Punkte und Figuren im dreidimensionalen Raum

Die Ebene mit ihren zwei Achsen kennst du seit Klasse 5, jetzt kommt die dritte Dimension hinzu. Im räumlichen Koordinatensystem hat jeder Punkt drei Koordinaten, und plötzlich lassen sich Würfel, Pyramiden und Flugbahnen exakt beschreiben. Die analytische Geometrie verbindet Anschauung und Rechnung im Raum.

Seit Klasse 5 beschreibst du Punkte in der Ebene mit zwei Koordinaten. Damit erreichst du jeden Punkt eines Blattes, aber keinen Punkt darüber oder darunter.

Warum genau drei Achsen

Um die Lage einer Drohne im Raum anzugeben, brauchst du drei Angaben: wie weit sie in Nord-Süd-Richtung steht, wie weit in Ost-West-Richtung, und wie hoch sie fliegt. Zwei Zahlen legen nur den Punkt auf dem Boden fest, über dem sie schwebt; die dritte gibt die Höhe an.

Deshalb bekommt das Koordinatensystem eine dritte Achse, die auf den beiden anderen senkrecht steht. Alle drei Achsen stehen paarweise senkrecht aufeinander und treffen sich im Ursprung $O(0|0|0)$. Jeder Punkt wird durch drei Koordinaten festgelegt:

Warum $x_1$, $x_2$, $x_3$ statt $x$, $y$, $z$

Beide Schreibweisen sind üblich und meinen dasselbe. Die durchnummerierte Form hat einen praktischen Vorteil: Sie passt zur Spaltenschreibweise der Vektoren, in der die Koordinaten ohnehin schon $v_1$, $v_2$, $v_3$ heißen. Ein Ortsvektor und „sein" Punkt tragen so dieselben Indizes, das erspart ständiges Übersetzen.

Wie man den Raum auf ein flaches Blatt zeichnet

Hier steckt eine echte Schwierigkeit: Ein Blatt hat nur zwei Dimensionen. Drei zueinander senkrechte Achsen lassen sich darauf nicht alle gleichzeitig als rechte Winkel darstellen.

Die übliche Lösung ist das Schrägbild (Kabinettprojektion), das du von den Quader-Schrägbildern aus Klasse 5 kennst:

• Die $x_2$-Achse zeigt nach rechts, die $x_3$-Achse nach oben, beide in wahrer Länge.
• Die $x_1$-Achse zeigt schräg nach vorn-links und wird nur halb so lang gezeichnet.

Warum die Verkürzung? Sie erzeugt den Tiefeneindruck. Zeichnete man die $x_1$-Achse in voller Länge, sähe ein Würfel wie ein schiefes Prisma aus, und man könnte „nach vorn" nicht mehr von „nach rechts oben" unterscheiden.

Was das für dich bedeutet: Im Schrägbild sind Längen und Winkel entlang der $x_1$-Richtung verzerrt dargestellt. Ein rechter Winkel kann darin spitz aussehen, gleich lange Strecken verschieden lang. Gerechnet wird deshalb immer mit den Koordinaten, nicht am Bild abgemessen. Die Zeichnung dient der Vorstellung, die Rechnung liefert die Wahrheit.

In Aufgaben sind selten alle Punkte gegeben. Häufig heißt es: „Ein Würfel mit der Kantenlänge $4$ liegt so im Koordinatensystem, dass …", und du musst die fehlenden Ecken selbst bestimmen. Dafür braucht es kein Auswendiglernen, sondern eine Denkweise.

Die Grundfrage: Was ändert sich, wenn ich eine Kante entlanggehe?

Nimm einen Würfel mit der Kantenlänge $a$, dessen Ecke $A$ im Ursprung liegt und dessen Kanten entlang der Achsen verlaufen. Startest du in $A(0|0|0)$ und gehst eine Kante entlang, so ändert sich genau eine Koordinate um $a$, die beiden anderen bleiben unverändert, weil du dich in diesen Richtungen ja nicht bewegst.

Damit lassen sich die drei Nachbarecken direkt angeben:

Gehst du zwei Kanten in verschiedene Richtungen, sind zwei Koordinaten gleich $a$; gehst du drei, sind es alle drei. Die gegenüberliegende Ecke ist deshalb $(a|a|a)$.

Die Systematik dahinter

Jede Koordinate einer Würfelecke ist entweder $0$ oder $a$, etwas anderes kann nicht vorkommen, denn jede Kante führt entweder ganz hin oder gar nicht.

Für jede der drei Koordinaten gibt es also zwei Möglichkeiten, insgesamt:

Und ein Würfel hat genau $8$ Ecken. Die Abzählung passt exakt, ein schöner Hinweis darauf, dass wir keine Ecke übersehen haben.

Die Denkweise verallgemeinert

Dasselbe Vorgehen trägt weit über den Würfel hinaus:

• Quader mit den Kantenlängen $a$, $b$, $c$: Jede Koordinate ist $0$ oder die jeweilige Kantenlänge.
• Verschobene Figur (Ecke nicht im Ursprung): Erst die Figur wie oben am Ursprung denken, dann jeden Punkt um denselben Vektor verschieben.
• Spitze einer Pyramide über einer quadratischen Grundfläche: Sie liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche, hat also dessen erste beiden Koordinaten und als dritte die Höhe.

Die Leitfrage lautet immer: Welche geometrische Eigenschaft ist gegeben, und was bedeutet sie für die einzelnen Koordinaten?

