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Arithmetik / Zahlen

Zinsrechnung

Zinsen, Zinssatz und Kapital: Prozentrechnung rund ums Geld.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Wer Geld verleiht, will etwas dafür, wer sich Geld leiht, muss etwas zahlen: Zinsen. Ob Sparkonto, Kredit oder Ratenkauf: Die Zinsrechnung ist mit eigenen Vokabeln und einer Zutat mehr, der Zeit. Wer sie beherrscht, durchschaut Bankangebote statt ihnen zu glauben.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die Begriffe Kapital, Zinssatz und Zinsen den Größen der zuordnen.

  • Jahreszinsen berechnen, und jede der drei Größen aus den anderen beiden.

  • Monats- und Tageszinsen mit dem Zeitfaktor berechnen.

  • Sachaufgaben zu Sparen und Krediten lösen und Angebote vergleichen.

  • Skonto berechnen und begründen, warum es sich fast immer lohnt.

  • bei einer Ratenzahlung die Ratensumme mit dem Barpreis vergleichen und die Mehrkosten als Zinsen deuten.

Die Vokabeln der Zinsrechnung

Die Zinsrechnung ist mit neuen Namen:

ProzentrechnungZinsrechnungBedeutung
GGKapital KKdas angelegte / geliehene Geld
p %p\,\%Zinssatz p %p\,\% pro Jahr (p. a.)
WWZinsen ZZdas Entgelt in Euro

Jahreszinsen

Z=K⋅p100Z = K \cdot \frac{p}{100}

Beispiel: 2 5002\,500 € zu 3 %3\,\% p. a.: Z=2 500⋅0,03=75Z = 2\,500 \cdot 0{,}03 = 75 € pro Jahr. Das Balkendiagramm unten zeigt, wie das Kapital dadurch Jahr für Jahr wächst.

Durch Umstellen findest du jede Größe: K=Z⋅100pK = Z \cdot \frac{100}{p} und p=ZK⋅100p = \frac{Z}{K} \cdot 100. Das Endkapital nach einem Jahr ist Kneu=K+ZK_{\text{neu}} = K + Z.

0100020003000Kapital (€)Startnach 1 J.nach 2 J.nach 3 J.

2 5002\,500 € zu 3 %3\,\% p. a. bringen jedes Jahr Z=2 500⋅0,03=75Z = 2\,500 \cdot 0{,}03 = 75 € Zinsen. Das Kapital wächst so Jahr für Jahr um denselben Betrag, hier ohne Zinseszins gerechnet.

Zinsen für Teile eines Jahres

Der Zinssatz gilt pro Jahr, für kürzere Zeiträume wird anteilig gerechnet.

Monatszinsen (mm Monate):   Z=K⋅p100⋅m12\;Z = K \cdot \dfrac{p}{100} \cdot \dfrac{m}{12}

Tageszinsen (tt Tage): Banken rechnen traditionell mit dem Zinsjahr von 360 Tagen (jeder Monat 30 Tage):   Z=K⋅p100⋅t360\;Z = K \cdot \dfrac{p}{100} \cdot \dfrac{t}{360}

Guthaben und Kredit

Dieselben Formeln, zwei Blickrichtungen: Beim Sparen bekommst du die Zinsen, beim Kredit zahlst du sie. Kreditzinssätze sind fast immer deutlich höher als Sparzinssätze; genau davon leben Banken.

Skonto: Rabatt fürs schnelle Bezahlen

Auf Rechnungen von Handwerkern und Lieferanten steht oft ein Satz wie: „Zahlbar innerhalb von 3030 Tagen; bei Zahlung innerhalb von 1010 Tagen 2 %2\,\% Skonto."

