Resonanz einer Luftsäule

In einem einseitig geschlossenen Rohr bildet Schall stehende Wellen: unten (am Wasserspiegel) ein Bewegungsknoten, oben an der Öffnung ein Bauch. Das passt nur, wenn die Säulenlänge ein ungerades Vielfaches von $\lambda/4$ ist: Genau dann resoniert die Luftsäule und der leise Stimmgabelton wird laut. Der Versuch fährt die Säulenlänge per Wasserspiegel durch, findet die Resonanzlängen und gewinnt daraus $\lambda$ und $c$.

Dieses Rohr ist das Funktionsmodell aller Blasinstrumente und Orgelpfeifen: Luftsäulenlänge macht Tonhöhe. Zugleich ist es die eleganteste $c$-Messung der Schulphysik. Stimmgabel, Rohr, Wasser, Lineal, mehr braucht es nicht, und der λ/2-Abstand zweier Resonanzen umgeht sogar die störende Mündungskorrektur: ein Lehrstück über kluge Messstrategie.

Resonanzrohre über Wasser gehören seit dem 19. Jahrhundert (Quincke, Kundt) zur akustischen Messtechnik; Kundt machte die Knoten mit Korkstaub sichtbar und vermaß so sogar die Schallgeschwindigkeit in Metallstäben. Der Orgelbau nutzt die λ/4-Physik gedackter Pfeifen seit Jahrhunderten: halbe Baulänge für den tiefen Ton.

Verlängere die Luftsäule langsam aus dem Kurzen heraus und gabele die ersten beiden Resonanzlängen für die 440-Hz-Gabel ein (je dreimal). Berechne $\lambda$ und $c$; notiere die Raumtemperatur und vergleiche mit dem Literaturwert.

Warum λ/4 und seine ungeraden Vielfachen? Am Wasserspiegel kann die Luft nicht schwingen (Knoten), an der Öffnung schwingt sie frei (Bauch). Das kürzeste stehende-Wellen-Muster mit „Knoten unten, Bauch oben“ ist eine Viertelwelle; das nächste passt erst wieder mit einer zusätzlichen halben Welle: $3\lambda/4$, dann $5\lambda/4$. Trifft die Säulenlänge eine dieser Sprossen, schaukelt der Gabelton die Säule zur lauten Eigenschwingung auf: hörbare Resonanz.

Warum die Differenz klüger ist als die Einzellänge: Der Öffnungs-Bauch sitzt in Wirklichkeit ein Stück ÜBER dem Rohrrand (Mündungskorrektur, etwa 0,6 Rohrradien): $l_1$ allein ist deshalb systematisch zu kurz. Aber diese Korrektur ist bei beiden Resonanzen dieselbe: In der Differenz $l_2 - l_1 = \lambda/2$ fällt sie exakt heraus. Erwartung bei 440 Hz und 20 °C: $l_1 \approx 19\ \mathrm{cm}$, $l_2 \approx 58\ \mathrm{cm}$, Differenz $39\ \mathrm{cm}$.

Gabel immer frisch anschlagen und dicht über die Öffnung halten (nicht hineinstecken). Resonanz einga­beln: von unten und von oben an die lauteste Stellung herantasten.

Rohr im Zylinder mit beiden Resonanz-Wasserständen; daneben die Schwingungsbilder (λ/4 und 3λ/4) mit Knoten am Spiegel und Bauch über der Mündung.

Aufbau: Glasrohr (Innendurchmesser ca. 3 cm, Länge 80 cm) senkrecht in hohem Wasserzylinder, verschiebbar mit Halteklemme; Maßstab längs des Rohrs; Stimmgabel 440 Hz mit Anschlaghammer; Thermometer.

Schritt 1: Kurze Säule, Gabel anschlagen, Rohr langsam heben: erste laute Stelle einga­beln, $l_1$ ablesen. Dreimal.

Schritt 2: Weiter verlängern bis zum zweiten Maximum: $l_2$ ebenso dreimal.

Schritt 3: Temperatur ablesen; Auswertung.

Zwischen den Maxima ist der Gabelton über dem Rohr deutlich leiser; an den Maxima schwillt er unüberhörbar an.

Schritt 1: Wellenlänge über die Differenz.

Schritt 2: Schallgeschwindigkeit.

Exakt der Literaturwert für $20\ ^\circ\mathrm{C}$, mit Lineal und Stimmgabel, ohne jede Elektronik, und in schöner Übereinstimmung mit der Laufzeitmessung des Schallgeschwindigkeits-Experiments. Zwei völlig verschiedene Methoden, ein Wert: die stärkste Absicherung, die Messphysik kennt.

Schritt 3: Die Mündungskorrektur sichtbar machen. Aus $l_1$ allein folgte $\lambda = 4 \cdot 0{,}19 = 0{,}76\ \mathrm{m}$, etwas zu klein, weil der Bauch über der Mündung sitzt. Die Differenzmethode hat diesen Fehler konstruktiv beseitigt. Der Vergleich beider Rechnungen zeigt den Wert kluger Messstrategie unmittelbar.

Die Luftsäule resoniert bei 19,0 und 58,0 cm. Der λ/2-Abstand liefert korrekturfrei $\lambda = 0{,}78\ \mathrm{m}$ und $c = 343\ \mathrm{m/s}$: Schallgeschwindigkeit per Stimmgabel und Lineal, im Einklang mit der Laufzeitmethode.

Das Ohr als Maximum-Detektor ist erstaunlich gut, aber die Gabelung bleibt die Kernunsicherheit: