Geometrie
Körper und ihre Netze
Würfel, Quader, Pyramide, Kegel, Zylinder und Kugel, erkennen, beschreiben, aufklappen.
Benötigte Grundlagen
Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.
Einführung
Ein Geschenkkarton, eine Eiswaffel, ein Fußball, alles Körper mit ganz unterschiedlichen Formen. Und wenn du einen Karton an den Kanten aufschneidest und flach ausbreitest, entsteht sein Netz: die Bastelvorlage jedes Körpers. In diesem Kapitel lernst du die sechs Grundkörper kennen und trainierst dein räumliches Vorstellungsvermögen.
Das kannst du nach diesem Kapitel
die Körper , , Pyramide, Kegel, Zylinder und Kugel erkennen und benennen.
Körper über Ecken, Kanten und beschreiben und vergleichen.
Netze von Würfel und Quader erkennen, zeichnen und zuordnen.
Schrägbilder von Würfel und Quader skizzieren.
Die sechs Grundkörper
Ein Körper ist ein Gegenstand mit drei Ausdehnungen: Länge, Breite und Höhe. Sechs Grundkörper begegnen dir immer wieder:
| Körper | Ecken | Kanten | Besonderheit | |
|---|---|---|---|---|
| 8 | 12 | 6 | alle Kanten gleich lang | |
| 8 | 12 | 6 | gegenüberliegende Flächen gleich | |
| Pyramide (quadratisch) | 5 | 8 | 1 Quadrat + 4 Dreiecke | läuft in einer Spitze zusammen |
| Zylinder | 0 | 0 | 2 Kreise + Mantel | rollt auf der Mantelfläche |
| Kegel | 0 | 0 | 1 Kreis + Mantel | eine Spitze, runde Grundfläche |
| Kugel | 0 | 0 | 1 gekrümmte Fläche | von überall gleich rund |
Drei Wörter brauchst du dafür: Ecken sind Punkte, an denen Kanten zusammentreffen. Kanten sind die geraden Verbindungsstrecken. Begrenzungsflächen sind die „Wände" des Körpers. Würfel, Quader und Pyramide haben nur ebene Flächen; Zylinder, Kegel und Kugel haben gekrümmte Flächen.
Hat der Kegel nun eine Ecke oder nicht?
In der Tabelle steht bei Zylinder, Kegel und Kugel überall eine , und beim Kegel stutzt man: Der hat doch sichtbar eine Spitze!
Die Antwort steckt in den Wörtern von eben. Kanten sind hier die geraden Verbindungsstrecken, und eine Ecke ist ein Punkt, an dem solche Kanten zusammentreffen. Am Kegel gibt es aber keine einzige gerade Kante, also treffen an der Spitze auch keine zusammen. Nach dieser Festlegung ist sie keine Ecke, sondern eben eine Spitze.
Das ist eine Vereinbarung, keine Naturnotwendigkeit. In manchen Büchern zählt man die beiden Kreislinien des Zylinders als „krumme Kanten" mit und kommt dann auf andere Zahlen. Beides ist in sich stimmig. Man muss sich nur für eine Sprechweise entscheiden und dabei bleiben. In diesem Kapitel gilt: Kanten sind gerade. Deshalb steht überall dort, wo nur gekrümmte Ränder vorkommen, eine .
Das Netz, die Bastelvorlage
Schneidest du einen Körper an geeigneten Kanten auf und klappst ihn flach, entsteht sein Netz, die Bastelvorlage. Aus dem Netz lässt sich der Körper wieder zusammenfalten, und jede kommt darin genau einmal vor.
Ein Würfelnetz besteht aus (Bild unten). Aber Achtung: nicht jede Anordnung von 6 Quadraten ergibt einen ! Es gibt genau 11 verschiedene Würfelnetze.
Wie prüfst du, ob eine Anordnung passt? Durch gedankliches Falten: Wähle eine Fläche als Boden und klappe die anderen im Kopf hoch. Überlappen sich dabei zwei Flächen oder bleibt eine Wand offen, ist es kein Netz.
Warum sechs Quadrate nicht genügen
Das ist der wichtigste Gedanke des Kapitels, und er überrascht die meisten.
Ein Würfel hat sechs Flächen, also braucht das Netz sechs Quadrate. So weit klar. Aber diese sechs müssen beim Falten jede Würfelseite genau einmal treffen.
Liegen zwei Quadrate ungünstig, klappen sie auf dieselbe Würfelseite. Dann ist diese Seite doppelt belegt, und eine andere bleibt offen. Der Würfel hat ein Loch.
Deshalb ist ein Netz nie nur eine Frage der Anzahl, sondern immer eine Frage der Anordnung.
Woran du ein Würfelnetz schnell erkennst
Es gibt einen Trick, der bei den meisten Anordnungen sofort entscheidet:
Suche eine Viererreihe. Rollst du sie zusammen, bildet sie einen geschlossenen Ring um den Würfel: Boden, Seite, Deckel, Seite.
Danach fehlen genau zwei Flächen: vorn und hinten. Genau dafür sind die beiden übrigen Quadrate da, eines muss oberhalb der Reihe hängen, das andere unterhalb.
An welcher Stelle der Reihe sie sitzen, ist dabei egal. Ein Quadrat oberhalb klappt immer auf dieselbe offene Seite, ganz gleich, ob es am ersten oder am dritten Quadrat der Reihe hängt. Genau deshalb funktioniert auch die Kreuz-Form, bei der beide an derselben Stelle hängen, eines nach oben, eines nach unten.
Die Grenze dieses Tricks
Damit hast du eine sichere Entscheidung, aber nur in eine Richtung:
- Findest du eine Viererreihe mit je einem Quadrat oben und unten, ist es sicher ein Netz.
- Findest du keine Viererreihe, heißt das nicht, dass es kein Netz ist.
Das ist ein Unterschied, den man leicht überliest. Von den elf Würfelnetzen haben nämlich nur sechs eine Viererreihe, die anderen fünf kommen ohne aus (auch das ist ausgezählt).
Ein Netz zum Selbstprobieren: Lege zwei Quadrate nebeneinander. Darunter, um genau ein Quadrat nach rechts versetzt, wieder zwei. Und darunter noch einmal zwei, wieder um eines versetzt. Diese Treppe enthält nirgends vier Quadrate in einer Reihe, und ist trotzdem ein Würfelnetz. Schneide sie aus und falte sie.
Merke dir deshalb: Die Viererreihe ist ein Schnelltest zum Bestätigen, kein Ausschlussverfahren. Findest du keine, ist noch nichts entschieden. Dann hilft nur das Falten.
Warum es ausgerechnet 11 sind
Die Zahl wirkt willkürlich, ist aber schlicht ausgezählt: Man geht alle Möglichkeiten durch, sechs Quadrate aneinanderzulegen, und behält die faltbaren.
Dabei zählen gedrehte oder gespiegelte Anordnungen nicht als neue Netze. Es ist ja dieselbe Bastelvorlage, nur anders auf dem Tisch liegend.
Probiere es selbst aus: Sechs Quadrate ausschneiden und suchen. Mehr als wirst du nicht finden.
Ein gültiges Würfelnetz in Kreuzform: Faltest du die vier Seitenflächen hoch und die oberste als Deckel um, entsteht ein , jede der 6 genau einmal.
Gegenbeispiel: die Treppe, ein Netz ohne Viererreihe
Die Treppe aus dem Text: dreimal zwei , jede Stufe um ein Quadrat versetzt. Nirgends stehen vier Quadrate in einer Reihe, und trotzdem lässt sich diese Form zu einem Würfel falten. Wer glaubt, jedes Würfelnetz brauche die Viererreihe, sieht hier das Gegenbeispiel.
