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Magnetismus / Elektromagnetismus

Lenzsche Regel, Selbstinduktion und Energie des Magnetfeldes

Warum die Induktion ihrer Ursache stets entgegenwirkt, was dabei der Energiesatz erzwingt und wie eine Spule sich selbst bremst.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Lässt man einen starken Magneten durch ein Kupferrohr fallen, braucht er dafür ein Vielfaches der Zeit eines gleich schweren, unmagnetischen Klotzes. Er scheint zu schweben und sinkt langsam hinunter, obwohl Kupfer nicht magnetisch ist und ihn nichts berührt.

Dahinter steckt eine Regel, die man auch hätte erraten können, ohne ein einziges . Denn wäre es umgekehrt, könnte man aus dem Nichts gewinnen.

Die Lenzsche Regel ist deshalb kein Zusatzgesetz, sondern der Energieerhaltungssatz in der Sprache der .

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die Lenzsche Regel formulieren und anwenden.

  • sie als Folge des Energieerhaltungssatzes begründen.

  • die Selbstinduktion beschreiben.

  • die Induktivität einer berechnen.

  • die des angeben.

  • Wirbelströme und ihre Anwendungen erklären.

Die Lenzsche Regel

Der ist stets so gerichtet, dass er seiner Ursache entgegenwirkt.

Das ist der Inhalt des Minuszeichens im .

Beispiel Stabmagnet und . Nähert man den Nordpol eines Magneten einer Spule, so entsteht in ihr ein Strom, dessen dem Magneten einen Nordpol entgegenstellt. Die Spule stößt ihn ab, man muss also gegen eine schieben.

Zieht man ihn wieder heraus, kehrt sich der Strom um, die Spule bildet nun einen Südpol und hält ihn fest. Man muss ziehen.

🔴 In beiden Fällen muss man verrichten, egal in welche Richtung man den Magneten bewegt. Genau diese Arbeit wird zur elektrischen , die im erscheint.

Der induzierte Strom wehrt sich gegen seine UrsacheSNwird genähertNSinduzierte PoleAbstoßung bremst die BewegungDie lenzsche Regel folgt aus der Energieerhaltung

Die Regel ist keine Zusatzvorschrift, sondern eine Folge der Energieerhaltung: Würde der Strom die Bewegung unterstützen, würde der Magnet von allein schneller und man hätte ein Perpetuum mobile.

Warum es gar nicht anders sein kann

Nimm an, die Regel gälte nicht: Der würde die Bewegung des Magneten unterstützen.

Dann würde der Magnet beim Annähern angezogen, dabei schneller, würde dadurch mehr Strom induzieren, dadurch stärker angezogen und so fort. Man erhielte gleichzeitig immer mehr Bewegungsenergie und immer mehr elektrische , ohne irgendetwas hineinzustecken.

Das wäre ein Perpetuum mobile. Die Lenzsche Regel ist deshalb keine zusätzliche Naturkonstante, sondern die einzige mit dem Energiesatz verträgliche Möglichkeit.

Merksatz: Induktion kostet immer ; sie schenkt nie etwas.

Deshalb wird ein Fahrraddynamo schwergängig, sobald das Licht eingeschaltet wird, und deshalb muss ein Kraftwerk mehr Dampf einspeisen, wenn der Stromverbrauch steigt.

Wirbelströme

In massiven Leitern entstehen bei Flussänderungen geschlossene Ströme, sogenannte Wirbelströme. Auch sie wirken ihrer Ursache entgegen und bremsen die Bewegung.

AnwendungWirkung
Wirbelstrombremse (Zug, Fahrgeschäft)verschleißfreies Bremsen ohne Berührung
InduktionskochfeldWirbelströme heizen den Topfboden direkt
Metalldetektor, MünzprüferWirbelströme verraten Metall und Sorte
Dämpfung in MessgerätenZeiger nicht nach

Unerwünscht sind Wirbelströme in und Motoren, weil sie den Eisenkern erwärmen. Deshalb baut man Kerne aus gegeneinander isolierten Blechen statt aus massivem Eisen: Die Wirbelströme werden dadurch auf kleine Bereiche eingeschränkt.

🔴 Die Wirbelstrombremse hat eine bemerkenswerte Eigenschaft: Ihre Bremskraft wächst mit der und wird bei Stillstand null. Sie kann deshalb nicht festhalten, nur abbremsen, und braucht immer eine mechanische Feststellbremse als Ergänzung.

Selbstinduktion

Auch der eigene Strom einer erzeugt ein . Ändert sich dieser Strom, ändert sich der Fluss durch dieselbe Spule, und sie in sich selbst eine .