Skonto ist ein Preisnachlass, den du bekommst, wenn du früher zahlst als vereinbart. Gerechnet wird er wie jeder Rabatt, der Rechnungsbetrag ist der :

Nachlass=800 Euro⋅2100=16 Euro⇒du zahlst 800−16=784\text{Nachlass} = 800\text{ Euro} \cdot \frac{2}{100} = 16\text{ Euro} \quad\Rightarrow\quad \text{du zahlst } 800 - 16 = 784 €

Warum verschenkt ein Händler freiwillig Geld?

Weil er sein Geld 2020 Tage früher bekommt und so lange nicht darauf warten muss. Und weil dieses Warten für dich erstaunlich teuer ist, das kannst du mit der Tageszinsformel von oben nachrechnen.

Du sparst 2 %2\,\% dafür, dass du 2020 Tage früher zahlst. Wie viel wäre das auf ein ganzes Jahr gerechnet? Ein Zinsjahr hat 360360 Tage, also passen 360:20=18360 : 20 = 18 solcher Zeiträume in ein Jahr:

18⋅2 %=36 %18 \cdot 2\,\% = 36\,\%

Wer das Skonto verfallen lässt, zahlt also für die 2020 Tage Aufschub so viel, als hätte er einen Kredit zu 36 %36\,\% pro Jahr aufgenommen. Selbst ein teurer Bankkredit ist billiger. Deshalb gilt die Faustregel: Skonto nimmt man immer mit.

Ratenzahlung, warum Teilzahlen teurer ist

„00 € Anzahlung, nur 110110 € im Monat!", bei einer Ratenzahlung bezahlst du eine Ware nicht auf einmal, sondern in mehreren Teilbeträgen, den Raten.

Das klingt bequem. Aber rechne einmal nach, was du insgesamt bezahlst. Die Couch kostet bar 1 2001\,200 €; angeboten werden 1212 Monatsraten zu 110110 €:

12⋅110 Euro=1 32012 \cdot 110\text{ Euro} = 1\,320 €

Das sind 120120 € mehr als der Barpreis (siehe Bild unten).

Woher kommen diese 120 €?

Sie sind kein Aufschlag ohne Grund. Es sind Zinsen. Denn wirtschaftlich passiert Folgendes: Der Händler gibt dir die Couch sofort, bekommt sein Geld aber erst nach und nach. Er leiht dir also die fehlende Summe, und für geliehenes Geld zahlt man Zinsen. Ratenzahlung ist ein Kredit, nur unter anderem Namen.

Bezogen auf den Barpreis sind die Mehrkosten:

1201 200⋅100=10 %\frac{120}{1\,200} \cdot 100 = 10\,\%

Wichtig, und ehrlich gesagt: Diese 10 %10\,\% sind noch nicht der tatsächliche Zinssatz. Du schuldest dem Händler ja nicht das ganze Jahr über die vollen 1 2001\,200 €; mit jeder Rate wird deine Schuld kleiner. Weil du im Schnitt also nur ungefähr die Hälfte davon schuldest, ist der echte Zinssatz sogar rund doppelt so hoch. Wie man ihn genau berechnet, lernst du später, für jetzt reicht die Erkenntnis:

Vergleiche bei jedem Ratenangebot zuerst die Ratensumme mit dem Barpreis. Die Differenz ist der Preis dafür, dass du sofort haben willst, was du noch nicht bezahlen kannst.

Was das Sofa wirklich kostet

050010001500Gesamtkosten (€)sofort zahlen12 RatenBarpreis

Beide Säulen zeigen dieselbe Couch. Wer sofort zahlt, gibt 1 2001\,200 € aus. Wer in 1212 Raten zu 110110 € zahlt, gibt 1 3201\,320 € aus, die 120120 € oberhalb der Linie sind der Preis fürs Warten des Händlers auf sein Geld, also Zinsen.

Prüfe dich: Warum sind die Mehrkosten bei einer Ratenzahlung in Wirklichkeit Zinsen, und warum ist der Anteil, den du am Barpreis ausrechnest, noch nicht der echte Zinssatz?

Versuch beides erst aus dem Kopf.

