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Mechanik

Gravitation und das Gravitationsgesetz

Warum der Apfel fällt und der Mond nicht, wie das Gravitationsgesetz aussieht und was daraus für Planeten und Gezeiten folgt.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Newtons Frage war nicht, warum der Apfel fällt. Sie war: Warum fällt der Mond nicht?

Seine Antwort war revolutionär: Der Mond fällt auch, ununterbrochen. Er verfehlt die Erde nur immerzu, weil er sich gleichzeitig schnell genug seitwärts bewegt. Damit gehorchen Apfel und Mond demselben Gesetz, und das war der Moment, in dem Himmel und Erde in der Physik zusammenfielen: Es gibt keine besonderen Himmelsgesetze, es gibt nur Gesetze.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die Gravitation als grundlegende Wechselwirkung beschreiben.

  • das Gravitationsgesetz deuten und anwenden.

  • den Ortsfaktor aus dem Gravitationsgesetz herleiten.

  • erklären, warum der Mond nicht auf die Erde fällt.

  • Schwerelosigkeit in einer Umlaufbahn richtig erklären.

  • Erscheinungen wie Gezeiten und Planetenbahnen zuordnen.

Die Grundaussage

Zwischen je zwei Körpern wirkt eine anziehende , allein weil sie haben. Diese Gravitation ist eine der vier Grundkräfte der Natur.

Sie wirkt

  • immer anziehend (nie abstoßend, anders als bei ),
  • zwischen allen Massen, auch zwischen zwei Menschen im selben Raum,
  • ohne Berührung und ohne Abschirmmöglichkeit,
  • unbegrenzt weit, aber mit dem Abstand rasch schwächer werdend.

Dass wir sie nur bei der Erde bemerken, liegt an ihrer Schwäche: Zwischen zwei Menschen im Abstand von einem Meter beträgt sie weniger als ein Millionstel Newton. Erst bei sehr großen Massen wie Planeten wird sie spürbar.

Jede Masse zieht jede andere anm₁m₂r, von Mittelpunkt zu MittelpunktF auf m₁F auf m₂F = G · m₁ · m₂ / r²Anziehung gibt es immer paarweise

Miss die beiden Pfeile nach: Sie sind gleich lang, obwohl m₁ viel größer ist als m₂. Die Erde zieht den Apfel genauso stark an wie der Apfel die Erde, dass nur der Apfel fällt, liegt an der , nicht an der .

Das Gravitationsgesetz

F=G⋅m1⋅m2r2\boxed{F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}}

mit der Gravitationskonstanten

G=6,674⋅10−11 N⋅m2kg2G = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\frac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{kg}^2}

Dabei ist rr der Abstand der Mittelpunkte, nicht der Oberflächen.

Was die Formel sagt:

  • Die ist beiden proportional: doppelte Masse, doppelte Kraft.
  • Sie sinkt mit dem Quadrat des Abstands: doppelter Abstand, ein Viertel der Kraft.
  • Sie ist bei beiden Körpern gleich groß (3. newtonsches Gesetz), auch wenn ein Körper viel schwerer ist.

🔴 Der letzte Punkt überrascht oft: Der Apfel zieht die Erde mit derselben Kraft an wie umgekehrt. Nur ihre ist wegen a=Fma = \frac{F}{m} verschwindend klein.

Die winzige Zahl von GG erklärt, warum wir die Gravitation zwischen Alltagsgegenständen nie bemerken. Sie wurde erst 1798 von Cavendish mit einer Drehwaage gemessen, mehr als hundert Jahre nach Newton.

Doppelter Abstand, ein Viertel der KraftErderF2 · rF / 43 · rF / 9F ist zu 1/r² proportional

Bei doppeltem Abstand ist der Pfeil ein Viertel so lang, bei dreifachem ein Neuntel: Die Längen verhalten sich wie 1:14:191 : \tfrac14 : \tfrac19, genau wie 1/r21/r^2. Das ist der Unterschied zwischen „nimmt ab“ und „nimmt mit dem Quadrat des Abstands ab“, und er ist gewaltig.

Woher der Ortsfaktor kommt

Bisher war g=9,81 Nkgg = 9{,}81\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} eine gemessene Zahl. Jetzt lässt sie sich herleiten.

Für einen Körper der mm auf der Erdoberfläche gilt einerseits FG=m⋅gF_G = m \cdot g und andererseits das Gravitationsgesetz mit der Erdmasse MM und dem Erdradius RR:

m⋅g=G⋅M⋅mR2m \cdot g = G \cdot \frac{M \cdot m}{R^2}

Die Masse mm des Körpers kürzt sich heraus:

g=G⋅MR2\boxed{g = G \cdot \frac{M}{R^2}}

Zwei wichtige Folgerungen:

  1. Der Ortsfaktor hängt nicht vom fallenden Körper ab. Genau deshalb fallen alle Körper gleich schnell. Was in Klasse 7 gemessen und in Klasse 8 über die begründet wurde, folgt hier aus der Struktur der Formel.
  2. gg hängt von Masse und Radius des Himmelskörpers ab. Damit erklären sich die Tabellenwerte: Mond 1,621{,}62, Mars 3,713{,}71, Jupiter 24,8 Nkg24{,}8\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}.

Einsetzen für die Erde (M=5,97⋅1024 kgM = 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}, R=6371 kmR = 6371\,\text{km}) liefert tatsächlich 9,81 Nkg9{,}81\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}.

Dieselbe Masse von 1 kg, vier OrteMond1,6 NMars3,7 NErde9,8 NJupiter24,8 NEin Kilogramm wiegt nicht überall gleich

Jetzt kannst du die Balken erklären, statt sie nur abzulesen: Ihre Längen stehen im Verhältnis der Ortsfaktoren, und der ergibt sich aus g=G⋅M/r2g = G \cdot M / r^2. Jupiters großes M und die anderen r sind der ganze Grund für die Unterschiede.

Warum der Mond nicht herunterfällt

Er fällt, und zwar ständig. Aber er bewegt sich gleichzeitig seitwärts, und zwar so schnell, dass er die Erde immerzu verfehlt.

Newton erklärte das mit einem Gedankenexperiment: Man stelle sich eine Kanone auf einem sehr hohen Berg vor.

  • Kleine Abschussgeschwindigkeit: Die Kugel fällt nach kurzer Strecke zu Boden.
  • Größere : Sie fliegt weiter, die Erdoberfläche krümmt sich schon etwas weg.
  • Bei genau der richtigen Geschwindigkeit: Die Kugel fällt genauso schnell, wie sich die Erde unter ihr wegkrümmt. Sie kommt nie an und umkreist die Erde.

Genau das tun Mond und Satelliten. Die Gravitation liefert dabei die der :

G⋅M⋅mr2=mv2rG \cdot \frac{M \cdot m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}

Die Satellitenmasse kürzt sich heraus, und man erhält

v=GMrv = \sqrt{\frac{G M}{r}}

Die nötige Bahngeschwindigkeit hängt also nicht von der des Satelliten ab, sondern nur von seiner Bahnhöhe. In erdnaher Bahn sind das rund 7,9 kms7{,}9\,\frac{\text{km}}{\text{s}}.

Der Mond fällt dauernd und kommt doch nicht anErdeMondohne Anziehung: geradeausAnziehungbeides zusammen:die BahnEine Umlaufbahn ist ein Fall, der nie ankommt

Der Mond fällt die ganze Zeit, nur trägt ihn seine Bahngeschwindigkeit dabei so weit zur Seite, dass er der Erde nie näher kommt. Eine Umlaufbahn ist nichts anderes als ein Fall, der nie ankommt.

Schwerelosigkeit

In der Raumstation schweben Astronauten. Der verbreitete Schluss lautet: Dort wirke keine Schwerkraft mehr.

🔴 Das ist falsch. In 400 km400\,\text{km} Höhe beträgt die Gravitation noch etwa 89 %89\,\% des Bodenwerts. Der Erdradius ist ja 6371 km6371\,\text{km}, die Station also nur wenige Prozent weiter vom Erdmittelpunkt entfernt.

Was wirklich passiert: Station und Astronaut befinden sich beide im freien Fall um die Erde. Sie fallen mit genau derselben , deshalb gibt es zwischen ihnen keine , und der Astronaut drückt nicht auf den Boden. Man spricht deshalb genauer von Schwerelosigkeit durch freien Fall.

Dasselbe erlebt man kurzzeitig in einem fallenden Aufzug oder auf dem Höhepunkt einer Achterbahnkuppe.

Weitere Erscheinungen

Gezeiten. Der Mond zieht das Wasser auf der zugewandten Seite stärker an als den Erdmittelpunkt, auf der abgewandten Seite schwächer. Dadurch entstehen zwei Flutberge, und weil sich die Erde darunter dreht, gibt es an einem Ort zweimal täglich Flut. Die Sonne verstärkt oder schwächt den Effekt (Spring- und Nipptide).

Planetenbahnen. Dieselbe hält die Planeten auf ihren Bahnen. Mit dem Gravitationsgesetz ließen sich die keplerschen Gesetze erstmals begründen statt nur zu beschreiben.

Neptun. Aus Bahnabweichungen des Uranus wurde 1846 die Position eines unbekannten Planeten berechnet; dort fand man ihn tatsächlich. Ein eindrucksvoller Beleg dafür, dass eine gute Theorie Neues vorhersagt und nicht nur Bekanntes ordnet.

Grenze, ehrlich benannt: Bei sehr starken Feldern (Schwarze Löcher, Merkurbahn) versagt Newtons Gesetz geringfügig. Es wird dann durch Einsteins allgemeine Relativitätstheorie ersetzt, die die Gravitation als Krümmung von Raum und Zeit beschreibt.

Gravitationskraft berechnen

Die Erde hat M=5,97⋅1024 kgM = 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg} und R=6371 kmR = 6371\,\text{km}.

a) Berechne die Gravitationskraft auf einen Menschen von 70 kg70\,\text{kg} an der Oberfläche.

b) Berechne daraus den Ortsfaktor.

c) Wie groß ist die in 400 km400\,\text{km} Höhe (Raumstation)?

d) Wie groß ist die Anziehung zwischen zwei Menschen (70 kg70\,\text{kg}) im Abstand 1 m1\,\text{m}?

  1. 1

    a) Einsetzen ins Gravitationsgesetz (R=6,371⋅106 mR = 6{,}371 \cdot 10^6\,\text{m}):

    F=GMmR2=6,674⋅10−11⋅5,97⋅1024⋅70(6,371⋅106)2 NF = G \frac{M m}{R^2} = 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{5{,}97 \cdot 10^{24} \cdot 70}{(6{,}371 \cdot 10^6)^2}\,\text{N} F=6,674⋅10−11⋅4,179⋅10264,059⋅1013 N≈687 NF = 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{4{,}179 \cdot 10^{26}}{4{,}059 \cdot 10^{13}}\,\text{N} \approx 687\,\text{N}
  2. 2

    b) Ortsfaktor als Kraft je :

    g=Fm=687 N70 kg≈9,81 Nkgg = \frac{F}{m} = \frac{687\,\text{N}}{70\,\text{kg}} \approx 9{,}81\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}

    Genau der bekannte Wert. Damit ist gezeigt, dass gg keine willkürlich gemessene Zahl ist, sondern aus Erdmasse und Erdradius folgt.

  3. 3

    c) In 400 km400\,\text{km} Höhe ist der Abstand vom Erdmittelpunkt

    r=6371 km+400 km=6771 km=6,771⋅106 mr = 6371\,\text{km} + 400\,\text{km} = 6771\,\text{km} = 6{,}771 \cdot 10^6\,\text{m} F=6,674⋅10−11⋅5,97⋅1024⋅70(6,771⋅106)2 N≈608 NF = 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{5{,}97 \cdot 10^{24} \cdot 70}{(6{,}771 \cdot 10^6)^2}\,\text{N} \approx 608\,\text{N}

    Das sind noch 608687≈89 %\frac{608}{687} \approx 89\,\% des Bodenwerts.

    🔴 Genau hier liegt der Denkfehler zur Schwerelosigkeit. Die Gravitation ist dort fast unvermindert vorhanden. Astronauten schweben nicht, weil keine Kraft wirkt, sondern weil sie gemeinsam mit der Station frei fallen.

  4. 4

    d) Zwischen zwei Menschen:

    F=6,674⋅10−11⋅70⋅7012 N=6,674⋅10−11⋅4900 N≈3,3⋅10−7 NF = 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{70 \cdot 70}{1^2}\,\text{N} = 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 4900\,\text{N} \approx 3{,}3 \cdot 10^{-7}\,\text{N}

    Das sind 0,33 µN0{,}33\,\text{µN}, also weniger als ein Millionstel Newton. Zum Vergleich: Ein Sandkorn wiegt etwa das Zehnfache.

    Deshalb bemerkt man die Gravitation im Alltag nur bei der Erde: Sie ist eine extrem schwache Kraft, und erst planetare Massen machen sie spürbar.

a) 687 N687\,\text{N} b) 9,81 Nkg9{,}81\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} c) 608 N608\,\text{N}, also 89 %89\,\% d) rund 3,3⋅10−7 N3{,}3 \cdot 10^{-7}\,\text{N}.

Warum der Mond nicht herunterfällt

Der Mond umkreist die Erde in r=384000 kmr = 384000\,\text{km} Abstand.

a) Berechne die nötige Bahngeschwindigkeit.

b) Berechne daraus die Umlaufzeit und vergleiche mit dem tatsächlichen Wert von 27,327{,}3 Tagen.

c) Erkläre mit Newtons Gedankenexperiment, warum der Mond nicht auf die Erde stürzt.