Uind=−L⋅ΔIΔt\boxed{U_{\text{ind}} = -L \cdot \frac{\Delta I}{\Delta t}}

Die Größe LL heißt Induktivität:

[ L ]=1 VsA=1 Henry=1 H[\,L\,] = 1\,\frac{\text{Vs}}{\text{A}} = 1\,\text{Henry} = 1\,\text{H}

Für eine lange Spule gilt

L=μ0μrN2AℓL = \mu_0 \mu_r \frac{N^2 A}{\ell}

🔴 Beachte das N2N^2: Die Windungszahl geht doppelt ein, einmal weil mehr Windungen mehr Feld erzeugen und einmal weil mehr Windungen mehr Spannung aufnehmen. Verdoppelte Windungszahl bedeutet also vierfache Induktivität.

Die Folgen der Selbstinduktion:

  • Beim Einschalten wirkt sie dem Stromanstieg entgegen: Der Strom steigt nur allmählich an.
  • Beim Ausschalten versucht sie, den Strom aufrechtzuerhalten: Es entsteht ein Spannungsstoß, der sehr hoch werden kann.

Eine Spule verhält sich gegenüber Stromänderungen träge, wie eine gegenüber Geschwindigkeitsänderungen.

Deshalb funkt es beim Abschalten von Relais und Motoren, und deshalb schaltet man Freilaufdioden parallel zu Spulen.

Die Energie des Magnetfeldes

Beim Einschalten muss gegen die Selbstinduktionsspannung verrichtet werden. Diese Arbeit steckt danach im :

E=12LI2\boxed{E = \frac{1}{2} L I^2}

🔴 Vergleiche die Formeln:

Speicher
12CU2\frac{1}{2} C U^2
12LI2\frac{1}{2} L I^2
Bewegter Körper12mv2\frac{1}{2} m v^2

Alle drei haben denselben Bau, und der Faktor 12\frac{1}{2} entsteht jedes Mal aus demselben Grund: Die maßgebliche Größe wächst linear von null an.

Die Analogie geht weiter: Die Induktivität entspricht der (Trägheit gegen Änderung), der Strom der . Diese Entsprechung wird im nächsten Kapitel beim wichtig.

Der Magnet im Kupferrohr

Ein starker Neodym-Magnet fällt durch ein senkrechtes Kupferrohr deutlich langsamer als ein gleich schwerer unmagnetischer Klotz.

a) Erkläre die Erscheinung.

b) Warum ist Kupfer selbst nicht magnetisch und bremst trotzdem?

c) Was passiert bei einem Rohr aus Kunststoff?

d) Woher stammt die , die im Kupfer als erscheint?

  1. 1

    a) Schritt 1: Flussänderung. Während der Magnet fällt, ändert sich der durch jeden Rohrabschnitt: Er wächst beim Annähern und sinkt beim Entfernen.

    Schritt 2: . Nach dem Induktionsgesetz entstehen dadurch im Kupfer Wirbelströme, also ringförmig geschlossene Ströme.

    Schritt 3: Lenzsche Regel. Diese Ströme sind so gerichtet, dass sie ihrer Ursache entgegenwirken. Unterhalb des Magneten entsteht ein Feld, das ihn abstößt, oberhalb eines, das ihn festhält. Beides bremst den Fall.

    Ergebnis: Der Magnet sinkt mit nahezu konstanter, kleiner , weil sich und Bremskraft die Waage halten.

  2. 2

    b) Weil es hier nicht auf Magnetisierbarkeit ankommt, sondern auf Leitfähigkeit.

    Kupfer ist tatsächlich nicht ferromagnetisch; ein ruhender Magnet haftet nicht daran. Für Wirbelströme genügt aber, dass das Material frei bewegliche Elektronen hat, und Kupfer ist ein sehr guter Leiter.

    🔴 Deshalb ist die Bremswirkung in Kupfer und Aluminium besonders stark, in Eisen dagegen mischen sich zwei Effekte (Anziehung und Wirbelströme).

    Prüfung der Erklärung: Bei einem Rohr aus schlecht leitendem Metall wäre die Bremsung deutlich schwächer. Genau das beobachtet man.

  3. 3

    c) Bei Kunststoff fällt der Magnet normal, also mit voller Fallbeschleunigung.

    Kunststoff ist ein Isolator; es können keine Wirbelströme fließen. Ohne Strom kein Gegenfeld, ohne Gegenfeld keine Bremskraft.

    Das ist zugleich die beste Kontrolle der Erklärung: Ändert man genau die Eigenschaft, auf die es ankommen soll (Leitfähigkeit), verschwindet der Effekt.

  4. 4

    d) Aus der Lageenergie des Magneten.

    Beim langsamen Fallen verliert der Magnet Lageenergie mghm g h. Da er kaum schneller wird, geht diese Energie fast vollständig nicht in kinetische Energie über.

    Stattdessen wird sie über die Induktion in elektrische Energie umgewandelt, und die Wirbelströme setzen sie im Widerstand des Kupfers in Wärme um. Das Rohr erwärmt sich messbar.

    Energiebilanz:

    mgh=12mv2⏟klein+WWa¨rme⏟fast allesm g h = \underbrace{\frac{1}{2}mv^2}_{\text{klein}} + \underbrace{W_{\text{Wärme}}}_{\text{fast alles}}

    🔴 Hier zeigt sich der Kern der Lenzschen Regel: Die Bremsung ist genau der Preis für die erzeugte Energie. Wirkte der Induktionsstrom in die andere Richtung, würde der Magnet und gleichzeitig entstünde Wärme. Man hätte Bewegungsenergie und Wärme aus dem Nichts.

    Deshalb muss die Regel gelten, ohne dass man den Versuch machen müsste. Das bestätigt nur, was der Energiesatz erzwingt.

    Dasselbe Prinzip in der Technik: Genau so arbeiten Wirbelstrombremsen in ICE-Zügen und in Fahrgeschäften. Der Vorteil ist der berührungslose, verschleißfreie Betrieb; der Nachteil, dass die Bremskraft mit der Geschwindigkeit sinkt und bei Stillstand null wird.

Wirbelströme im Kupfer erzeugen nach der Lenzschen Regel ein bremsendes Feld. In Kunststoff fehlt der Effekt mangels Leitfähigkeit. Die Lageenergie wird zu Wärme im Rohr.

Selbstinduktion und Energie einer Spule

Eine hat N=600N = 600 Windungen, A=20 cm2A = 20\,\text{cm}^2 Querschnitt und ℓ=25 cm\ell = 25\,\text{cm} Länge (ohne Kern).

a) Wie groß ist ihre Induktivität?

b) Der Strom wird gleichmäßig in 0,01 s0{,}01\,\text{s} von 00 auf 2 A2\,\text{A} erhöht. Wie groß ist die Selbstinduktionsspannung?

c) Welche steckt danach im ?

d) Warum entsteht beim Abschalten ein Funke?

  1. 1

    a) L=μ0N2Aℓ=1,257⋅10−6 VsAm⋅6002⋅20⋅10−4 m20,25 mL = \mu_0 \frac{N^2 A}{\ell} = 1{,}257 \cdot 10^{-6}\,\frac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot \frac{600^2 \cdot 20 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^2}{0{,}25\,\text{m}}

    L=1,257⋅10−6⋅360000⋅2⋅10−30,25 H=1,257⋅10−6⋅2880 HL = 1{,}257 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{360000 \cdot 2 \cdot 10^{-3}}{0{,}25}\,\text{H} = 1{,}257 \cdot 10^{-6} \cdot 2880\,\text{H} L≈3,6⋅10−3 H=3,6 mHL \approx 3{,}6 \cdot 10^{-3}\,\text{H} = 3{,}6\,\text{mH}
  2. 2

    b) ∣Uind∣=L⋅ΔIΔt=3,6⋅10−3 H⋅2 A0,01 s=0,72 V|U_{\text{ind}}| = L \cdot \frac{\Delta I}{\Delta t} = 3{,}6 \cdot 10^{-3}\,\text{H} \cdot \frac{2\,\text{A}}{0{,}01\,\text{s}} = 0{,}72\,\text{V}

    Diese Spannung wirkt dem Stromanstieg entgegen, verzögert ihn also.

  3. 3

    c) E=12LI2=12⋅3,6⋅10−3 H⋅(2 A)2=7,2⋅10−3 J=7,2 mJE = \frac{1}{2} L I^2 = \frac{1}{2} \cdot 3{,}6 \cdot 10^{-3}\,\text{H} \cdot (2\,\text{A})^2 = 7{,}2 \cdot 10^{-3}\,\text{J} = 7{,}2\,\text{mJ}

    Diese Energie steckt im Magnetfeld und wird beim Abschalten wieder frei.

  4. 4

    d) Weil Δt\Delta t beim Abschalten sehr klein wird.

