Magdeburger Halbkugeln

Wir leben am Grund eines Luftmeers, das mit gut $10\ \mathrm{N}$ auf jeden Quadratzentimeter drückt, auf uns genauso wie auf jede Tischplatte. Dass wir davon nichts spüren, liegt daran, dass die Luft von allen Seiten und auch aus unserem Inneren dagegenhält. Guerickes Versuch hebelt dieses Gleichgewicht aus: Aus zwei aufeinandergelegten Halbkugeln wird die Luft herausgepumpt. Von außen drückt das Luftmeer die Schalen zusammen, von innen fehlt der Gegendruck, und plötzlich wird aus der unsichtbaren Alltäglichkeit eine Kraft, gegen die Menschen und selbst Pferdegespanne verlieren.

Im 17. Jahrhundert war die Frage nach dem leeren Raum eine Grundsatzfrage. Die Schultradition lehrte mit Aristoteles, ein Vakuum könne es nicht geben, die Natur "scheue die Leere" (horror vacui); damit erklärte man etwa, warum Wasser in einer Saugpumpe aufsteigt. Torricelli und Pascal hatten dieser Deutung bereits die entscheidenden Messungen entgegengesetzt. Guericke lieferte den Schlussstein: Er stellte Vakuum selbst her, führte es öffentlich vor und machte die Kraft des Luftdrucks so drastisch sichtbar, dass die alte Lehre vor aller Augen scheiterte. Kaum ein Experiment der Physikgeschichte hat eine abstrakte Streitfrage so wirkungsvoll entschieden.

Die Modellhalbkugeln ($d = 10{,}0\ \mathrm{cm}$ Innendurchmesser der Dichtfläche) werden mit der Handpumpe evakuiert; das Manometer zeigt $-0{,}80\ \mathrm{bar}$. Berechne die Haltekraft, prüfe die Größenordnung durch eine Kraftprobe und übertrage die Rechnung anschließend auf Guerickes Originalkugeln ($d \approx 0{,}4\ \mathrm{m}$, nahezu volles Vakuum).

Die Situation durchdenken, bevor gepumpt wird. Vor dem Abpumpen herrscht innen und außen derselbe Luftdruck von rund $1{,}0\ \mathrm{bar} = 1{,}0 \cdot 10^5\ \mathrm{Pa}$. Auf jedes Flächenstück der Schalen drückt die Außenluft nach innen und die Innenluft gleich stark nach außen; die Halbkugeln liegen kräftefrei aufeinander und fallen bei der kleinsten Berührung auseinander.

Das Abpumpen ändert nur eine Seite dieser Bilanz: Der Außendruck bleibt, der Innendruck sinkt. Übrig bleibt eine Nettokraft nach innen, deren Größe der Druckunterschied mal der wirksamen Fläche ist.

Die Geräteliste des Grundaufbaus gilt vollständig; dazu kommt der Federkraftmesser für die Kraftprobe. Vor dem Versuch den Dichtring prüfen und dünn einfetten: Eine undichte Stelle lässt den Unterdruck während der Messung davonlaufen.

Die Skizze zeigt die zusammengesetzten Halbkugeln im Schnitt: außen die Druckpfeile der Luft von allen Seiten nach innen, im Innenraum wenige Teilchen (Teilvakuum), am Ventil die Pumpe. Eingezeichnet werden $d$ an der Dichtfläche und die beiden Zugrichtungen an den Griffen.

Der schulische Aufbau besteht aus zwei Modellhalbkugeln aus Metall oder Kunststoff (Durchmesser rund $10\ \mathrm{cm}$), deren Ränder mit einem Dichtring aufeinanderliegen, einem Absperrventil an einer der Halbkugeln und einer Handvakuumpumpe mit Manometer. Zusammengesetzt und evakuiert lassen sich die Halbkugeln an zwei Griffen auseinanderziehen, oder eben nicht.

Wichtig für das Verständnis: Es gibt keinen Klebstoff, keinen Magneten, keine Verriegelung. Solange innen und außen derselbe Druck herrscht, fallen die Halbkugeln von selbst auseinander. Erst das Abpumpen der Innenluft erzeugt den Unterschied, um den sich alles dreht: Außen stoßen weiter Luftteilchen gegen die Schalen, innen fehlen die Gegenstöße.

Schritt 1: Zusammensetzen und Nullprobe. Halbkugeln mit Dichtring aufeinandersetzen und ohne Pumpen auseinandernehmen: Sie trennen sich mühelos. Diese Nullprobe gehört zum Versuch, denn sie zeigt, dass keine Mechanik die Kugeln hält.

Schritt 2: Evakuieren. Mit der Handpumpe abpumpen, bis das Manometer $-0{,}80\ \mathrm{bar}$ zeigt, dann das Ventil schließen und den Wert notieren.

Schritt 3: Kraftprobe. Zwei Personen ziehen an den Griffen, erst vorsichtig, dann kräftig. Anschließend mit dem Federkraftmesser dokumentieren, bis zu welcher Zugkraft die Kugeln sicher zusammenhalten (im Beispiel: bei $100\ \mathrm{N}$ Zug keinerlei Anzeichen einer Trennung).

Schritt 4: Belüften. Das Ventil langsam öffnen. Die Halbkugeln fallen praktisch von selbst auseinander, derselbe Handgriff, mit dem auch Guericke seine Vorführungen auflöste.

Ohne Unterdruck fallen die Halbkugeln auseinander, sobald man sie loslässt. Nach dem Abpumpen sitzen sie wie verschweißt: Kräftiges Ziehen zweier Personen bewegt nichts, der Federkraftmesser zeigt bei der dokumentierten Probe $100\ \mathrm{N}$ ohne jede Wirkung. Nach dem Belüften genügt die kleinste Berührung zum Trennen. Zwischen "unlösbar" und "lose" liegt nichts als das Öffnen eines Ventils.

Schritt 1: Wirksame Fläche. Zuerst die Einheiten: $d = 10{,}0\ \mathrm{cm} = 0{,}100\ \mathrm{m}$.

Schritt 2: Haltekraft der Modellkugeln. Das Manometer liefert $\Delta p = 0{,}80\ \mathrm{bar} = 0{,}80 \cdot 10^5\ \mathrm{Pa}$:

(Zur Einheit: $\mathrm{Pa \cdot m^2} = \mathrm{\tfrac{N}{m^2} \cdot m^2} = \mathrm{N}$.) Rund $630\ \mathrm{N}$ entsprechen der Gewichtskraft von etwa $64\ \mathrm{kg}$: Die Kugeln könnten eine erwachsene Person tragen. Dass die Kraftprobe mit $100\ \mathrm{N}$ nichts bewegt hat, passt dazu; sie schöpfte nur ein Sechstel der Haltekraft aus.

Schritt 3: Guerickes Maßstab (Abschätzung mit heutigen Werten). Für die Originalkugeln mit $d \approx 0{,}4\ \mathrm{m}$ und nahezu vollem Vakuum ($\Delta p \approx 1{,}0 \cdot 10^5\ \mathrm{Pa}$):

Etwa $13\ \mathrm{kN}$, die Gewichtskraft von über einer Tonne. Ein Pferd zieht im Dauerzug nur einige hundert Newton; damit ist ohne jede weitere Annahme klar, warum die Gespanne scheiterten und warum Guericke große Kugeln wählte: Die Kraft wächst mit $d^2$.

Aus Druckunterschied und Dichtflächen-Durchmesser ergibt sich die Haltekraft der Modellhalbkugeln zu $F = \Delta p \cdot A \approx 630\ \mathrm{N}$; die Kraftprobe bestätigt die Größenordnung (bei $100\ \mathrm{N}$ keinerlei Trennung, Belüften löst alles). Dieselbe Rechnung erklärt mit $\approx 13\ \mathrm{kN}$ die historische Vorführung. Die Fragestellung ist damit doppelt beantwortet: Die Außenluft drückt mit einer berechenbaren, überraschend großen Kraft, und Guerickes Pferde hatten nie eine Chance.

Die Unsicherheiten dieses Versuchs stecken fast vollständig im Druckwert und in der Dichtheit; die Flächenmessung ist vergleichsweise unkritisch.

Die Bedeutung reicht weit über den Schaueffekt hinaus:

1. Eine Grundsatzfrage wurde experimentell entschieden. Ob leerer Raum möglich ist, war fast zwei Jahrtausende lang eine philosophische Streitfrage gewesen. Nach Guericke war sie eine Tatsachenfrage mit gemessener Antwort.
2. Der Luftdruck wurde greifbar. Die Halbkugeln übersetzten Torricellis Millimeterablesung in eine Kraft, die jeder sehen und niemand wegdiskutieren konnte. Bis heute ist der Versuch das Standardbild für den Druck des Luftmeers.
3. Die Vakuumtechnik begann. Guerickes Pumpen waren die ersten ihrer Art. Robert Boyle und Robert Hooke bauten sie nach und verbesserten sie, und aus den Versuchen am evakuierten Gefäß entstand binnen weniger Jahre das Gasgesetz von Boyle und Mariotte. Ohne Vakuumtechnik gäbe es später weder Glühlampe noch Elektronenröhre noch Teilchenbeschleuniger.

Aus dem Schauversuch wurde ein Werkzeug. Boyle und Hooke veröffentlichten 1660 ihre Versuche mit einer verbesserten Pumpe, 1662 folgte das Gesetz $p \cdot V = \text{konstant}$ für eingeschlossene Luft. Im 18. und 19. Jahrhundert wurden Vakuumpumpen zu Präzisionsinstrumenten; Entladungsröhren im Vakuum führten zur Entdeckung der Kathodenstrahlen, des Elektrons und der Röntgenstrahlung. Heute gehören Hochvakuumanlagen zur Grundausstattung von Forschung und Industrie, von der Chipfertigung bis zum Beschleunigerring, und die Internationale Raumstation nutzt dauerhaft das beste "Labor-Vakuum" überhaupt: den Weltraum selbst.

Aus heutiger Sicht sind zwei Präzisierungen wichtig, die Guericke noch nicht formulieren konnte:

• "Vakuum" ist immer Teilvakuum. Auch Guerickes beste Pumpen ließen Restluft zurück, und selbst modernste Anlagen erreichen nur extrem verdünnte, nie perfekt leere Räume. An der Deutung ändert das nichts: Entscheidend ist der Druckunterschied, und der war bei Guericke groß genug für Pferdegespanne.
• Das Teilchenbild erklärt den Druck vollständig. Was im 17. Jahrhundert "Gewicht und Federkraft der Luft" hieß, ist heute die kinetische Gastheorie: Luftteilchen stoßen unablässig gegen jede Fläche, und Druck ist die mittlere Wirkung dieser Stöße. Damit ist auch präzise begründet, warum das Vakuum nicht zieht; es gibt dort schlicht keine Teilchen, die stoßen könnten. Die Formel $F = \Delta p \cdot A$, mit der die Schulvariante rechnet, ist die direkte Erbin von Guerickes Kraftprobe.