  1. 1

    a) Gravitationskraft ist die . Gleichsetzen:

    GMmr2=mv2rG \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}

    Die Mondmasse mm kürzt sich heraus, und ein rr ebenfalls:

    v=GMr=6,674⋅10−11⋅5,97⋅10243,84⋅108 msv = \sqrt{\frac{G M}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24}}{3{,}84 \cdot 10^8}}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} v=1,038⋅106 ms≈1019 ms≈1,02 kmsv = \sqrt{1{,}038 \cdot 10^6}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 1019\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 1{,}02\,\frac{\text{km}}{\text{s}}
  2. 2

    b) Umlaufzeit über den Bahnumfang:

    T=2πrv=2π⋅3,84⋅108 m1019 ms≈2,37⋅106 sT = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \cdot 3{,}84 \cdot 10^8\,\text{m}}{1019\,\frac{\text{m}}{\text{s}}} \approx 2{,}37 \cdot 10^6\,\text{s} T=2,37⋅10686400 d≈27,4 dT = \frac{2{,}37 \cdot 10^6}{86400}\,\text{d} \approx 27{,}4\,\text{d}

    Der tatsächliche Wert beträgt 27,3 d27{,}3\,\text{d}. Die Übereinstimmung auf ein halbes Prozent ist bemerkenswert, wenn man bedenkt, dass hier mit einer gerechnet wurde, während die echte Bahn leicht elliptisch ist.

    Das ist die eigentliche des Gesetzes: Es wurde an fallenden Körpern auf der Erde gefunden und sagt die Mondbahn richtig voraus.

  3. 3

    c) Newtons Kanone auf dem Berg. Man denke sich eine Kanone, die waagerecht schießt:

    • Bei kleiner beschreibt die Kugel eine Wurfparabel und schlägt nach wenigen Kilometern auf.
    • Bei größerer Geschwindigkeit fliegt sie weiter, und dabei macht sich bemerkbar, dass sich die Erdoberfläche wegkrümmt.
    • Bei genau der richtigen Geschwindigkeit fällt die Kugel in jeder Sekunde genau so weit nach unten, wie sich der Boden unter ihr wegkrümmt. Sie kommt nie an, obwohl sie ununterbrochen fällt.
  4. 4

    Die Antwort auf die Frage lautet also: Der Mond fällt sehr wohl, dauernd und mit der vollen Gravitationsbeschleunigung an seinem Ort. Er verfehlt die Erde nur, weil er sich gleichzeitig mit rund 1 kms1\,\frac{\text{km}}{\text{s}} seitwärts bewegt.

    Nähme man ihm diese Seitwärtsbewegung, stürzte er tatsächlich auf die Erde. Umgekehrt würde er bei zu großer Geschwindigkeit auf einer weiteren Bahn laufen oder ganz entkommen.

    Der entscheidende Gedanke Newtons: Apfel und Mond folgen demselben Gesetz. Vor ihm galten Himmel und Erde als zwei getrennte Reiche mit eigenen Regeln.

a) rund 1,02 kms1{,}02\,\frac{\text{km}}{\text{s}} b) 27,4 d27{,}4\,\text{d} berechnet gegen 27,3 d27{,}3\,\text{d} gemessen c) Er fällt ständig, verfehlt die Erde aber wegen seiner Seitwärtsbewegung.

Typischer Fehler

„In der Raumstation herrscht Schwerelosigkeit, weil dort keine Schwerkraft mehr wirkt."

In 400 km400\,\text{km} Höhe beträgt die Gravitation noch etwa 89 %89\,\% des Werts an der Erdoberfläche. Von „keiner Schwerkraft" kann keine Rede sein.

Warum die Zahl so hoch ist: Die sinkt mit dem Quadrat des Abstands vom Erdmittelpunkt, nicht von der Oberfläche. Der Erdradius beträgt 6371 km6371\,\text{km}; 400 km400\,\text{km} mehr sind nur gut 6 %6\,\% zusätzlicher Abstand.

(63716771)2≈0,885\left(\frac{6371}{6771}\right)^2 \approx 0{,}885

Was tatsächlich passiert: Station und Astronaut befinden sich beide im freien Fall um die Erde. Beide werden von der Gravitation gleich stark , deshalb bleibt ihr Abstand gleich, und der Astronaut drückt nicht auf den Boden. Es fehlt nicht die Gravitation, es fehlt die Gegenkraft des Bodens.

Denselben Zustand erlebt man auf der Erde:

  • In einem frei fallenden Aufzug wäre man für die Dauer des Falls schwerelos.
  • Auf der Kuppe einer Achterbahn hebt es einen kurz aus dem Sitz.
  • Forschungsflugzeuge fliegen Parabelbahnen und erzeugen so etwa 2222 Sekunden Schwerelosigkeit.

In allen Fällen wirkt die volle Gravitation.

Sauber formuliert: „In der Raumstation herrscht Schwerelosigkeit, weil sich Station und Besatzung im freien Fall befinden." Der Fachbegriff dafür lautet Mikrogravitation, und er sagt genau das: winzige Restunterschiede, aber kein Fehlen der Kraft.

Übung 1

leicht

a) Wie ändert sich die Gravitationskraft, wenn der Abstand verdoppelt wird?

b) Wie, wenn eine der verdreifacht wird?

c) Der Mond hat M=7,35⋅1022 kgM = 7{,}35 \cdot 10^{22}\,\text{kg} und R=1738 kmR = 1738\,\text{km}. Berechne seinen Ortsfaktor.

Tipp anzeigen

c) g=GMR2g = G \frac{M}{R^2}, RR in Meter.

Lösung anzeigen

a) Sie sinkt auf ein Viertel, weil der Abstand im Quadrat steht.

b) Sie verdreifacht sich, weil die zu jeder Masse proportional ist.

c) R=1,738⋅106 mR = 1{,}738 \cdot 10^6\,\text{m}

g=GMR2=6,674⋅10−11⋅7,35⋅1022(1,738⋅106)2 Nkgg = G \frac{M}{R^2} = 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{7{,}35 \cdot 10^{22}}{(1{,}738 \cdot 10^6)^2}\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} g=6,674⋅10−11⋅7,35⋅10223,021⋅1012≈1,62 Nkgg = 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{7{,}35 \cdot 10^{22}}{3{,}021 \cdot 10^{12}} \approx 1{,}62\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}

Genau der Tabellenwert aus Klasse 7. Damit ist auch klar, warum: Der Mond hat viel weniger Masse, aber auch einen kleineren Radius, und beide Effekte wirken gegeneinander.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht, zwei Verhältnisfragen und eine Rechnung

    a) und b) fragen nach Änderungen ohne Zahlenwerte. c) gibt M=7,35⋅1022 kgM = 7{,}35 \cdot 10^{22}\,\text{kg} und R=1738 kmR = 1738\,\text{km} für den Mond; gesucht ist sein Ortsfaktor.

  2. 2

    Das Gravitationsgesetz und seine beiden Abhängigkeiten

    Es gilt F=Gm1m2r2F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}: Die Kraft ist zu jeder Masse proportional und nimmt mit dem Quadrat des Abstands ab. Am Himmelskörper folgt daraus der Ortsfaktor g=GMR2g = G \frac{M}{R^2}.

  3. 3

    a) und b) Was Verdopplung und Verdreifachung bewirken

    a) Bei doppeltem Abstand sinkt die Kraft auf ein Viertel, weil der Abstand im Quadrat steht. b) Bei verdreifachter Masse verdreifacht sie sich, weil die Kraft zu jeder Masse proportional ist.

  4. 4

    c) Den Mondradius in Meter bringen

    1738 km=1,738⋅106 m1738\,\text{km} = 1{,}738 \cdot 10^6\,\text{m}, passend zu GG in SI-Einheiten. Dieser Wert wird anschließend quadriert.

    R=1738 km=1,738⋅106 mR = 1738\,\text{km} = 1{,}738 \cdot 10^6\,\text{m}; R2=3,021⋅1012 m2R^2 = 3{,}021 \cdot 10^{12}\,\text{m}^2

    Zwischenergebnis

    R=1,738⋅106 mR = 1{,}738 \cdot 10^6\,\text{m}

  5. 5

    c) Der Ortsfaktor des Mondes

    Gravitationskonstante mal Mondmasse, geteilt durch das Quadrat des Mondradius.

    g=GMR2=6,674⋅10−11⋅7,35⋅10223,021⋅1012 Nkg≈1,62 Nkgg = G \frac{M}{R^2} = 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{7{,}35 \cdot 10^{22}}{3{,}021 \cdot 10^{12}}\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} \approx 1{,}62\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}

    Zwischenergebnis

    gMond≈1,62 Nkgg_{\text{Mond}} \approx 1{,}62\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}

  6. 6

    c) Ergebnis deuten: der Tabellenwert aus Klasse 7 und sein Grund

    1,62 Nkg1{,}62\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} ist genau der Tabellenwert, den du in Klasse 7 unbegründet übernommen hast. Damit ist jetzt auch klar, warum: Der Mond hat viel weniger Masse, aber auch einen kleineren Radius, und beide Effekte wirken gegeneinander.

Übung 2

mittel

Ein Satellit umkreist die Erde in 600 km600\,\text{km} Höhe (MErde=5,97⋅1024 kgM_{\text{Erde}} = 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}, RErde=6371 kmR_{\text{Erde}} = 6371\,\text{km}).

a) Berechne die Bahngeschwindigkeit.

b) Berechne die Umlaufzeit.

c) Ein zweiter, doppelt so schwerer Satellit fliegt auf derselben Bahn. Was ändert sich?

d) In welcher Höhe muss ein geostationärer Satellit fliegen (T=24 hT = 24\,\text{h})? Beschreibe den Rechenweg.