    Öffnet ein mechanischer Schalter, sinkt der Strom in Bruchteilen einer Millisekunde auf null. Setzt man beispielsweise Δt=10 µs\Delta t = 10\,\text{µs} an:

    ∣Uind∣=3,6⋅10−3 H⋅2 A10−5 s=720 V|U_{\text{ind}}| = 3{,}6 \cdot 10^{-3}\,\text{H} \cdot \frac{2\,\text{A}}{10^{-5}\,\text{s}} = 720\,\text{V}

    Also das Tausendfache des Wertes aus b), obwohl dieselbe Spule und derselbe Strom beteiligt sind. Allein die Zeit hat sich geändert.

    Was physikalisch passiert: Nach der Lenzschen Regel versucht die Spule, den Strom aufrechtzuerhalten. Sie treibt ihn deshalb weiter, notfalls durch die Luft, und dort entsteht der Lichtbogen.

    🔴 Die Energie im Feld muss irgendwohin. Die 7,2 mJ7{,}2\,\text{mJ} verschwinden nicht beim Abschalten; sie werden im Funken in und Licht umgesetzt. Genau deshalb brennen die Kontakte von Relais und Schaltern mit der Zeit ab.

    Schutz in der Praxis: Eine Freilaufdiode parallel zur Spule bietet dem Strom nach dem Abschalten einen geschlossenen Weg. Das Feld baut sich dann über einige Millisekunden ab statt über Mikrosekunden, Δt\Delta t wird groß und die Spannungsspitze klein.

    Genutzt wird derselbe Effekt in der Zündspule des Autos und in Aufwärtswandlern in Netzteilen, wo aus kleiner Spannung durch schnelles Schalten eine große gemacht wird.

a) 3,6 mH3{,}6\,\text{mH} b) 0,72 V0{,}72\,\text{V} c) 7,2 mJ7{,}2\,\text{mJ} d) sehr kleines Δt\Delta t ergibt eine hohe ; die Feldenergie entlädt sich im Funken.

Typischer Fehler

„Die Lenzsche Regel ist eine zusätzliche Beobachtung, die man experimentell finden musste."

Sie ist eine zwingende Folge des Energieerhaltungssatzes und hätte auch ohne vorhergesagt werden können.

Der Gedankengang. Nimm an, der würde seine Ursache unterstützen statt ihr entgegenzuwirken.

Nähert man dann einen Magneten einer , würde er angezogen. Er würde schneller, dadurch wüchse die Flussänderung, dadurch der Induktionsstrom, dadurch die anziehende , und so weiter.

Das Ergebnis wäre eine sich selbst verstärkende Bewegung, die gleichzeitig

  • immer mehr kinetische und
  • immer mehr elektrische Energie

liefert, ohne dass irgendjemand etwas hineinsteckt. Das ist ein Perpetuum mobile erster Art, und ein solches widerspricht dem Energiesatz.

Die Lenzsche Regel ist deshalb die einzige mit dem Energiesatz verträgliche Möglichkeit.

Was das Experiment beiträgt: Es bestätigt die Vorhersage und zeigt, wie groß die Wirkung ist. Es ist aber nicht die eigentliche Begründung.

Warum diese Einsicht praktisch nützt: Man kann die Stromrichtung in jeder Induktionsaufgabe bestimmen, ohne Regeln auswendig zu lernen. Frage einfach: In welche Richtung müsste der Strom fließen, damit die Bewegung gebremst und nicht verstärkt wird? Das ist die richtige Richtung.

Und sie erklärt Alltagsbeobachtungen: Ein Fahrraddynamo wird schwergängig, sobald das Licht brennt. Ein im Kraftwerk verlangt mehr Dampf, wenn mehr Strom entnommen wird. Beides ist dieselbe Regel: Elektrische Energie muss mechanisch bezahlt werden.

Übung 1

leicht

a) Formuliere die Lenzsche Regel.

b) Eine mit L=50 mHL = 50\,\text{mH} erfährt eine Stromänderung von 3 A3\,\text{A} in 0,02 s0{,}02\,\text{s}. Wie groß ist ∣Uind∣|U_{\text{ind}}|?

c) Welche steckt in einer Spule mit L=0,1 HL = 0{,}1\,\text{H} bei I=4 AI = 4\,\text{A}?

Tipp anzeigen

c) E=12LI2E = \frac{1}{2}LI^2.

Lösung anzeigen

a) Der ist stets so gerichtet, dass er seiner Ursache entgegenwirkt.

b) ∣Uind∣=L⋅ΔIΔt=50⋅10−3 H⋅3 A0,02 s=7,5 V|U_{\text{ind}}| = L \cdot \frac{\Delta I}{\Delta t} = 50 \cdot 10^{-3}\,\text{H} \cdot \frac{3\,\text{A}}{0{,}02\,\text{s}} = 7{,}5\,\text{V}

c) E=12LI2=12⋅0,1 H⋅16 A2=0,8 JE = \frac{1}{2} L I^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}1\,\text{H} \cdot 16\,\text{A}^2 = 0{,}8\,\text{J}

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei Selbstinduktion und Spulenenergie

    b) gibt L=50 mHL = 50\,\text{mH} und eine Stromänderung von 3 A3\,\text{A} in 0,02 s0{,}02\,\text{s}; gesucht ist die Induktionsspannung. c) gibt L=0,1 HL = 0{,}1\,\text{H} und I=4 AI = 4\,\text{A}; gesucht ist die gespeicherte Energie. a) verlangt die Lenzsche Regel.

  2. 2

    Selbstinduktion, Lenzsche Regel und magnetische Feldenergie

    Lenzsche Regel: Der Induktionsstrom ist stets so gerichtet, dass er seiner Ursache entgegenwirkt. Bei Selbstinduktion gilt ∣Uind∣=L⋅ΔIΔt|U_{\text{ind}}| = L \cdot \frac{\Delta I}{\Delta t}, und im einer Spule steckt die Energie E=12LI2E = \frac{1}{2} L I^2.

  3. 3

    b) und c) Induktionsspannung und gespeicherte Energie

    Erst Induktivität mal Stromänderungsrate, dann halbe Induktivität mal Stromquadrat.

    ∣Uind∣=50⋅10−3 H⋅3 A0,02 s=7,5 V|U_{\text{ind}}| = 50 \cdot 10^{-3}\,\text{H} \cdot \frac{3\,\text{A}}{0{,}02\,\text{s}} = 7{,}5\,\text{V}; E=12⋅0,1 H⋅16 A2=0,8 JE = \frac{1}{2} \cdot 0{,}1\,\text{H} \cdot 16\,\text{A}^2 = 0{,}8\,\text{J}

    Zwischenergebnis

    ∣Uind∣=7,5 V|U_{\text{ind}}| = 7{,}5\,\text{V}, E=0,8 JE = 0{,}8\,\text{J}

  4. 4

    a) Ergebnis deuten: was „entgegenwirken" praktisch bedeutet

    Der Induktionsstrom wirkt seiner Ursache entgegen, bei Selbstinduktion heißt das: Die Spule wehrt sich gegen jede Änderung des Stroms, gegen das Einschalten ebenso wie gegen das Abschalten.

Übung 2

mittel

a) Warum wird ein Fahrraddynamo schwergängiger, wenn man das Licht einschaltet?

b) Warum baut man Transformatorkerne aus Blechen statt aus massivem Eisen?

c) Wie ändert sich die Induktivität, wenn man die Windungszahl verdreifacht?

d) Warum kann eine Wirbelstrombremse einen Zug nicht im Stillstand halten?

Tipp anzeigen

c) Wie steht NN in der Formel?

Lösung anzeigen

a) Weil das eingeschaltete Licht einen Stromfluss ermöglicht, und nach der Lenzschen Regel wirkt dieser Strom seiner Ursache entgegen, also der Drehbewegung.

Bei ausgeschaltetem Licht ist der Kreis offen, es fließt kein Strom, und außer der wirkt nichts.

Energetisch: Die elektrische der Lampe muss aus der Tretarbeit stammen. Genau der zusätzliche Widerstand am Pedal ist die Rechnung dafür.

Pmechanisch=Pelektrisch+PVerlusteP_{\text{mechanisch}} = P_{\text{elektrisch}} + P_{\text{Verluste}}

Dasselbe gilt im Großen: Ein Kraftwerksgenerator lässt sich leichter drehen, wenn wenig Strom entnommen wird, und verlangt mehr Antriebsleistung bei hoher Last.

b) Um Wirbelströme einzuschränken.

Das Wechselfeld im Kern auch im Eisen selbst . In einem massiven Kern könnten daraufhin große geschlossene Ströme fließen, die den Kern erwärmen. Diese Energie ist verloren und kann den sogar zerstören.

Ein Kern aus gegeneinander isolierten Blechen unterbricht die möglichen Strombahnen. Die Wirbelströme bleiben auf das einzelne dünne Blech beschränkt und werden dadurch stark verkleinert.

Wichtig ist, dass die Bleche quer zur Wirbelstromrichtung, also parallel zum Feld, geschichtet werden. Der wird dadurch nicht behindert, der Wirbelstrom aber sehr wohl.

(Bei hohen reichen Bleche nicht mehr; dort verwendet man Ferritkerne, die magnetisierbar, aber elektrisch schlecht leitend sind.)

c) In L=μ0μrN2AℓL = \mu_0\mu_r\frac{N^2 A}{\ell} steht NN im Quadrat. Bei dreifacher Windungszahl:

Lneu=32⋅L=9LL_{\text{neu}} = 3^2 \cdot L = 9 L

Die Induktivität wird also neunmal so groß.

🔴 Warum N2N^2? Die Windungszahl wirkt zweifach: Mehr Windungen erzeugen bei gleichem Strom ein stärkeres Feld (Faktor NN), und mehr Windungen nehmen die Flussänderung häufiger auf (nochmals Faktor NN).

d) Weil die Bremskraft von der Flussänderung abhängt, und die entsteht nur bei Bewegung.

Nach dem Induktionsgesetz ist Uind∼ΔΦΔtU_{\text{ind}} \sim \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}. Steht der Zug still, ändert sich nichts, es fließen keine Wirbelströme, und es wirkt keine .

Die Bremskraft ist ungefähr der proportional: stark bei hohem Tempo, schwach bei langsamer Fahrt, null im Stillstand.

Praktische Folge: Wirbelstrombremsen eignen sich hervorragend zum Abbremsen aus hoher Geschwindigkeit, verschleißfrei und ohne Berührung. Zum Anhalten und Festhalten braucht man zusätzlich eine mechanische Bremse.

Deshalb hat der ICE 3 beides: eine Wirbelstrombremse für den Hauptteil der Verzögerung und Scheibenbremsen für den letzten Teil und zum Feststellen. Dasselbe gilt für Achterbahnen, deren Wirbelstrombremsen den Zug sanft abfangen, ihn aber nicht in der Station halten können.

Zum Vergleich: Bei einer mechanischen Bremse ist es umgekehrt; sie wirkt gerade im Stillstand am zuverlässigsten, verschleißt dafür aber.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht, vier Anwendungen der Lenzschen Regel

    Alle vier Teilaufgaben sind Begründungen: a) der schwergängige Dynamo, b) die geschichteten Trafokerne, c) die Wirkung dreifacher Windungszahl auf die Induktivität, d) die Wirbelstrombremse im Stillstand.

  2. 2

    c) Warum die Windungszahl quadratisch eingeht

    In L=μ0μrN2AℓL = \mu_0\mu_r\frac{N^2 A}{\ell} steht NN im Quadrat. Bei dreifacher Windungszahl wird die Induktivität deshalb neunmal so groß.

  3. 3

    c) Die neue Induktivität

    Das Verhältnis der Induktivitäten ist das Quadrat des Verhältnisses der Windungszahlen.

    LneuL=(3NN)2=9\frac{L_{\text{neu}}}{L} = \left(\frac{3N}{N}\right)^2 = 9

    Zwischenergebnis

    Lneu=9LL_{\text{neu}} = 9 L

  4. 4

    a) und b) Dynamo und geschichtete Trafokerne

    a) Das eingeschaltete Licht ermöglicht Stromfluss, und nach Lenz wirkt dieser Strom der Drehbewegung entgegen, bei offenem Kreis fließt nichts und außer Reibung wirkt nichts. b) Das Wechselfeld induziert auch im Eisen Spannungen; ein massiver Kern ließe große Wirbelströme zu, die ihn erwärmen.

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: warum die Wirbelstrombremse nicht festhält

    Weil die Bremskraft von der Flussänderung abhängt, und die entsteht nur bei Bewegung. Steht der Zug still, ändert sich nichts, es fließen keine Wirbelströme, und es wirkt keine Kraft. Die Bremskraft ist ungefähr der Geschwindigkeit proportional.

Übung 3

schwer

a) Begründe die Lenzsche Regel aus dem Energieerhaltungssatz.

b) Erkläre, warum eine sich gegenüber Stromänderungen wie eine gegenüber Geschwindigkeitsänderungen verhält.

c) Eine Spule (L=0,2 HL = 0{,}2\,\text{H}) führt 5 A5\,\text{A}. Der Strom wird in 50 µs50\,\text{µs} abgeschaltet. Wie hoch ist die Spannungsspitze, und wo bleibt die ?

d) Vergleiche die Energiespeicherung in und Spule.

Tipp anzeigen

a) Nimm das Gegenteil an und verfolge die Folgen.

Lösung anzeigen

a) Beweis durch Widerspruch.

Nimm an, der würde seine Ursache unterstützen.

Nähert man einen Magneten einer Spule, würde er dann angezogen. Dabei würde er schneller, die Flussänderung ΔΦΔt\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} größer, der Induktionsstrom stärker und die anziehende ebenfalls.