Warum es Zinsen sind: Der Händler gibt dir die Ware sofort, bekommt sein Geld aber erst nach und nach. In der Zwischenzeit hast du etwas, das du noch nicht bezahlt hast, er leiht dir also die fehlende Summe. Und für geliehenes Geld zahlt man Zinsen. Ratenzahlung ist ein Kredit unter anderem Namen, auch wenn im Angebot kein Zinssatz steht.

Bei der Couch: 12⋅110 Euro=1 32012 \cdot 110\text{ Euro} = 1\,320 € statt 1 2001\,200 € bar, also 120120 € für das Warten des Händlers.

Und warum ist das noch nicht der Zinssatz? Weil du dem Händler nicht das ganze Jahr über die vollen 1 2001\,200 € schuldest. Mit jeder Rate wird deine Schuld kleiner:

  • Am Anfang schuldest du fast alles.
  • Am Ende fast nichts mehr.
  • Im also nur ungefähr die Hälfte.

Die 1201 200⋅100=10 %\frac{120}{1\,200} \cdot 100 = 10\,\% beziehen sich aber auf den vollen Betrag. Wenn du in Wahrheit im Schnitt nur die Hälfte geliehen hast, ist der echte Zinssatz rund doppelt so hoch, also etwa 20 %20\,\%.

Was du praktisch mitnimmst: Die Ratensumme mit dem Barpreis zu vergleichen ist der richtige erste Schritt, aber er unterschätzt die Zinsbelastung eher, als dass er sie übertreibt. Ein Ratenangebot ist nie günstiger, als die Differenz vermuten lässt.

Jahres- und Endkapital

Familie Bauer legt 4 8004\,800 € zu einem Zinssatz von 2,5 %2{,}5\,\% p. a. an. Wie hoch sind die Zinsen nach einem Jahr, und wie hoch ist das Endkapital?

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben: Kapital K=4 800K = 4\,800 € und Zinssatz p=2,5p = 2{,}5 (p. a. = pro Jahr). Gesucht: zwei Größen, die Zinsen ZZ und das Endkapital.

    Halte beides auseinander: Die Zinsen sind der Zuwachs, das Endkapital ist alles zusammen.

  2. 2

    Schritt 1: Die passende Formel wählen, und warum.

    Zinsrechnung ist mit anderen Namen. Das Kapital ist der , die Zinsen sind der :

    Z=K⋅p100Z = K \cdot \frac{p}{100}
  3. 3

    Schritt 2: Den umrechnen.

    2,5100=0,025\frac{2{,}5}{100} = 0{,}025

    Der Zinssatz sagt: Von je 100100 € gibt es 2,502{,}50 € Zinsen.

  4. 4

    Schritt 3: Die Zinsen berechnen.

    Z=4 800⋅0,025=120Z = 4\,800 \cdot 0{,}025 = 120

    Nach einem Jahr sind das 120120 € Zinsen.

  5. 5

    Schritt 4: Das Endkapital bestimmen.

    Die Zinsen kommen zum Kapital dazu:

    Kneu=4 800 Euro+120 Euro=4 920 EuroK_{\text{neu}} = 4\,800\text{ Euro} + 120\text{ Euro} = 4\,920\text{ Euro}
  6. 6

    Schritt 5: als Kontrolle.

    2,5 %2{,}5\,\% sind ein Vierzigstel. Und 4 800:40=1204\,800 : 40 = 120 ✓

    Zweite Kontrolle über 1 %1\,\%: Ein von 4 8004\,800 € sind 4848 €, also sind 2,5 %2{,}5\,\% gleich 2,5⋅48=1202{,}5 \cdot 48 = 120 € ✓

  7. 7

    Schritt 6: Das Ergebnis einordnen.

    120120 € Zinsen klingen nach wenig, und das sind sie auch. Aber: Bleibt das Geld liegen, werden im zweiten Jahr 2,5 %2{,}5\,\% von 4 9204\,920 € berechnet, also etwas mehr.

