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Mechanik

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung und freier Fall

Was Beschleunigung wirklich misst, warum der Weg quadratisch mit der Zeit wächst und wie der freie Fall daraus folgt.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Ein Auto bremst aus 50 kmh50\,\frac{\text{km}}{\text{h}} in etwa 15 m15\,\text{m} zum Stehen. Aus 100 kmh100\,\frac{\text{km}}{\text{h}} braucht es nicht 30 m30\,\text{m}, sondern rund 60 m60\,\text{m}.

Doppeltes Tempo, vierfacher Bremsweg. Dieser Zusammenhang ist keine Eigenheit von Autos, sondern folgt zwingend aus der Mathematik der beschleunigten Bewegung, und er ist der wichtigste Grund für Geschwindigkeitsbegrenzungen. In diesem Kapitel entsteht er Schritt für Schritt, zusammen mit den Gesetzen, die auch für den freien Fall gelten.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die Beschleunigung als Größe charakterisieren und berechnen.

  • die gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit ihren Gleichungen beschreiben.

  • begründen, warum der Weg quadratisch mit der Zeit wächst.

  • v-t- und s-t-Diagramme beschleunigter Bewegungen deuten.

  • den freien Fall als Sonderfall behandeln.

  • den Zusammenhang zwischen und Bremsweg erklären.

Die Beschleunigung

Ändert sich die eines Körpers, so ist er beschleunigt. Wie schnell sie sich ändert, gibt die Beschleunigung aa an:

a=ΔvΔt=v−v0t\boxed{a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{t}}

Einheit:

[a]=mss=ms2\left[a\right] = \frac{\frac{\text{m}}{\text{s}}}{\text{s}} = \frac{\text{m}}{\text{s}^2}

a=3 ms2a = 3\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} heißt wörtlich: In jeder Sekunde nimmt die Geschwindigkeit um 3 ms3\,\frac{\text{m}}{\text{s}} zu. Nach einer Sekunde 3 ms3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, nach zwei Sekunden 6 ms6\,\frac{\text{m}}{\text{s}} und so fort.

🔴 In der Physik heißt auch das Langsamerwerden „Beschleunigung", dann mit negativem Vorzeichen. Man spricht von Verzögerung oder Bremsverzögerung. Es gibt keine eigene Größe dafür.

Größenordnungen:

Vorgangaa in ms2\frac{\text{m}}{\text{s}^2}
Anfahren eines Zuges0,5
Auto beim Beschleunigen3
Vollbremsung (trocken)8
freier Fall9,81
Sportwagen (Start)12

Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Gleichmäßig beschleunigt heißt: aa ist konstant, die wächst in gleichen Zeitabschnitten um gleiche Beträge.

Geschwindigkeit. Aus der Definition von aa folgt durch Umstellen sofort:

v=a⋅t(Start aus der Ruhe)v = a \cdot t \qquad \text{(Start aus der Ruhe)} v=v0+a⋅t(mit Anfangsgeschwindigkeit)v = v_0 + a \cdot t \qquad \text{(mit Anfangsgeschwindigkeit)}

Weg. Hier kann man nicht einfach s=v⋅ts = v \cdot t nehmen, denn vv ändert sich ja ständig. Welches vv sollte man einsetzen?

Der Ausweg führt über das v-t-Diagramm. Dort ist die Fläche unter dem Graphen der Weg, und bei gleichmäßiger Beschleunigung ist der Graph eine Ursprungsgerade. Die Fläche darunter ist ein Dreieck:

s=12⋅Grundseite⋅Ho¨he=12⋅t⋅vs = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot t \cdot v

Setzt man v=a⋅tv = a \cdot t ein:

s=12⋅a⋅t2\boxed{s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2}

🔴 Der Faktor 12\frac{1}{2} ist kein Trick. Er kommt daher, dass die Geschwindigkeit bei null beginnt und erst allmählich wächst. Man legt also im Mittel nur die halbe Endgeschwindigkeit zurück. Gleichwertig: Man rechnet mit der mittleren Geschwindigkeit v‾=v2\overline{v} = \frac{v}{2} und erhält s=v‾⋅t=v2⋅ts = \overline{v} \cdot t = \frac{v}{2} \cdot t.

Dieselbe Struktur kennst du schon von der Spannarbeit einer Feder in Klasse 8: Auch dort ein Dreieck, auch dort ein 12\frac{1}{2}, und aus demselben Grund.