Tipp anzeigen

a) Gravitation gleich .

Lösung anzeigen

a) r=6371+600=6971 km=6,971⋅106 mr = 6371 + 600 = 6971\,\text{km} = 6{,}971 \cdot 10^6\,\text{m}

v=GMr=6,674⋅10−11⋅5,97⋅10246,971⋅106 msv = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24}}{6{,}971 \cdot 10^6}}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} v=5,715⋅107≈7560 ms≈7,56 kmsv = \sqrt{5{,}715 \cdot 10^7} \approx 7560\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 7{,}56\,\frac{\text{km}}{\text{s}}

b) T=2πrv=2π⋅6,971⋅106 m7560 ms≈5793 s≈96,5 minT = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \cdot 6{,}971 \cdot 10^6\,\text{m}}{7560\,\frac{\text{m}}{\text{s}}} \approx 5793\,\text{s} \approx 96{,}5\,\text{min}

Etwa anderthalb Stunden je Umlauf, was gut zur ISS passt.

c) Nichts. Die Satellitenmasse kürzt sich beim Gleichsetzen von Gravitation und Radialkraft heraus:

GMmr2=mv2r⇒v=GMrG \frac{Mm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{GM}{r}}

Bahngeschwindigkeit und Umlaufzeit hängen nur von der Bahnhöhe ab. Ein schwerer und ein leichter Satellit auf derselben Bahn fliegen gleich schnell, genau wie schwere und leichte Körper gleich schnell fallen. Es ist derselbe Grund.

d) Rechenweg: Man setzt die Umlaufzeit ein und löst nach rr auf.

Aus v=2πrTv = \frac{2\pi r}{T} und v=GMrv = \sqrt{\frac{GM}{r}} folgt

4π2r2T2=GMr⇒r3=GMT24π2\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{GM}{r} \quad \Rightarrow \quad r^3 = \frac{G M T^2}{4\pi^2}

Mit T=86400 sT = 86400\,\text{s}:

r3=6,674⋅10−11⋅5,97⋅1024⋅(86400)24π2≈7,54⋅1022 m3r^3 = \frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24} \cdot (86400)^2}{4\pi^2} \approx 7{,}54 \cdot 10^{22}\,\text{m}^3 r≈4,22⋅107 m=42200 kmr \approx 4{,}22 \cdot 10^7\,\text{m} = 42200\,\text{km}

Höhe über der Oberfläche: 42200−6371≈35800 km42200 - 6371 \approx 35800\,\text{km}.

Genau in dieser Höhe stehen alle Fernseh- und Wettersatelliten. Sie umlaufen die Erde in derselben Zeit, in der sie sich dreht, und stehen deshalb von der Erde aus gesehen still. Deswegen muss eine Satellitenschüssel nie nachgeführt werden.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht beim Satelliten

    Gegeben: Flughöhe 600 km600\,\text{km}, MErde=5,97⋅1024 kgM_{\text{Erde}} = 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}, RErde=6371 kmR_{\text{Erde}} = 6371\,\text{km}. Gesucht: Bahngeschwindigkeit, Umlaufzeit, die Folge doppelter Satellitenmasse und die geostationäre Höhe.

  2. 2

    Gravitationskraft als Radialkraft

    Der Satellit bewegt sich auf einer , also muss eine Radialkraft wirken und die einzige verfügbare ist die Gravitation. Gleichsetzen: GMmr2=mv2rG \frac{Mm}{r^2} = \frac{m v^2}{r}, woraus v=GMrv = \sqrt{\frac{GM}{r}} folgt.

  3. 3

    a) und b) Bahngeschwindigkeit und Umlaufzeit

    Erst der Bahnradius als Summe, dann die über die Wurzel, danach die Umlaufzeit aus Umfang und Geschwindigkeit.

    r=6371+600=6971 kmr = 6371 + 600 = 6971\,\text{km}; v=6,674⋅10−11⋅5,97⋅10246,971⋅106 ms≈7560 msv = \sqrt{\frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24}}{6{,}971 \cdot 10^6}}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 7560\,\frac{\text{m}}{\text{s}}; T=2πrv≈5793 sT = \frac{2\pi r}{v} \approx 5793\,\text{s}

    Zwischenergebnis

    v≈7,56 kmsv \approx 7{,}56\,\frac{\text{km}}{\text{s}}, T≈96,5 minT \approx 96{,}5\,\text{min}

  4. 4

    c) Warum die Satellitenmasse nichts ändert

    Nichts ändert sich. Die Satellitenmasse kürzt sich beim Gleichsetzen von Gravitation und Radialkraft heraus: Bahngeschwindigkeit und Umlaufzeit hängen nur von der Bahnhöhe ab.

  5. 5

    d) Die geforderte Umlaufzeit in Sekunden

    Für die geostationäre Bahn ist T=24 hT = 24\,\text{h} verlangt. Weil GG und alle Längen in SI-Einheiten stehen, muss auch die Zeit in Sekunden vorliegen: 24 h=86400 s24\,\text{h} = 86400\,\text{s}.

    T=24 h=24⋅3600 s=86400 sT = 24\,\text{h} = 24 \cdot 3600\,\text{s} = 86400\,\text{s}

    Zwischenergebnis

    T=86400 sT = 86400\,\text{s}

  6. 6

    d) Ergebnis deuten: die geostationäre Höhe und wozu sie gut ist

    Aus v=2πrTv = \frac{2\pi r}{T} und v=GMrv = \sqrt{\frac{GM}{r}} folgt r3=GMT24π2r^3 = \frac{G M T^2}{4\pi^2}. Mit T=86400 sT = 86400\,\text{s} ergibt sich r≈4,22⋅107 m=42200 kmr \approx 4{,}22 \cdot 10^7\,\text{m} = 42200\,\text{km}, also eine Höhe von rund 35800 km35800\,\text{km} über der Oberfläche.

Übung 3

schwer

a) Leite her, warum alle Körper gleich schnell fallen.

b) Erkläre die Entstehung der Gezeiten und warum es zwei Flutberge gibt.

c) Ein Schüler sagt: „Der Apfel fällt zur Erde, weil die Erde viel schwerer ist." Nimm Stellung.

d) Erkläre, warum die Entdeckung des Neptun 1846 als großer Erfolg der newtonschen Theorie gilt.

Tipp anzeigen

b) Vergleiche die Anziehung an drei Stellen: zugewandte Seite, Mittelpunkt, abgewandte Seite.

Lösung anzeigen

a) Für einen Körper der mm an der Erdoberfläche gilt nach dem Gravitationsgesetz

F=GMmR2F = G \frac{M m}{R^2}

und nach dem 2. F=m⋅aF = m \cdot a. Gleichsetzen:

m⋅a=GMmR2m \cdot a = G \frac{M m}{R^2}

Die Masse mm des fallenden Körpers steht auf beiden Seiten und kürzt sich heraus:

a=GMR2=ga = G \frac{M}{R^2} = g

Die Fallbeschleunigung hängt also nicht von der Masse des fallenden Körpers ab, sondern nur von Masse und Radius der Erde.

Der tiefere Grund: Ein schwererer Körper wird zwar stärker angezogen, ist aber genau im selben Verhältnis träger. Beide Effekte heben sich exakt auf. Diese Gleichheit von schwerer und träger Masse ist keineswegs selbstverständlich; sie wurde sehr genau geprüft und ist später der Ausgangspunkt von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie geworden.

b) Die Anziehung des Mondes ist nicht überall auf der Erde gleich groß, weil der Abstand verschieden ist:

  • Auf der dem Mond zugewandten Seite ist sie am größten. Das Wasser wird stärker angezogen als der Erdmittelpunkt und wölbt sich zum Mond hin.
  • Am Erdmittelpunkt hat sie einen mittleren Wert.
  • Auf der abgewandten Seite ist sie am kleinsten. Dort wird der Erdkörper stärker zum Mond gezogen als das Wasser, das Wasser bleibt also gewissermaßen zurück und wölbt sich vom Mond weg.

So entstehen zwei Flutberge auf gegenüberliegenden Seiten. Da sich die Erde in 2424 Stunden einmal unter ihnen dreht, durchläuft jeder Ort beide Berge: zweimal Flut und zweimal Ebbe je Tag.

(Genauer sind es etwa 24 h 50 min24\,\text{h}\ 50\,\text{min}, weil der Mond in dieser Zeit selbst ein Stück weitergewandert ist.)

Die Sonne bewirkt denselben Effekt, wegen der viel größeren Entfernung aber schwächer. Stehen Sonne und Mond in einer Linie, addieren sich die Wirkungen zur Springtide; stehen sie im rechten Winkel, schwächen sie sich zur Nipptide.

c) Die Aussage verwechselt und .

Nach dem 3. newtonschen Gesetz und dem Gravitationsgesetz sind die Kräfte auf beide Körper exakt gleich groß: Der Apfel zieht die Erde mit derselben Kraft an wie die Erde den Apfel.