    Dieser Effekt heißt Zinseszins und wird über viele Jahre erstaunlich groß. In Klasse 10 rechnest du ihn genau aus.

Zinsen: 120120 € · Endkapital: 4 9204\,920 €

Monatszinsen

Leon leiht sich 1 2001\,200 € zu 6 %6\,\% p. a. und zahlt nach 8 Monaten alles zurück. Wie viele Zinsen muss er zahlen?

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben: K=1 200K = 1\,200 €, p=6p = 6 (pro Jahr), Laufzeit 88 Monate. Gesucht: die Zinsen für diese 88 Monate.

    Die Falle steckt in „p. a.": Der Zinssatz gilt für ein ganzes Jahr. Leon leiht sich das Geld aber kürzer, also zahlt er auch weniger.

  2. 2

    Schritt 1: Zuerst die Jahreszinsen berechnen.

    Tu so, als hätte Leon das Geld ein volles Jahr:

    ZJahr=1 200⋅6100=1 200⋅0,06=72 EuroZ_{\text{Jahr}} = 1\,200 \cdot \frac{6}{100} = 1\,200 \cdot 0{,}06 = 72\text{ Euro}
  3. 3

    Schritt 2: Den Zeitanteil bestimmen.

    Ein Jahr hat 1212 Monate, Leon nutzt das Geld 88 davon:

    812=23\frac{8}{12} = \frac{2}{3}

    Er zahlt also zwei Drittel der Jahreszinsen.

  4. 4

    Schritt 3: Warum man einfach anteilig rechnen darf.

    Zinsen wachsen gleichmäßig mit der Zeit, doppelt so lange geliehen bedeutet doppelt so viel Zinsen. Kapital und Zeit sind zu den Zinsen.

    Deshalb ist der hier erlaubt (bei der einfachen Zinsrechnung ohne Zinseszins).

  5. 5

    Schritt 4: Den Anteil ausrechnen.

    Z=72⋅23=48 EuroZ = 72 \cdot \frac{2}{3} = 48\text{ Euro}
  6. 6

    Schritt 5: Probe über den Monat.

    Ein Monat kostet 72:12=672 : 12 = 6 € Zinsen. Acht Monate also:

    8⋅6 Euro=48 Euro  ✓8 \cdot 6\text{ Euro} = 48\text{ Euro} \; ✓
  7. 7

    Schritt 6: Antwortsatz vollständig formulieren.

    Leon zahlt 4848 € Zinsen, zusätzlich zu den geliehenen 1 2001\,200 €. Insgesamt überweist er also 1 2481\,248 €.

    Diese Unterscheidung ist prüfungsrelevant: „Wie viel Zinsen?" und „Wie viel zahlt er zurück?" sind zwei verschiedene Fragen.

Leon zahlt 4848 € Zinsen (insgesamt 1 2481\,248 € zurück).

Zinssatz gesucht

Für ein Guthaben von 3 5003\,500 € schreibt die Bank nach einem Jahr 87,5087{,}50 € Zinsen gut. Mit welchem Zinssatz wurde verzinst?

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben: K=3 500K = 3\,500 € und Z=87,50Z = 87{,}50 €. Gesucht: der Zinssatz pp.

    Diesmal ist also nicht das Ergebnis, sondern der unbekannt. Die Formel muss deshalb umgestellt werden.

  2. 2

    Schritt 1: Von der bekannten Formel ausgehen.

    Z=K⋅p100Z = K \cdot \frac{p}{100}

    Gesucht ist pp. Es muss also allein auf einer Seite stehen.

  3. 3

    Schritt 2: Die Formel umstellen.