Wo liegt die Mitte zwischen $A$ und $B$? Die verbreitete Regel „Koordinaten addieren und halbieren" stimmt, aber sie soll hier nicht vom Himmel fallen, sondern entstehen.

Der Weg zur Mitte

Um zum Mittelpunkt $M$ zu gelangen, gehst du von $A$ aus den halben Weg in Richtung $B$. Der ganze Weg ist der Verbindungsvektor $\vec{AB}$, der halbe also $\frac12 \vec{AB}$:

Das ist die Formel schon, nur noch nicht in der handlichen Form.

Umformen zur bekannten Gestalt

Setze $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$ ein (hergeleitet im Kapitel „Vektoren: Grundlagen und Rechenoperationen"):

Klammer auflösen:

Die beiden $\vec{OA}$-Anteile zusammenfassen, von einem ganzen $\vec{OA}$ bleibt nach Abzug eines halben genau ein halbes übrig:

In Koordinaten geschrieben:

Jetzt ist auch klar, warum es der Durchschnitt ist: Der Mittelpunkt liegt „zu gleichen Teilen bei $A$ und bei $B$", beide Ortsvektoren gehen mit demselben Gewicht $\frac12$ ein. Das ist derselbe Gedanke wie beim Mittelwert zweier Zahlen.

Eine Kontrolle, die immer funktioniert

Der Mittelpunkt muss von $A$ und von $B$ gleich weit entfernt sein. Wer unsicher ist, rechnet $|\vec{AM}|$ und $|\vec{MB}|$ aus, beide Werte müssen übereinstimmen.

Noch schneller geht die Überschlagsprobe: Jede Koordinate von $M$ muss zwischen den entsprechenden Koordinaten von $A$ und $B$ liegen. Liegt sie außerhalb, ist irgendwo ein Vorzeichen verrutscht.

Der Abstand ist die Länge der Strecke zwischen zwei Punkten, und Längen von Vektoren berechnest du seit dem Vektor-Kapitel mit dem Betrag.

In zwei Schritten

Der Weg von $A$ nach $B$ ist der Verbindungsvektor $\vec{AB}$. Der Abstand ist seine Länge:

Ausgeschrieben ergibt sich daraus die Abstandsformel:

Sie ist nichts Neues, sondern die Betragsformel, in die der Verbindungsvektor bereits eingesetzt wurde. Falls dir die Herleitung über den zweifachen Pythagoras nicht mehr präsent ist, sieh im Kapitel „Vektoren: Grundlagen und Rechenoperationen" nach. Dort entsteht sie Schritt für Schritt.

Der häufigste Fehler bei dieser Formel

In der Formel stehen Differenzen, keine Koordinaten. Wer für $A(1|2|3)$ und $B(4|6|3)$ rechnet

hat die Koordinaten von $B$ direkt eingesetzt und damit etwas ganz anderes berechnet: den Abstand von $B$ zum Ursprung.

Richtig ist zuerst $\vec{AB} = B - A = \begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}$ und dann

Merke dir die Reihenfolge als festen Ablauf: erst „Spitze minus Fuß", dann quadrieren, dann summieren, dann die Wurzel. Wer die Differenzen zuerst bildet, kann diesen Fehler gar nicht machen.

Ein Nebeneffekt, der oft irritiert

Ist eine Differenz null, fällt der zugehörige Summand weg: im Beispiel oben die dritte Koordinate, weil beide Punkte auf derselben Höhe liegen. Die Rechnung wird dadurch zum gewöhnlichen Pythagoras in der Ebene. Das ist kein Sonderfall und keine Vereinfachung, die man sich merken müsste, sondern der natürliche Fall „keine Bewegung in dieser Richtung".

Eine Null unter den Koordinaten ist kein Zufall. Sie verrät die Lage des Punktes. Wer das liest, spart in Aufgaben viel Rechenarbeit.

Was eine Null bedeutet

Eine Koordinate gibt an, wie weit man in die zugehörige Achsenrichtung gehen muss. Ist sie $0$, geht man in dieser Richtung gar nicht, der Punkt bleibt auf der „Grundstellung" dieser Achse.

Daraus ergibt sich eine vollständige Systematik nach der Anzahl der Nullen:

Die Logik dahinter

Jede Null nimmt dem Punkt eine Bewegungsfreiheit. Ohne Null kann er sich in alle drei Richtungen bewegen. Er liegt frei im Raum. Mit einer Null ist er auf eine Fläche festgelegt, mit zwei Nullen auf eine Linie, mit drei Nullen auf einen einzigen Punkt.

Vorsicht bei der Benennung: Die Ebene heißt nach den Koordinaten, die übrig bleiben, nicht nach der, die null ist. Bei $x_3 = 0$ dürfen $x_1$ und $x_2$ frei variieren. Es ist also die $x_1x_2$-Ebene. Diese Verwechslung ist die häufigste Fehlerquelle in diesem Abschnitt.

Wofür man das braucht

Diese Lesart wird später zum Werkzeug: Wenn du wissen willst, wo eine Gerade den Boden durchstößt, suchst du den Punkt mit $x_3 = 0$, den Spurpunkt. Statt geometrisch zu konstruieren, setzt du eine einzige Koordinate auf null und rechnest.

Auch bei Figuren hilft es: Liegt eine ganze Grundfläche in der $x_1x_2$-Ebene, haben alle ihre Eckpunkte die dritte Koordinate $0$, das reduziert die Rechnung auf ein zweidimensionales Problem.