Verschieden sind die Beschleunigungen, denn a=Fma = \frac{F}{m}:

aApfel=F0,2 kg≈10 ms2,aErde=F6⋅1024 kg≈3⋅10−25 ms2a_{\text{Apfel}} = \frac{F}{0{,}2\,\text{kg}} \approx 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}, \qquad a_{\text{Erde}} = \frac{F}{6 \cdot 10^{24}\,\text{kg}} \approx 3 \cdot 10^{-25}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

Streng genommen bewegen sich also beide aufeinander zu. Die Bewegung der Erde ist nur unmessbar klein, deshalb beschreibt man den Vorgang als „der Apfel fällt".

Richtig formuliert: „Die Kräfte sind gleich groß, aber die Erde wird wegen ihrer riesigen Masse praktisch nicht beschleunigt."

d) Weil die Theorie etwas vorhersagte, was noch niemand gesehen hatte.

Die beobachtete Bahn des Uranus wich geringfügig von der berechneten ab. Statt die Theorie zu verwerfen, schlossen Le Verrier und Adams unabhängig voneinander, dass ein unbekannter weiterer Planet an ihm zieht, und berechneten aus den Abweichungen dessen Position.

Als Galle in Berlin 1846 an der angegebenen Stelle nachsah, fand er den Neptun dort, weniger als ein Grad von der Vorhersage entfernt.

Warum das methodisch so bedeutsam ist: Eine Theorie, die nur Bekanntes ordnet, ist eine Beschreibung. Eine, die etwas Neues vorhersagt und damit richtig liegt, ist ein Erklärungsmodell von großer Kraft. Genau diese Unterscheidung macht den Wert einer physikalischen Theorie aus.

(Zur Ehrlichkeit gehört die Fortsetzung: Dieselbe Methode wurde später auf eine Abweichung der Merkurbahn angewandt und scheiterte. Es gab keinen weiteren Planeten; hier reichte Newtons Gesetz tatsächlich nicht mehr aus, und erst Einsteins allgemeine Relativitätstheorie erklärte den Befund.)

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Herleiten, warum alle Körper gleich schnell fallen

    Für einen Körper der Masse mm an der Erdoberfläche gilt F=GMmR2F = G \frac{M m}{R^2} und zugleich F=m⋅aF = m \cdot a. Gleichsetzen ergibt m⋅a=GMmR2m \cdot a = G \frac{M m}{R^2}, und die Masse mm steht auf beiden Seiten und kürzt sich heraus: a=GMR2=ga = G \frac{M}{R^2} = g.

  2. 2

    b) Warum es zwei Flutberge gibt

    Die Anziehung des Mondes ist nicht überall auf der Erde gleich groß, weil der Abstand verschieden ist. Auf der zugewandten Seite ist sie am größten, das Wasser wölbt sich zum Mond hin. Auf der abgewandten Seite ist sie am kleinsten. Dort wird der Erdkörper stärker zum Mond gezogen als das Wasser, das gewissermaßen zurückbleibt.

  3. 3

    c) Warum „die Erde ist schwerer" die falsche Begründung ist

    Die Aussage verwechselt Kraft und Beschleunigung. Nach dem 3. newtonschen Gesetz und dem Gravitationsgesetz sind die Kräfte auf beide Körper exakt gleich groß: Der Apfel zieht die Erde mit derselben Kraft an wie umgekehrt.

  4. 4

    d) Ergebnis deuten: warum Neptun ein Triumph war

    Weil die Theorie etwas vorhersagte, was noch niemand gesehen hatte. Die Bahn des Uranus wich geringfügig von der berechneten ab; statt die Theorie zu verwerfen, schlossen Le Verrier und Adams auf einen unbekannten weiteren Planeten und berechneten seine Position. Galle fand 1846 den Neptun weniger als ein Grad von der Vorhersage entfernt.

Zusammenfassung

Zwischen allen wirkt eine anziehende , die dem Produkt der Massen proportional ist und mit dem Quadrat des Mittelpunktsabstands abnimmt. Weil die Gravitationskonstante so winzig ist, bemerken wir diese Kraft nur bei planetaren Massen. Aus dem Gesetz folgt der Ortsfaktor g=GMR2g = G\frac{M}{R^2}, und weil sich dabei die Masse des fallenden Körpers heraushebt, fallen alle Körper gleich schnell. Setzt man die Gravitation als einer an, kürzt sich ebenso die Satellitenmasse heraus, sodass die Bahngeschwindigkeit nur von der Bahnhöhe abhängt. Der Mond fällt deshalb ununterbrochen und verfehlt die Erde nur wegen seiner Seitwärtsbewegung. Schwerelosigkeit in einer Umlaufbahn ist entsprechend kein Fehlen der Gravitation, sondern gemeinsamer freier Fall.