    Was steht pp im Weg? Es wird mit KK multipliziert und durch 100100 geteilt. Beides machst du rückgängig:

    Z=K⋅p100∣  :KZK=p100∣  ⋅100p=ZK⋅100\begin{aligned} Z &= K \cdot \frac{p}{100} &&|\; :K \\[2pt] \frac{Z}{K} &= \frac{p}{100} &&|\; \cdot 100 \\[2pt] p &= \frac{Z}{K} \cdot 100 \end{aligned}
  4. 4

    Schritt 3: Einsetzen.

    p=87,503 500⋅100p = \frac{87{,}50}{3\,500} \cdot 100
  5. 5

    Schritt 4: Ausrechnen.

    87,503 500=0,025\frac{87{,}50}{3\,500} = 0{,}025 p=0,025⋅100=2,5p = 0{,}025 \cdot 100 = 2{,}5

    Der Zinssatz beträgt also 2,5 %2{,}5\,\% pro Jahr.

  6. 6

    Schritt 5: Probe, rückwärts rechnen.

    Setze p=2,5p = 2{,}5 in die ursprüngliche Formel ein:

    3 500⋅0,025=87,50  ✓3\,500 \cdot 0{,}025 = 87{,}50 \; ✓
  7. 7

    Schritt 6: Plausibilität.

    1 %1\,\% von 3 5003\,500 € wären 3535 €. Die tatsächlichen 87,5087{,}50 € sind das Zweieinhalbfache davon, passt zu 2,5 %2{,}5\,\% ✓

    Dieser 1 %1\,\%-Trick ist die schnellste Kontrolle bei jeder - und Zinsaufgabe.

Der Zinssatz beträgt p=2,5 %p = 2{,}5\,\% pro Jahr.

Skonto, lohnt sich das?

Eine Handwerkerrechnung über 2 4002\,400 € ist „innerhalb von 3030 Tagen zahlbar; bei Zahlung innerhalb von 88 Tagen 3 %3\,\% Skonto". Wie viel zahlt man bei schneller Zahlung, und wie teuer ist es, das Skonto zu verfallen zu lassen?

  1. 1

    Angaben sortieren. ist der Rechnungsbetrag: K=2 400K = 2\,400 €. Der Skontosatz beträgt p=3p = 3, und man müsste 30−8=2230 - 8 = 22 Tage früher zahlen.

  2. 2

    Gesucht ist zuerst der Nachlass, also ein gewöhnlicher :

    Z=2 400 Euro⋅3100=72Z = 2\,400\text{ Euro} \cdot \frac{3}{100} = 72 €

  3. 3

    Zahlbetrag bestimmen. Der Nachlass wird vom Rechnungsbetrag abgezogen:

    2 400 Euro−72 Euro=2 3282\,400\text{ Euro} - 72\text{ Euro} = 2\,328 €

  4. 4

    Jetzt der Vergleich. Man spart 3 %3\,\% dafür, dass man 2222 Tage früher zahlt. Um das mit einem Kredit vergleichen zu können, rechnest du auf ein ganzes Zinsjahr (360360 Tage) hoch. In 360360 Tage passen

    360:22≈16,4360 : 22 \approx 16{,}4

    solche Zeiträume.

  5. 5

    Auf das Jahr gerechnet:

    16,4⋅3 %≈49 %16{,}4 \cdot 3\,\% \approx 49\,\%

    Wer das Skonto verstreichen lässt, „bezahlt" für die 2222 Tage Aufschub also so viel wie für einen Kredit zu rund 49 %49\,\% pro Jahr.

Bei Zahlung innerhalb von 88 Tagen sind nur 2 3282\,328 € fällig, man spart 7272 €. Auf das Jahr gerechnet entspricht der Verzicht darauf einem Zinssatz von etwa 49 %49\,\%; das Skonto lohnt sich also fast immer, notfalls sogar mit einem günstigen Bankkredit.

Typischer Fehler

„2 0002\,000 € zu 4 %4\,\% für 3 Monate. Das sind 2 000⋅0,04=802\,000 \cdot 0{,}04 = 80 € Zinsen."