Das Schrägbild
Ein Schrägbild bringt einen Körper räumlich aufs flache Papier. Dafür gibt es drei feste Regeln (Bild unten):
- Die Vorderfläche zeichnest du in wahrer Größe.
- Die Tiefenkanten ziehst du schräg (im -Winkel) und nur halb so lang wie in Wirklichkeit, sonst wirkt der Körper verzerrt.
- Verdeckte Kanten (die man von vorne nicht sehen könnte) zeichnest du gestrichelt.
Quader-Schrägbild: Die Vorderfläche ist in wahrer Größe, die Tiefenkanten laufen im -Winkel und halb so lang nach hinten, die drei verdeckten Kanten sind gestrichelt.
Erkläre es selbst: Warum können zwei Quadrate, die im Netz nebeneinanderliegen, am fertigen Würfel niemals gegenüberliegen?
Formuliere es erst selbst. Nimm dir das Kreuz-Netz von oben vor und verfolge zwei benachbarte beim Falten.
Der entscheidende Punkt: „Nebeneinander im Netz" heißt, dass die beiden Quadrate eine gemeinsame Kante haben, genau an dieser Kante hängen sie zusammen.
Und was passiert mit dieser Kante beim Falten? Sie wird zum Scharnier. Die beiden klappen um sie herum, bleiben aber die ganze Zeit aneinander. Am fertigen treffen sie sich also an einer Würfelkante. Sie sind Nachbarflächen.
Gegenüberliegende Würfelflächen berühren sich dagegen nirgends. Zwischen ihnen liegen immer die vier anderen Flächen; sie haben weder eine gemeinsame Kante noch eine gemeinsame Ecke.
Beides zusammen: Wer im Netz eine gemeinsame Kante hat, ist am Würfel benachbart, und was benachbart ist, kann nicht gegenüberliegen.
Wozu das praktisch gut ist: Beim Basteln eines Spielwürfels muss die Augensumme gegenüberliegender Flächen ergeben. Du weißt jetzt sofort: Die und die dürfen im Netz nie nebeneinanderstehen, ohne dass du einmal falten musst.
Deine eigene Erklärung darf anders klingen, wichtig ist, dass darin die gemeinsame Kante vorkommt.
Körper an Eigenschaften erkennen
Ein Körper hat genau 5 Ecken, 8 Kanten und seine Grundfläche ist ein . Um welchen Körper handelt es sich?
- 1
Was ist gegeben, was ist gesucht?
Gegeben sind drei Merkmale: Ecken, Kanten, quadratische Grundfläche. Gesucht ist der Körper.
Gehe wie ein Detektiv vor: Jedes Merkmal schließt bestimmte Körper aus. Am Ende bleibt genau einer übrig.
- 2
Schritt 1: Die Eckenzahl auswerten.
und haben je Ecken. Beide sind damit raus.
Kugel und Zylinder haben gar keine Ecken, auch raus.
Ecken bei quadratischer Grundfläche: Das sind die Ecken unten plus eine Spitze oben. Der Verdacht fällt auf eine Pyramide.
- 3
Schritt 2: Die Kantenzahl gegenprüfen.
Zähle bei einer quadratischen Pyramide nach:
- Kanten rund um die Grundfläche
- Kanten, die von den Ecken zur Spitze laufen
Das passt genau zur Vorgabe.
- 4
Schritt 3: Auch die zählen.
- Quadrat als Grundfläche
- Dreiecke als Seitenflächen
Zusammen Flächen. Die Angabe „quadratische Grundfläche" bestätigt zusätzlich, dass es keine dreiseitige Pyramide ist (die hätte nur Ecken).
- 5
Schritt 4: Das Ergebnis benennen.
Es ist eine quadratische Pyramide, genau die Form der Pyramiden von Gizeh.
- 6
Schritt 5: Die Probe mit Eulers Beobachtung.
Bei solchen Körpern gilt eine hübsche Regel: Ecken Flächen Kanten .