Ohne Zeit. Setzt man t=vat = \frac{v}{a} in die Wegformel ein, entsteht eine Gleichung, die die Zeit nicht mehr enthält:

s=12a(va)2=v22abzw.v=2 a ss = \frac{1}{2} a \left(\frac{v}{a}\right)^2 = \frac{v^2}{2a} \qquad \text{bzw.} \qquad v = \sqrt{2 \, a \, s}

Genau diese Form braucht man beim Bremsweg.

Die Diagramme

gleichförmiggleichmäßig beschleunigt
a-tauf der Nullliniewaagerechte Linie über null
v-twaagerechte LinieGerade durch den Ursprung
s-tGeradeParabel (nach oben gekrümmt)

Die Parabel im s-t-Diagramm ist der sichtbare Ausdruck des t2t^2: In jedem weiteren Zeitabschnitt wird ein größerer Weg zurückgelegt, weil man ja schneller geworden ist.

Zwei Ableseregeln, die durchgehend gelten:

  • Die Steigung im s-t-Diagramm ist die .
  • Die Fläche unter dem v-t-Graphen ist der Weg.
  • Zusätzlich: Die Steigung im v-t-Diagramm ist die Beschleunigung.
Dieselbe Bewegung, zwei Diagramme (a = 2 m/s²)12345246810t in sv in m/sv = a · tGerade durch den Ursprung12345510152025t in ss in ms = ½ · a · t²Parabel, immer steilerGleiche Zunahme der Geschwindigkeit, immer größere Wege

Dieselbe Bewegung, zwei Diagramme. Links eine Gerade durch den Ursprung, rechts eine Parabel und beide beschreiben denselben Vorgang. Wer die Diagramme verwechselt, liest aus derselben Kurve Gegenteiliges heraus.

Der freie Fall

Der freie Fall ist die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit, wenn man den Luftwiderstand vernachlässigt. Die Beschleunigung ist dann die Fallbeschleunigung

g=9,81 ms2≈10 ms2g = 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \approx 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

Die Gleichungen sind dieselben, nur mit gg statt aa:

v=g⋅ts=12gt2v=2gsv = g \cdot t \qquad s = \frac{1}{2} g t^2 \qquad v = \sqrt{2 g s}

🔴 Alle Körper fallen gleich schnell, unabhängig von ihrer . In den Gleichungen kommt mm gar nicht vor. Dass eine Feder langsamer fällt als ein Stein, liegt am Luftwiderstand, nicht an der Masse. In einer luftleeren Röhre fallen Feder und Bleikugel exakt gleich schnell, und genau dieser Versuch wurde 1971 auf dem Mond mit Hammer und Falkenfeder öffentlich vorgeführt.

Diesen Zusammenhang hattest du bereits in Klasse 7 im ersten Kapitel gemessen und in Klasse 8 über die Energieerhaltung begründet. Jetzt steht er auch in der Bewegungsgleichung.

Zur Ehrlichkeit: In der Luft gilt der freie Fall nur näherungsweise und nur für kurze Fallzeiten. Mit wachsender nimmt der Luftwiderstand zu, bis er die ausgleicht. Ab dann fällt der Körper gleichförmig mit seiner Endgeschwindigkeit: bei einem Menschen ohne Schirm etwa 200 kmh200\,\frac{\text{km}}{\text{h}}, mit geöffnetem Schirm rund 20 kmh20\,\frac{\text{km}}{\text{h}}.

Freier Fall: alle 0,2 s ein BlitzStart, t = 019,6 cm0,2 sv = 1,96 m/s58,9 cm0,4 sv = 3,92 m/s98,1 cm0,6 sv = 5,89 m/sDer Weg wächst quadratisch, das Tempo gleichmäßig

Rechne die drei Fallwege nach: 19,6 cm · 3 ergibt 58,9 cm, 19,6 cm · 5 ergibt 98,1 cm. Die Wege verhalten sich wie 1 : 3 : 5, weil der Weg quadratisch wächst. Die dagegen nimmt in jedem Abschnitt um denselben Betrag zu.

Der Bremsweg

Aus s=v22as = \frac{v^2}{2a} folgt unmittelbar: Der Bremsweg wächst mit dem Quadrat der .

  • doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfachen Bremsweg
  • dreifache Geschwindigkeit bedeutet neunfachen Bremsweg

Dazu kommt der Reaktionsweg, den das Fahrzeug während der Schrecksekunde ungebremst zurücklegt. Er wächst nur linear mit der Geschwindigkeit, weil die Reaktionszeit gleich bleibt.

Anhalteweg=Reaktionsweg+Bremsweg\text{Anhalteweg} = \text{Reaktionsweg} + \text{Bremsweg}

Die Fahrschulformeln für trockene Straße lauten (mit vv in kmh\frac{\text{km}}{\text{h}}):

Reaktionsweg≈v10⋅3Bremsweg≈(v10)2\text{Reaktionsweg} \approx \frac{v}{10} \cdot 3 \qquad \text{Bremsweg} \approx \left(\frac{v}{10}\right)^2

Sie sind nichts anderes als die obigen Gesetze in bequemer Form: Der Reaktionsweg ist linear, der Bremsweg quadratisch.

Doppeltes Tempo, vierfacher Bremsweg50 km/h15 m25 m40 m100 km/h30 m100 m130 mReaktionsweg, wächst wie vBremsweg, wächst wie v²Faustformeln: Reaktionsweg = (v/10) · 3, Bremsweg = (v/10)².

Bei doppelter verdoppelt sich der Reaktionsweg, aber der Bremsweg wird viermal so lang. Deshalb wächst der Anhalteweg von 40 m auf 130 m, also weit mehr als aufs Doppelte.

Beschleunigung, Weg und Endgeschwindigkeit

Ein Auto beschleunigt aus dem Stand gleichmäßig mit a=2,5 ms2a = 2{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}.

a) Welche hat es nach 8 s8\,\text{s} (in ms\frac{\text{m}}{\text{s}} und kmh\frac{\text{km}}{\text{h}})?

b) Welchen Weg hat es dabei zurückgelegt?

c) Nach welchem Weg erreicht es 100 kmh100\,\frac{\text{km}}{\text{h}}?

d) Wie lange dauert das?

  1. 1

    a) Geschwindigkeit nach der Zeit:

    v=a⋅t=2,5 ms2⋅8 s=20 msv = a \cdot t = 2{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 8\,\text{s} = 20\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Die Einheit: ms2⋅s=ms\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \text{s} = \frac{\text{m}}{\text{s}}. Passt.

    Umgerechnet: 20⋅3,6=72 kmh20 \cdot 3{,}6 = 72\,\frac{\text{km}}{\text{h}}.

  2. 2

    b) Weg mit der Wegformel:

    s=12at2=12⋅2,5 ms2⋅(8 s)2=12⋅2,5⋅64 m=80 ms = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \cdot 2{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (8\,\text{s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2{,}5 \cdot 64\,\text{m} = 80\,\text{m}

    Kontrolle über die mittlere Geschwindigkeit: Sie beträgt 0+202=10 ms\frac{0 + 20}{2} = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, in 8 s8\,\text{s} also 80 m80\,\text{m}. Stimmt überein.

    🔴 Wer hier s=v⋅t=20⋅8=160 ms = v \cdot t = 20 \cdot 8 = 160\,\text{m} rechnet, verdoppelt das Ergebnis. Das Auto war ja nicht die ganze Zeit 20 ms20\,\frac{\text{m}}{\text{s}} schnell.

  3. 3

    c) Weg ohne Zeit. Erst umrechnen: 100 kmh=1003,6≈27,8 ms100\,\frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{100}{3{,}6} \approx 27{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.

    s=v22a=(27,8 ms)22⋅2,5 ms2=772,85 m≈155 ms = \frac{v^2}{2a} = \frac{(27{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{2 \cdot 2{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = \frac{772{,}8}{5}\,\text{m} \approx 155\,\text{m}
  4. 4

    d) Zeit aus der Geschwindigkeitsformel:

    t=va=27,8 ms2,5 ms2≈11,1 st = \frac{v}{a} = \frac{27{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{2{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}} \approx 11{,}1\,\text{s}

    Ein Wert, den man aus Autotests kennt („00 auf 100100 in 1111 Sekunden"). Die Größenordnung passt also zur Wirklichkeit.