Der Zinssatz gilt pro Jahr! Für 3 Monate gibt es nur den Anteil 312=14\frac{3}{12} = \frac{1}{4} davon: 80⋅14=2080 \cdot \frac{1}{4} = 20 €. Wer den Zeitfaktor vergisst, macht aus jedem Vierteljahr ein ganzes Jahr, ein teurer (oder zu schöner) Irrtum. Faustregel: Bei Laufzeiten unter einem Jahr immer m12\frac{m}{12} oder t360\frac{t}{360} anhängen.

Übung 1

leicht

Berechne die Jahreszinsen: a) K=800K = 800 €, p=3 %p = 3\,\% b) K=12 000K = 12\,000 €, p=1,5 %p = 1{,}5\,\%

Tipp anzeigen

Z=K⋅p100Z = K \cdot \frac{p}{100}

Lösung anzeigen

a) 800⋅0,03=24800 \cdot 0{,}03 = 24 €

b) 12 000⋅0,015=18012\,000 \cdot 0{,}015 = 180 €

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Zinsen als Prozentwert des Kapitals

    Jahreszinsen sind der vom Kapital: Z=K⋅p100Z = K \cdot \frac{p}{100}. Die Rollen: Kapital = , Zinssatz = , Zinsen = Prozentwert.

  2. 2

    a) berechnen

    Z=800⋅3100=800⋅0,03=24Z = 800 \cdot \frac{3}{100} = 800 \cdot 0{,}03 = 24 € Jahreszinsen.

    800⋅0,03=24800 \cdot 0{,}03 = 24

  3. 3

    b) mit Komma-Prozentsatz

    Z=12 000⋅0,015=180Z = 12\,000 \cdot 0{,}015 = 180 € Jahreszinsen.

Übung 2

mittel

a) Wie viele Zinsen bringen 5 4005\,400 € zu 2 %2\,\% p. a. in 9 Monaten? b) Welches Kapital bringt bei 4 %4\,\% p. a. genau 130130 € Jahreszinsen?

Tipp anzeigen

a) Zeitfaktor 912\frac{9}{12}. b) Formel nach KK umstellen.

Lösung anzeigen

a) 5 400⋅0,02⋅912=108⋅0,75=815\,400 \cdot 0{,}02 \cdot \frac{9}{12} = 108 \cdot 0{,}75 = 81 €

b) K=130⋅1004=3 250K = 130 \cdot \frac{100}{4} = 3\,250 €

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Jahreszinsen als Zwischenschritt

    Erst das volle Jahr: 5 400⋅0,02=1085\,400 \cdot 0{,}02 = 108 € Jahreszinsen.

    Zwischenergebnis

    108108 € pro Jahr

  2. 2

    a) Auf 9 Monate anteilig kürzen

    99 Monate sind 912=34\frac{9}{12} = \frac{3}{4} des Jahres: Z=108⋅34=81Z = 108 \cdot \frac{3}{4} = 81 €.

    Z=5 400⋅0,02⋅912=81Z = 5\,400 \cdot 0{,}02 \cdot \frac{9}{12} = 81

  3. 3

    b) Kapital rückwärts bestimmen

    Gesucht ist der : K=Z⋅100p=130⋅1004=3 250K = Z \cdot \frac{100}{p} = 130 \cdot \frac{100}{4} = 3\,250 €.

    130:4⋅100=3 250130 : 4 \cdot 100 = 3\,250

Übung 3

schwer

Frau Sommer braucht für 100 Tage einen Kredit über 9 0009\,000 €. Bank A verlangt 7,2 %7{,}2\,\% p. a. (Tageszinsen, 360er-Jahr). Bank B bietet pauschal 190190 € Gebühr. Welches Angebot ist günstiger?

Tipp anzeigen

Tageszinsen: Z=K⋅p100⋅t360Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360}

Lösung anzeigen

Bank A: Z=9 000⋅0,072⋅100360=648⋅100360=180Z = 9\,000 \cdot 0{,}072 \cdot \frac{100}{360} = 648 \cdot \frac{100}{360} = 180 €

Bank B: 190190 € pauschal.