Stimmt die nicht, hast du dich beim Zählen vertan. Probiere sie auch am Würfel aus: ✓
Es ist eine quadratische Pyramide ( Ecken, Kanten, Flächen).
Würfelnetz prüfen
Sind diese Anordnungen von 6 Würfelnetze? a) Vier Quadrate in einer Reihe, je eines oben und unten an der zweiten Position („Kreuz-Form"). b) Alle 6 Quadrate in einem 2×3-Rechteck.
- 1
Was ist gesucht? Zweimal die Entscheidung: Lässt sich die Anordnung zu einem falten?
Wichtig vorweg: Sechs Quadrate zu haben, reicht nicht. Ein Würfel braucht sechs , aber die Anordnung muss auch passen, sonst überlappen sich beim Falten Flächen und woanders bleibt ein Loch.
- 2
Teil a): Schritt 1: Die Viererreihe falten.
Nimm die Reihe aus vier Quadraten und rolle sie gedanklich zu einem Ring: Boden → Seitenwand → Deckel → gegenüberliegende Seitenwand.
Das schließt sich genau: Der Ring geht einmal um den Würfel herum.
- 3
Teil a): Schritt 2: Die beiden Einzelquadrate anklappen.
Nach dem Ring fehlen noch zwei Flächen, vorn und hinten.
Genau dafür sind die zwei angesetzten Quadrate da: Sie klappen von der zweiten Position nach oben und unten hoch und schließen die beiden offenen Seiten.
Nichts überlappt, nichts bleibt offen → es ist ein Netz. (Das Kreuz ist das bekannteste der insgesamt Würfelnetze.)
- 4
Teil b): Schritt 3: Das 2×3-Rechteck falten.
Nimm die erste Spalte als Boden und Deckel gedacht, schon hier merkst du das Problem.
Klappe die mittlere Spalte hoch: Die beiden Quadrate stehen jetzt als Seitenwände. Klappst du nun die dritte Spalte, legen sich ihre Quadrate auf die bereits stehenden.
- 5
Teil b): Schritt 4: Den Fehler benennen.
Zwei Flächen liegen doppelt, dafür bleiben zwei Seiten des Würfels offen.
Ein Netz muss aber jede der sechs Würfelflächen genau einmal abdecken → kein Netz.
- 6
Schritt 5: Eine Faustregel für den Schnelltest, und ihre Grenze.
Suche in der Anordnung eine Viererreihe, sie bildet den Ring. Von den beiden übrigen Quadraten muss dann eines oberhalb und eines unterhalb der Reihe liegen. An welcher Stelle der Reihe sie hängen, spielt keine Rolle: In Teil a) saßen beide an derselben Position, eines oben und eines unten, und es hat funktioniert.
Achte auf die Richtung dieser Regel: Sie bestätigt ein Netz, sie schließt keines aus. Beim - fehlt zwar die Viererreihe, dass es kein Netz ist, hast du aber in den Schritten 3 und 4 aus einem anderen Grund gesehen: Beim Falten legen sich Flächen doppelt, und zwei Seiten bleiben offen. Es gibt nämlich durchaus Würfelnetze ohne Viererreihe (die Treppe aus dem Theorieteil ist eines).
Im Zweifel hilft nur eines: ausschneiden und wirklich falten. Das ist keine Notlösung, sondern die zuverlässigste Prüfung.
a) ist ein Würfelnetz, b) nicht, sechs Quadrate allein genügen nicht, die Anordnung entscheidet.
Typischer Fehler
„6 nebeneinander? Das ist auf jeden Fall ein Würfelnetz, sind ja 6 !"
Die Anzahl stimmt, aber die Anordnung entscheidet: Beim Falten müssen alle 6 Seiten des genau einmal bedeckt werden. Bei einer langen Sechserreihe wickeln sich die Quadrate um den Würfel und überlappen, zwei Flächen bleiben offen. Nur 11 der vielen möglichen Anordnungen funktionieren. Im Zweifel: im Kopf (oder mit Papier!) falten.