    Gegenprobe mit der Wegformel: s=12⋅2,5⋅11,12≈154 ms = \frac{1}{2} \cdot 2{,}5 \cdot 11{,}1^2 \approx 154\,\text{m}. Stimmt mit c) überein.

a) 20 ms=72 kmh20\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 72\,\frac{\text{km}}{\text{h}} b) 80 m80\,\text{m} c) rund 155 m155\,\text{m} d) etwa 11,1 s11{,}1\,\text{s}.

Freier Fall vom Turm

Ein Stein fällt von einem 45 m45\,\text{m} hohen Turm (g=10 ms2g = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}, Luftwiderstand vernachlässigt).

a) Wie lange fällt er?

b) Mit welcher schlägt er auf?

c) Welchen Weg legt er in der ersten und welchen in der dritten Sekunde zurück?

d) Ein doppelt so schwerer Stein wird gleichzeitig fallen gelassen. Was passiert?

  1. 1

    a) Fallzeit aus der Wegformel. Gegeben ist der Weg, gesucht die Zeit:

    s=12gt2⇒t=2sg=2⋅45 m10 ms2=9 s2=3 ss = \frac{1}{2} g t^2 \quad \Rightarrow \quad t = \sqrt{\frac{2s}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 45\,\text{m}}{10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} = \sqrt{9\,\text{s}^2} = 3\,\text{s}
  2. 2

    b) Aufprallgeschwindigkeit über die Zeit:

    v=g⋅t=10 ms2⋅3 s=30 ms=108 kmhv = g \cdot t = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 3\,\text{s} = 30\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 108\,\frac{\text{km}}{\text{h}}

    Kontrolle ohne Zeit: v=2gs=2⋅10⋅45=900=30 msv = \sqrt{2gs} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 45} = \sqrt{900} = 30\,\frac{\text{m}}{\text{s}}. Passt.

  3. 3

    c) Weg in einzelnen Sekunden. Man berechnet die Gesamtwege und bildet die Differenz:

    s(1 s)=12⋅10⋅12=5 ms(1\,\text{s}) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 1^2 = 5\,\text{m} s(2 s)=12⋅10⋅4=20 ms(2\,\text{s}) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20\,\text{m} s(3 s)=12⋅10⋅9=45 ms(3\,\text{s}) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 9 = 45\,\text{m}

    Erste Sekunde: 5 m−0=5 m5\,\text{m} - 0 = 5\,\text{m}

    Dritte Sekunde: 45 m−20 m=25 m45\,\text{m} - 20\,\text{m} = 25\,\text{m}

  4. 4

    Das Muster dahinter. Die Wege in den aufeinanderfolgenden Sekunden verhalten sich wie

    5:15:25=1:3:55 : 15 : 25 = 1 : 3 : 5

    also wie die ungeraden Zahlen. Das ist eine direkte Folge des t2t^2 und war eine der ersten quantitativen Entdeckungen Galileis, gemessen an der schiefen Ebene, weil er den freien Fall nicht schnell genug stoppen konnte.

    🔴 Man sieht hier gut, warum ein Sturz aus großer Höhe so viel gefährlicher ist als aus kleiner: Nicht die Zeit verdreifacht die Wirkung, sondern der Weg wächst quadratisch.

  5. 5

    d) Er kommt gleichzeitig an. In keiner der Gleichungen kommt die Masse vor:

    t=2sgv=2gst = \sqrt{\frac{2s}{g}} \qquad v = \sqrt{2gs}

    Beide hängen nur von Fallhöhe und Fallbeschleunigung ab.

    Warum das der Anschauung widerspricht: Im Alltag fallen leichte Gegenstände oft langsamer, aber das liegt am Luftwiderstand, der bei großer Oberfläche und kleiner Masse besonders stark bremst. Bei zwei kompakten Steinen ist er vernachlässigbar, und sie kommen tatsächlich gleichzeitig an.

a) 3 s3\,\text{s} b) 30 ms=108 kmh30\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 108\,\frac{\text{km}}{\text{h}} c) 5 m5\,\text{m} und 25 m25\,\text{m} d) gleichzeitig, weil die in den Gleichungen nicht vorkommt.

Typischer Fehler

„Bei doppelter ist der Bremsweg doppelt so lang."

Er ist viermal so lang. Der Grund steht in der Formel:

s=v22as = \frac{v^2}{2a}

Die Geschwindigkeit steht im Quadrat. Verdoppelt man sie, vervierfacht sich der Bremsweg.