Das System würde sich also selbst aufschaukeln und dabei gleichzeitig liefern:

  • wachsende kinetische Energie des Magneten,
  • wachsende elektrische Energie im .

Und zwar ohne jede Energiezufuhr von außen. Das ist ein Perpetuum mobile erster Art, das dem Energieerhaltungssatz widerspricht.

Also muss die Annahme falsch sein: Der Induktionsstrom wirkt seiner Ursache entgegen.

🔴 Die Regel ist damit keine unabhängige Naturbeobachtung, sondern eine logische Notwendigkeit. Praktisch bedeutet sie, dass elektrische Energie aus Induktion immer mechanisch bezahlt werden muss.

b) Die Entsprechung im Einzelnen:

MechanikSpule
Masse mmInduktivität LL
vv II
Kraft FF UU
F=mΔvΔtF = m\frac{\Delta v}{\Delta t}U=LΔIΔtU = L\frac{\Delta I}{\Delta t}
E=12mv2E = \frac{1}{2}mv^2E=12LI2E = \frac{1}{2}LI^2

Was die Entsprechung inhaltlich bedeutet:

  • Eine Masse lässt sich nicht sprunghaft beschleunigen; man braucht Kraft und Zeit. Ebenso lässt sich der Strom in einer Spule nicht sprunghaft ändern; man braucht Spannung und Zeit.
  • Eine bewegte Masse will weiterlaufen; eine stromdurchflossene Spule will den Strom aufrechterhalten. Daher der Funke beim Abschalten, der dem Weiterrollen eines Wagens entspricht.
  • Beide speichern Energie, die proportional zum Quadrat der jeweiligen „Bewegungsgröße" ist.

🔴 Diese Analogie ist mehr als eine Merkhilfe. Beim elektrischen im nächsten Kapitel entspricht die Spule der Masse und der Kondensator der Feder. Die Schwingungsgleichungen sind deshalb formal identisch, und alles, was du über den Federschwinger weißt, überträgt sich unmittelbar.

c) Spannungsspitze:

∣Uind∣=L⋅ΔIΔt=0,2 H⋅5 A50⋅10−6 s=0,2⋅105 V=20000 V|U_{\text{ind}}| = L \cdot \frac{\Delta I}{\Delta t} = 0{,}2\,\text{H} \cdot \frac{5\,\text{A}}{50 \cdot 10^{-6}\,\text{s}} = 0{,}2 \cdot 10^{5}\,\text{V} = 20000\,\text{V}

Zwanzigtausend Volt aus einer Spule, die vielleicht an 12 V12\,\text{V} betrieben wurde.

Wo die Energie bleibt. Im waren gespeichert:

E=12LI2=12⋅0,2 H⋅25 A2=2,5 JE = \frac{1}{2}LI^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}2\,\text{H} \cdot 25\,\text{A}^2 = 2{,}5\,\text{J}

Diese Energie verschwindet beim Abschalten nicht. Sie wird umgesetzt in

  • und Licht im Lichtbogen am Schaltkontakt,
  • Abbrand des Kontaktmaterials,
  • abgestrahlte elektromagnetische Störimpulse.

🔴 Der wichtige Punkt: Nicht die hohe Spannung allein ist gefährlich, sondern dass die gespeicherte Energie sich einen Weg sucht. Ohne vorgesehenen Pfad nimmt sie den Weg über den Schalter oder über ein empfindliches Halbleiterbauelement, das dabei zerstört wird.

Abhilfe: Eine Freilaufdiode parallel zur Spule leitet den Strom nach dem Abschalten weiter im Kreis, bis die Energie im Widerstand der Spule als Wärme abgebaut ist. Das dauert Millisekunden statt Mikrosekunden, Δt\Delta t wird also tausendfach größer und die Spannungsspitze entsprechend kleiner.

Genutzt wird derselbe Effekt in der Zündspule (aus 12 V12\,\text{V} werden rund 30000 V30000\,\text{V}) und in Aufwärtswandlern von Netzteilen.

d) Gemeinsamkeiten:

  • Beide speichern Energie in einem Feld, nicht in Materie.
  • Beide Energieformeln haben denselben Bau mit Faktor 12\frac{1}{2}, weil die maßgebliche Größe linear von null anwächst.
  • Beide geben ihre Energie vollständig wieder ab (idealisiert, ohne Verluste).