Übung 1
leicht
Welcher Körper passt? a) rollt in jede Richtung b) hat 2 Kreisflächen c) hat 6 quadratische
Tipp anzeigen
Denk an Fußball, Konservendose, Spielwürfel.
Lösung anzeigen
a) Kugel b) Zylinder c)
Detaillierte Schritterklärung anzeigen
Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.
✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.
- 1
a) Rollt in jede Richtung
Nur die Kugel ist in allen Richtungen gleich rund, sie rollt überallhin. Zylinder und Kegel rollen nur quer zu ihrer Achse.
- 2
b) Zwei Kreisflächen
Zwei kreisrunde, parallele Flächen (Boden und Deckel) hat der Zylinder, die Konservendose.
- 3
c) Sechs quadratische Flächen
Sechs gleich große begrenzen den Würfel.
Übung 2
mittelEin ist 6 cm lang, 4 cm breit und 3 cm hoch. Beschreibe sein Netz: Aus welchen besteht es?
Tipp anzeigen
Gegenüberliegende sind gleich. Es gibt 3 Flächenpaare.
Lösung anzeigen
Das Netz besteht aus 6 Rechtecken in 3 Paaren:
- 2 Rechtecke cm (Boden und Deckel)
- 2 Rechtecke cm (Vorder- und Rückseite)
- 2 Rechtecke cm (linke und rechte Seite)
Detaillierte Schritterklärung anzeigen
Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.
✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.
- 1
Die drei Maße den Flächen zuordnen
Der Quader hat drei Maße: Länge cm, Breite cm, Höhe cm. Jede seiner sechs Flächen ist ein Rechteck aus ZWEI dieser drei Maße.
- 2
Gegenüberliegende Flächen paaren
Jede Fläche hat einen gleich großen Partner auf der Gegenseite: Boden und Deckel , Vorder- und Rückseite , linke und rechte Seite . Das Netz besteht also aus Paaren = Rechtecken.
Zwischenergebnis
6 Rechtecke in 3 Paaren
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Netz-Anordnung prüfen
Im Netz hängen die Flächen an gemeinsamen Kanten, z. B. als Kreuz: Boden in der Mitte, die vier Seitenwände außen herum, der Deckel an einer davon. Aneinanderstoßende Kanten müssen gleich lang sein.
Übung 3
schwerAuf einem Würfelnetz siehst du den Boden in der Mitte eines Kreuzes. Auf dem Boden steht eine 1, links davon eine 2, rechts eine 5, oben eine 3, unten eine 4, und am Ende des langen Arms (über der 3) eine 6. Welche Zahl liegt beim zusammengefalteten der 1 gegenüber?
Tipp anzeigen
Falte im Kopf: Die 3 wird eine Seitenwand, wohin klappt die 6 weiter?
Lösung anzeigen
Beim Falten werden 2, 3, 4 und 5 die vier Seitenwände rund um den Boden 1. Die 6 klappt über die 3 hinweg nach oben und wird der Deckel.
Die 6 liegt der 1 gegenüber.
Detaillierte Schritterklärung anzeigen
Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.
✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.
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Das Netz im Kopf sortieren
Boden liegt in der Kreuzmitte, um ihn herum (links), (rechts), (oben), (unten); die hängt über der am langen Arm.
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Falten im Kopf: Wände und Deckel
Beim Hochklappen werden , , und die vier Seitenwände um den Boden . Die klappt über die hinweg, sie landet oben als Deckel.
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Gegenüber-Paar ablesen
Boden ist die , Deckel die , also liegt die der gegenüber.
Zusammenfassung
, , Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel unterscheiden sich in Ecken, Kanten und . Netze sind aufgeklappte Körper, beim Würfel gibt es genau 11, und nur gedankliches Falten verrät, ob eine Anordnung funktioniert. Mit dem Schrägbild (45°, halbe Tiefe, unsichtbares gestrichelt) bringst du jeden Körper aufs Papier.