In Zahlen (Vollbremsung, trockene Straße, a=8 ms2a = 8\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}):

GeschwindigkeitBremsweg
50 kmh50\,\frac{\text{km}}{\text{h}}rund 12 m12\,\text{m}
100 kmh100\,\frac{\text{km}}{\text{h}}rund 48 m48\,\text{m}
150 kmh150\,\frac{\text{km}}{\text{h}}rund 109 m109\,\text{m}

Woher der Denkfehler kommt: Der Reaktionsweg wächst tatsächlich nur linear, weil die Schrecksekunde immer gleich lang ist. Wer beide Anteile vermischt, kommt auf ein lineares Gefühl.

Warum es lebenswichtig ist: Ein Kind läuft 30 m30\,\text{m} vor dem Auto auf die Straße.

  • Bei 50 kmh50\,\frac{\text{km}}{\text{h}}: Reaktionsweg rund 15 m15\,\text{m} plus Bremsweg 12 m12\,\text{m}, macht 27 m27\,\text{m}. Das Auto steht rechtzeitig.
  • Bei 70 kmh70\,\frac{\text{km}}{\text{h}}: Reaktionsweg rund 21 m21\,\text{m} plus Bremsweg 24 m24\,\text{m}, macht 45 m45\,\text{m}. Das Auto trifft das Kind mit noch etwa 50 kmh50\,\frac{\text{km}}{\text{h}}.

Nur 20 kmh20\,\frac{\text{km}}{\text{h}} mehr, und aus „gerade noch gestanden" wird ein Aufprall mit fast voller Geschwindigkeit. Genau das ist der physikalische Grund für Tempo 3030 vor Schulen.

Und derselbe Zusammenhang steckt in der : Ekin=12mv2E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} m v^2 wächst ebenfalls quadratisch, und beim Bremsen muss genau diese Energie in umgewandelt werden.

Übung 1

leicht

Ein Radfahrer beschleunigt gleichmäßig aus dem Stand mit a=1,5 ms2a = 1{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}.

a) Welche hat er nach 6 s6\,\text{s}?

b) Welchen Weg legt er dabei zurück?

c) Was bedeutet a=1,5 ms2a = 1{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} in Worten?

Tipp anzeigen

b) Nicht s=v⋅ts = v \cdot t benutzen.

Lösung anzeigen

a) v=a⋅t=1,5 ms2⋅6 s=9 ms=32,4 kmhv = a \cdot t = 1{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 6\,\text{s} = 9\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 32{,}4\,\frac{\text{km}}{\text{h}}

b) s=12at2=12⋅1,5⋅36 m=27 ms = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \cdot 1{,}5 \cdot 36\,\text{m} = 27\,\text{m}

Kontrolle über die mittlere Geschwindigkeit: 0+92=4,5 ms\frac{0+9}{2} = 4{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, in 6 s6\,\text{s} also 27 m27\,\text{m}. Passt.

c) In jeder Sekunde nimmt die Geschwindigkeit um 1,5 ms1{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}} zu. Nach einer Sekunde ist er 1,5 ms1{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}} schnell, nach zwei Sekunden 3 ms3\,\frac{\text{m}}{\text{s}} und so weiter.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht beim beschleunigenden Radfahrer

    Gegeben: Start aus dem Stand (v0=0v_0 = 0), a=1,5 ms2a = 1{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}, t=6 st = 6\,\text{s}. Gesucht: a) die Geschwindigkeit, b) der Weg, c) die Bedeutung des Zahlenwerts von aa.

  2. 2

    Zwei Formeln für Geschwindigkeit und Weg

    Aus dem Stand gilt v=a⋅tv = a \cdot t und s=12at2s = \frac{1}{2} a t^2. Der Faktor 12\frac{1}{2} und das Quadrat unterscheiden die Wegformel deutlich von s=v⋅ts = v \cdot t.