Bank A ist um 1010 € günstiger.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Bank A: Tageszinsen ansetzen

    Zinsformel mit Tagen (Bankjahr = 360360 Tage): Z=9 000⋅0,072⋅100360Z = 9\,000 \cdot 0{,}072 \cdot \frac{100}{360}.

  2. 2

    Bank A ausrechnen

    Jahreszinsen: 9 000⋅0,072=6489\,000 \cdot 0{,}072 = 648 €. Für 100100 von 360360 Tagen: 648⋅100360=6483,6=180648 \cdot \frac{100}{360} = \frac{648}{3{,}6} = 180 €.

    9 000⋅0,072=648;648⋅100360=1809\,000 \cdot 0{,}072 = 648; \quad 648 \cdot \tfrac{100}{360} = 180

    Zwischenergebnis

    Bank A: 180180 €

  3. 3

    Angebote vergleichen

    Bank A: 180180 € Zinsen. Bank B: 190190 € Pauschale. Bank A ist um 1010 € günstiger.

Übung: Ratenzahlung prüfen

mittel

Ein Laptop kostet bar 900900 €. Alternativ werden 1010 Monatsraten zu 9797 € angeboten. a) Was zahlt man insgesamt bei Ratenzahlung? b) Wie hoch sind die Mehrkosten? c) Wie viel des Barpreises sind das? d) Ein zweiter Händler verlangt 5050 € Anzahlung und 99 Raten zu 9999 €, welches Angebot ist günstiger?

Tipp anzeigen

Vergleiche immer die Gesamtsumme aller Zahlungen, nicht die Höhe der einzelnen Rate.

Lösung anzeigen

a) 10⋅97 Euro=97010 \cdot 97\text{ Euro} = 970 €

b) 970 Euro−900 Euro=70970\text{ Euro} - 900\text{ Euro} = 70 €

c) 70900⋅100≈7,8 %\frac{70}{900} \cdot 100 \approx 7{,}8\,\%

d) 50 Euro+9⋅99 Euro=50 Euro+891 Euro=94150\text{ Euro} + 9 \cdot 99\text{ Euro} = 50\text{ Euro} + 891\text{ Euro} = 941 €. Das sind nur 4141 € Mehrkosten, das zweite Angebot ist günstiger, obwohl die einzelne Rate höher ist.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) und b): Ratensumme und Mehrkosten

    Ratenkauf gesamt: 10⋅97=97010 \cdot 97 = 970 €. Mehrkosten gegenüber bar: 970−900=70970 - 900 = 70 €.

    10⋅97=970;970−900=7010 \cdot 97 = 970; \quad 970 - 900 = 70

  2. 2

    c) Mehrkosten in Prozent des Barpreises

    Bezogen auf den Barpreis: 70900⋅100≈7,8 %\frac{70}{900} \cdot 100 \approx 7{,}8\,\% Aufschlag.

    70900⋅100≈7,8\frac{70}{900} \cdot 100 \approx 7{,}8

  3. 3

    d) Das zweite Angebot durchrechnen

    Händler 2: 50+9⋅99=50+891=94150 + 9 \cdot 99 = 50 + 891 = 941 €, nur 4141 € Mehrkosten. Das zweite Angebot ist günstiger, obwohl die Einzelrate höher ist.

Zusammenfassung

Zinsrechnung ist mit Zeit: Kapital ist der , der Zinssatz gilt pro Jahr, und Z=K⋅p100Z = K \cdot \frac{p}{100} liefert die Jahreszinsen. Für Monate und Tage kommt der Zeitfaktor m12\frac{m}{12} bzw. t360\frac{t}{360} dazu. Damit kannst du Sparerträge vorhersagen, und Kreditkosten kritisch nachrechnen.