Unterschiede:

KondensatorSpule
Feldelektrischmagnetisch
Energie12CU2\frac{1}{2}CU^212LI2\frac{1}{2}LI^2
Maßgebliche GrößeSpannungStrom
Ruhezustand hält Energieja, dauerhaftnein
Träge gegenSpannungsänderungStromänderung
AnalogonFederMasse

🔴 Der wichtigste praktische Unterschied: Ein Kondensator hält seine auch ohne Stromfluss, unter Umständen über Stunden. Eine Spule braucht dagegen einen dauernden Strom, um ihr Feld aufrechtzuerhalten; wird der Kreis unterbrochen, ist die Energie binnen Millisekunden weg.

Deshalb eignen sich Kondensatoren zum Speichern, Spulen dagegen zum Glätten und Filtern von Strömen. In Netzteilen findet man beide: Die Spule glättet den Strom, der Kondensator die Spannung.

Und deshalb ein LC-Kreis: Die Energie pendelt zwischen dem des Kondensators und dem magnetischen Feld der Spule hin und her, genau wie beim Federschwinger zwischen Spannenergie und Bewegungsenergie.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht: Beweis, Analogie und eine Abschaltspitze

    c) gibt L=0,2 HL = 0{,}2\,\text{H} bei I=5 AI = 5\,\text{A}, abgeschaltet in 50 µs50\,\text{µs}; gesucht sind Spannungsspitze und Verbleib der Energie. a), b) und d) verlangen Beweis, Analogie und Vergleich.

  2. 2

    a) Die Lenzsche Regel aus dem Energiesatz beweisen

    Widerspruchsbeweis: Nimm an, der Induktionsstrom unterstützte seine Ursache. Ein genäherter Magnet würde dann angezogen, würde schneller, die Flussänderung größer, der Strom stärker, die Kraft größer, das System schaukelt sich auf und liefert gleichzeitig kinetische und elektrische Energie ohne jede Zufuhr.

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    b) Die Spule als elektrische Masse

    Die Entsprechung ist vollständig: Masse mm ↔ Induktivität LL, Geschwindigkeit vv ↔ Stromstärke II, Kraft FF ↔ Spannung UU, F=mΔvΔtF = m\frac{\Delta v}{\Delta t} ↔ U=LΔIΔtU = L\frac{\Delta I}{\Delta t}, und E=12mv2E = \frac{1}{2}mv^2 ↔ E=12LI2E = \frac{1}{2}LI^2.

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    c) Spannungsspitze und gespeicherte Energie

    Erst die Spannungsspitze aus Induktivität und Stromänderungsrate, dann die vorher gespeicherte Feldenergie.

    ∣Uind∣=0,2 H⋅5 A50⋅10−6 s=20000 V|U_{\text{ind}}| = 0{,}2\,\text{H} \cdot \frac{5\,\text{A}}{50 \cdot 10^{-6}\,\text{s}} = 20000\,\text{V}; E=12⋅0,2 H⋅25 A2=2,5 JE = \frac{1}{2} \cdot 0{,}2\,\text{H} \cdot 25\,\text{A}^2 = 2{,}5\,\text{J}

    Zwischenergebnis

    ∣Uind∣=20000 V|U_{\text{ind}}| = 20000\,\text{V}, E=2,5 JE = 2{,}5\,\text{J}

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    d) Ergebnis deuten: Kondensator und Spule im Vergleich

    Beide speichern Energie in einem Feld, beide Formeln haben denselben Bau mit Faktor 12\frac{1}{2}. Verschieden ist die maßgebliche Größe: beim Kondensator die Spannung, bei der Spule der Strom. Und entscheidend: Ein Kondensator hält seine Energie auch ohne Stromfluss, eine Spule braucht einen dauernden Strom.

Zusammenfassung

Die Lenzsche Regel besagt, dass der stets seiner Ursache entgegenwirkt, und sie ist keine zusätzliche Beobachtung, sondern eine zwingende Folge des Energieerhaltungssatzes, weil andernfalls ein Perpetuum mobile möglich wäre. Deshalb kostet Induktion in jedem Fall , gleich in welche Richtung man bewegt, und deshalb wird ein Dynamo schwergängig, sobald Strom entnommen wird. In massiven Leitern entstehen dabei Wirbelströme, die technisch zum berührungslosen Bremsen und zum Erhitzen genutzt werden, in Transformatorkernen aber unerwünscht sind und durch geschichtete Bleche eingeschränkt werden. Auch der eigene Strom einer wirkt auf sie zurück, weshalb sie sich gegenüber Stromänderungen träge verhält wie eine gegenüber Geschwindigkeitsänderungen; beim Abschalten entstehen dadurch sehr hohe . Die im gespeicherte Energie folgt derselben Bauform wie beim Kondensator und beim bewegten Körper, was die Grundlage für den elektromagnetischen Schwingkreis bildet.