  3. 3

    a) und b) Endgeschwindigkeit und zurückgelegter Weg

    Erst v=a⋅tv = a \cdot t, dann s=12at2s = \frac{1}{2} a t^2 mit t2=36 s2t^2 = 36\,\text{s}^2.

    v=1,5 ms2⋅6 s=9 msv = 1{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 6\,\text{s} = 9\,\frac{\text{m}}{\text{s}}; s=12⋅1,5 ms2⋅36 s2=27 ms = \frac{1}{2} \cdot 1{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 36\,\text{s}^2 = 27\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    v=9 msv = 9\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, s=27 ms = 27\,\text{m}

  4. 4

    c) Ergebnis deuten: was die Einheit der Beschleunigung sagt

    1,5 ms21{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} heißt: In jeder Sekunde nimmt die Geschwindigkeit um 1,5 ms1{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}} zu. Nach einer Sekunde 1,5 ms1{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, nach zwei Sekunden 3 ms3\,\frac{\text{m}}{\text{s}} und so weiter.

Übung 2

mittel

Ein Auto fährt 54 kmh54\,\frac{\text{km}}{\text{h}} und bremst mit a=6 ms2a = 6\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}.

a) Wie lange dauert die Bremsung bis zum Stillstand?

b) Wie lang ist der Bremsweg?

c) Wie lang wäre er bei 108 kmh108\,\frac{\text{km}}{\text{h}}?

d) Berechne für beide Fälle den Anhalteweg bei 1 s1\,\text{s} Reaktionszeit.

Tipp anzeigen

Zuerst in ms\frac{\text{m}}{\text{s}} umrechnen.

Lösung anzeigen

a) v0=54:3,6=15 msv_0 = 54 : 3{,}6 = 15\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

t=v0a=15 ms6 ms2=2,5 st = \frac{v_0}{a} = \frac{15\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{6\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 2{,}5\,\text{s}

b) s=v022a=(15)22⋅6 m=22512 m=18,75 ms = \frac{v_0^2}{2a} = \frac{(15)^2}{2 \cdot 6}\,\text{m} = \frac{225}{12}\,\text{m} = 18{,}75\,\text{m}

c) v0=108:3,6=30 msv_0 = 108 : 3{,}6 = 30\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

s=90012 m=75 ms = \frac{900}{12}\,\text{m} = 75\,\text{m}

Das ist genau das Vierfache von b), obwohl die nur verdoppelt wurde.

d) Der Reaktionsweg wird mit unverminderter Geschwindigkeit zurückgelegt:

sR=v0⋅tRs_{\text{R}} = v_0 \cdot t_{\text{R}}

Bei 15 ms15\,\frac{\text{m}}{\text{s}}: sR=15 ms_{\text{R}} = 15\,\text{m}, Anhalteweg 15+18,75=33,75 m15 + 18{,}75 = 33{,}75\,\text{m}

Bei 30 ms30\,\frac{\text{m}}{\text{s}}: sR=30 ms_{\text{R}} = 30\,\text{m}, Anhalteweg 30+75=105 m30 + 75 = 105\,\text{m}

Beachte den Unterschied: Der Reaktionsweg verdoppelt sich (linear), der Bremsweg vervierfacht sich (quadratisch). Der Anhalteweg wächst deshalb etwa auf das Dreifache, nicht auf das Doppelte.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht beim Bremsvorgang

    Gegeben: v0=54 kmhv_0 = 54\,\frac{\text{km}}{\text{h}}, Bremsverzögerung a=6 ms2a = 6\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}; in c) 108 kmh108\,\frac{\text{km}}{\text{h}} und in d) eine Reaktionszeit von 1 s1\,\text{s}. Gesucht: Bremsdauer, Bremsweg und Anhalteweg.

  2. 2

    Beide Geschwindigkeiten in Meter je Sekunde

    Durch 3,63{,}6 teilen: 54:3,6=15 ms54 : 3{,}6 = 15\,\frac{\text{m}}{\text{s}} und 108:3,6=30 ms108 : 3{,}6 = 30\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.

    54 kmh=15 ms54\,\frac{\text{km}}{\text{h}} = 15\,\frac{\text{m}}{\text{s}}; 108 kmh=30 ms108\,\frac{\text{km}}{\text{h}} = 30\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Zwischenergebnis

    v0=15 msv_0 = 15\,\frac{\text{m}}{\text{s}} bzw. 30 ms30\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

  3. 3

    Die beiden Bremsformeln

    Bis zum Stillstand gilt t=v0at = \frac{v_0}{a} und s=v022as = \frac{v_0^2}{2a}. Die Zeit hängt linear, der Weg quadratisch von der Anfangsgeschwindigkeit ab.

  4. 4

    a) bis c) Bremszeit und beide Bremswege

    Zeit und Weg für 15 ms15\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, danach der Weg für 30 ms30\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.

    t=156 s=2,5 st = \frac{15}{6}\,\text{s} = 2{,}5\,\text{s}; s=15212 m=18,75 ms = \frac{15^2}{12}\,\text{m} = 18{,}75\,\text{m}; s=30212 m=75 ms = \frac{30^2}{12}\,\text{m} = 75\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    t=2,5 st = 2{,}5\,\text{s}; s=18,75 ms = 18{,}75\,\text{m} bzw. 75 m75\,\text{m}

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: Reaktionsweg linear, Bremsweg quadratisch

    Der Reaktionsweg wird mit unverminderter Geschwindigkeit zurückgelegt: sR=v0⋅tRs_R = v_0 \cdot t_R, also 15 m15\,\text{m} bzw. 30 m30\,\text{m}. Anhalteweg: 15+18,75=33,75 m15 + 18{,}75 = 33{,}75\,\text{m} und 30+75=105 m30 + 75 = 105\,\text{m}.

Übung 3

schwer

a) Begründe, warum in der Wegformel der Faktor 12\frac{1}{2} steht.

b) Ein Stein fällt 2 s2\,\text{s} lang. Wie tief ist der Brunnen (g=10 ms2g = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2})?

c) Ein zweiter Brunnen ist doppelt so tief. Fällt der Stein doppelt so lange? Rechne nach.

d) Warum erreicht ein Fallschirmspringer nach einiger Zeit eine konstante , obwohl er weiter fällt?

Tipp anzeigen

a) Denke an die Fläche unter dem v-t-Graphen.

Lösung anzeigen

a) Bei gleichmäßiger Beschleunigung ist der v-t-Graph eine Ursprungsgerade: Die Geschwindigkeit startet bei null und wächst gleichmäßig bis v=a⋅tv = a \cdot t.

Der zurückgelegte Weg ist die Fläche unter diesem Graphen, und die ist ein Dreieck, kein Rechteck:

s=12⋅t⋅v=12⋅t⋅at=12at2s = \frac{1}{2} \cdot t \cdot v = \frac{1}{2} \cdot t \cdot a t = \frac{1}{2} a t^2

Gleichwertig gedacht: Der Körper war nicht die ganze Zeit vv schnell, sondern im Mittel nur halb so schnell. Deshalb rechnet man mit v‾=v2\overline{v} = \frac{v}{2}.

Ein Rechteck (s=v⋅ts = v \cdot t) würde die doppelte Fläche liefern und wäre falsch.

b) s=12gt2=12⋅10⋅4 m=20 ms = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4\,\text{m} = 20\,\text{m}

c) Nein, er fällt nicht doppelt so lange.

t=2sg=2⋅4010 s=8 s≈2,83 st = \sqrt{\frac{2s}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 40}{10}}\,\text{s} = \sqrt{8}\,\text{s} \approx 2{,}83\,\text{s}

Das ist nur das 2\sqrt{2}-fache (≈1,41\approx 1{,}41), nicht das Doppelte.

Grund: Der Weg wächst mit t2t^2, also wächst die Zeit nur mit s\sqrt{s}. Für die doppelte Tiefe braucht man deshalb die 2\sqrt{2}-fache Zeit. Umgekehrt: Doppelte Fallzeit ergäbe die vierfache Tiefe.

Nebenbei liefert das eine bekannte Abschätzung: Fallzeit in Sekunden quadrieren und mit 55 multiplizieren ergibt die Tiefe in Metern.

d) Weil der Luftwiderstand mit der Geschwindigkeit wächst.

Zu Beginn wirkt fast nur die nach unten, der Springer wird mit annähernd gg beschleunigt. Je schneller er wird, desto größer wird die bremsende Luftwiderstandskraft.

Irgendwann sind beide gleich groß und entgegengesetzt. Dann ist die resultierende Kraft null, es liegt Kräftegleichgewicht vor, und ohne resultierende Kraft ändert sich der Bewegungszustand nicht mehr: Der Springer fällt gleichförmig weiter mit seiner Endgeschwindigkeit.

Größenordnungen: ohne Schirm etwa 200 kmh200\,\frac{\text{km}}{\text{h}} (bauchlage), mit geöffnetem Schirm rund 20 kmh20\,\frac{\text{km}}{\text{h}}. Der Schirm vergrößert die Fläche und damit den Luftwiderstand drastisch, sodass sich das Gleichgewicht bei viel kleinerer Geschwindigkeit einstellt.

🔴 Das zeigt zugleich die Grenze des Modells „freier Fall": Es gilt nur, solange der Luftwiderstand vernachlässigbar ist, also für kompakte Körper und kurze Fallzeiten.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht rund um den Brunnen

    Gegeben: Fallzeit 2 s2\,\text{s} und g=10 ms2g = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}; in c) ein doppelt so tiefer Brunnen. Gesucht: die Begründung des Faktors 12\frac{1}{2}, die Tiefe, die neue Fallzeit und eine Erklärung zum Fallschirmspringer.

  2. 2

    a) Warum der Faktor ein Halb dasteht

    Bei gleichmäßiger Beschleunigung ist der v-t-Graph eine Ursprungsgerade: Die Geschwindigkeit startet bei null und wächst bis v=a⋅tv = a \cdot t. Der Weg ist die Fläche darunter, und die ist ein Dreieck: s=12⋅t⋅v=12⋅t⋅at=12at2s = \frac{1}{2} \cdot t \cdot v = \frac{1}{2} \cdot t \cdot a t = \frac{1}{2} a t^2.

  3. 3

    b) Die Tiefe des ersten Brunnens

    Fallzeit einsetzen: s=12gt2s = \frac{1}{2} g t^2 mit t2=4 s2t^2 = 4\,\text{s}^2.

    s=12⋅10 ms2⋅(2 s)2=20 ms = \frac{1}{2} \cdot 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (2\,\text{s})^2 = 20\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    s=20 ms = 20\,\text{m}

  4. 4

    c) Die Wegformel nach der Zeit umstellen

    Aus s=12gt2s = \frac{1}{2} g t^2 folgt t2=2sgt^2 = \frac{2s}{g} und damit t=2sgt = \sqrt{\frac{2s}{g}}. Weil die Zeit unter einer Wurzel steht, wächst sie nicht proportional zur Tiefe.

  5. 5

    c) Die Fallzeit im doppelt so tiefen Brunnen

    Mit s=40 ms = 40\,\text{m} ergibt sich t=2⋅4010 s=8 s≈2,83 st = \sqrt{\frac{2 \cdot 40}{10}}\,\text{s} = \sqrt{8}\,\text{s} \approx 2{,}83\,\text{s}. Das ist nur das 2\sqrt{2}-fache (≈1,41\approx 1{,}41), nicht das Doppelte.

    t=2⋅40 m10 ms2=8 s≈2,83 st = \sqrt{\frac{2 \cdot 40\,\text{m}}{10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} = \sqrt{8}\,\text{s} \approx 2{,}83\,\text{s}

    Zwischenergebnis

    t≈2,83 st \approx 2{,}83\,\text{s}

  6. 6

    d) Ergebnis deuten: wo das Modell des freien Falls endet

    Der Luftwiderstand wächst mit der Geschwindigkeit. Zu Beginn wirkt fast nur die Gewichtskraft, der Springer wird mit annähernd gg beschleunigt; je schneller er wird, desto größer die bremsende Kraft. Irgendwann sind beide gleich groß und entgegengesetzt: Kräftegleichgewicht, und ohne resultierende Kraft ändert sich der Bewegungszustand nicht mehr.

Zusammenfassung

Die Beschleunigung misst, wie schnell sich die ändert, und auch das Bremsen zählt dazu, nur mit negativem Vorzeichen. Bei gleichmäßiger Beschleunigung wächst die Geschwindigkeit linear mit der Zeit, der Weg dagegen quadratisch: Weil die Fläche unter dem v-t-Graphen ein Dreieck ist, steht in s=12at2s = \frac{1}{2} a t^2 der Faktor ein halb. Im v-t-Diagramm entsteht dadurch eine Gerade und im s-t-Diagramm eine Parabel. Der freie Fall ist derselbe Vorgang mit g=9,81 ms2g = 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}, und weil die in keiner der Gleichungen vorkommt, fallen alle Körper gleich schnell; abweichendes Verhalten geht auf den Luftwiderstand zurück. Aus s=v22as = \frac{v^2}{2a} folgt schließlich der wichtigste Alltagsschluss dieses Kapitels: Der Bremsweg wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit, während der Reaktionsweg nur linear zunimmt.