Das berühmteste rechtwinklige Zahlentripel der Mathematik wird zur Kraftmessung.

Kräftetisch mit Papier unter dem Ring: Die Schnurrichtungen werden mit Bleistiftpunkten übertragen und später als Linien durchgezogen.

Ring mit drei Schnüren, Winkelangaben; daneben die vorbereitete maßstäbliche Konstruktion (1 cm entspricht 1 N).

Aufbau: Kräftetisch (oder Whiteboard mit drei über Umlenkrollen geführten Schnüren) mit zentralem Ring, drei Federkraftmesser, Winkelskala bzw. untergelegtes Papier für die Richtungen; für die Zerlegung zwei Stative mit schrägen Schnüren und ein Wägestück als Last.

Schritt 1: $F_1$ und $F_2$ im rechten Winkel einstellen (Winkel mit Geodreieck kontrollieren).

Schritt 2: Dritte Schnur so ziehen und ausrichten, dass der Ring exakt zentriert ruht; $F_3$ und Richtung notieren.

Schritt 3: Alle Richtungen aufs Papier übertragen; Parallelogramm im Maßstab 1 cm ≙ 1 N konstruieren, Diagonale messen.

Schritt 4: Zweiter Durchgang mit anderem Winkel (z. B. $120^\circ$ zwischen $F_1 = F_2 = 3\ \mathrm{N}$).

Beide Durchgänge bestätigen die Regel: Die konstruierte Diagonale trifft die gemessene Gleichgewichtskraft in Betrag und (Gegen-)Richtung. Der 90-Grad-Fall bestätigt zusätzlich die Pythagoras-Rechnung ($\sqrt{3^2+4^2} = 5$), der 120-Grad-Fall zeigt das Überraschende der Vektoraddition: Zwei 3-N-Kräfte ergeben zusammen wieder nur 3 N, weil sie weit auseinanderzielen. Kräfte addieren sich eben nicht wie Zahlen: $3 + 3$ kann alles zwischen $0$ und $6$ ergeben, je nach Winkel.

Damit ist die Parallelogrammregel geprüft und darf fortan die Experimente ersetzen: Wer Kräfte zeichnen kann, kennt ihre Wirkung.

Die Parallelogrammregel ist bestätigt: Die konstruierte Diagonale stimmt in beiden Anordnungen mit der gemessenen Resultierenden überein ($3$-$4$-$5$-Fall und $120^\circ$-Fall). Kräfte addieren sich geometrisch.

Die Prüfung vergleicht Zeichnung mit Messung: Beide Seiten tragen Fehler: