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Mechanik

Schweredruck, Auftrieb und hydraulische Anlagen

Warum der Druck mit der Tiefe wächst, warum Stahlschiffe schwimmen und wie ein Wagenheber tonnenschwere Autos hebt.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Ein Nagel geht im Wasser unter, ein Schiff aus demselben Stahl schwimmt. Ein U-Boot kann beides, ohne dass sich sein Material ändert.

Die Erklärung steckt nicht im Stahl, sondern im Wasser. Genauer: darin, dass der Wasserdruck mit der Tiefe zunimmt. Aus dieser einen Tatsache folgt der Auftrieb, folgt das Schwimmen, folgt das Tauchen, und mit derselben Druckbetrachtung hebt ein Wagenheber ein Auto mit der eines Arms.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • den Schweredruck erklären und seine Abhängigkeiten angeben.

  • den Schweredruck mit p=ρ⋅g⋅hp = \rho \cdot g \cdot h berechnen.

  • begründen, warum die Gefäßform keine Rolle spielt.

  • den Auftrieb als Folge des Schweredrucks erklären.

  • Sinken, Schweben, Steigen und Schwimmen unterscheiden und vorhersagen.

  • die Wirkungsweise einer hydraulischen Anlage erklären und berechnen.

Der Schweredruck

Eine Wassersäule hat eine , und die drückt auf alles darunter. Je tiefer man geht, desto mehr Wasser steht über einem, desto größer der . Diesen Anteil nennt man Schweredruck.

Der Versuch bestätigt zwei Abhängigkeiten:

  • Je tiefer, desto größer. Ein Gefäß mit Löchern in verschiedenen Höhen spritzt unten am weitesten.
  • Je dichter die Flüssigkeit, desto größer. In Quecksilber ist der Druck in gleicher Tiefe viel höher als in Wasser.

Die Formel dazu lässt sich herleiten. Betrachte eine Flüssigkeitssäule der Höhe hh über einer Fläche AA:

Ihr Volumen ist V=A⋅hV = A \cdot h, ihre also m=ρ⋅V=ρ⋅A⋅hm = \rho \cdot V = \rho \cdot A \cdot h und ihre Gewichtskraft

F=m⋅g=ρ⋅A⋅h⋅gF = m \cdot g = \rho \cdot A \cdot h \cdot g

Diese verteilt sich auf die Fläche AA, der Druck ist also

p=FA=ρ⋅A⋅h⋅gAp = \frac{F}{A} = \frac{\rho \cdot A \cdot h \cdot g}{A}

Die Fläche AA kürzt sich heraus, und übrig bleibt

p=ρ⋅g⋅h\boxed{p = \rho \cdot g \cdot h}

🔴 Dass AA herausfällt, ist die eigentliche Aussage. Der Schweredruck hängt nicht von der Fläche ab und deshalb auch nicht von der Menge Wasser. In einem dünnen Röhrchen von 10 m10\,\text{m} Höhe herrscht unten derselbe Druck wie im 10 m10\,\text{m} tiefen See. Das heißt hydrostatisches Paradoxon und widerspricht der Alltagserwartung so stark, dass man es einmal gesehen haben muss.

Für den Gesamtdruck in einer offenen Flüssigkeit kommt noch der Luftdruck von oben dazu:

pges=p0+ρ⋅g⋅hp_{\text{ges}} = p_0 + \rho \cdot g \cdot h
Doppelte Tiefe, doppelter SchweredruckWasseroberfläche0,3 m2,9 kPa0,6 m5,9 kPa0,9 m8,8 kPap = ρ · g · hNur die Tiefe zählt, nicht die Form und nicht die Wassermenge

Die drei Druckpfeile verhalten sich wie 1 : 2 : 3, genau wie die Tiefen. Beachte, was im Bild NICHT vorkommt: die Form des Gefäßes und die Wassermenge. In p = ρ · g · h stehen sie auch nicht.

Auftrieb: die Folge des Schweredrucks

Ein Quader hängt vollständig unter Wasser. Auf seine Oberseite (Tiefe h1h_1) drückt das Wasser nach unten, auf seine Unterseite (Tiefe h2>h1h_2 > h_1) nach oben. Weil unten der größer ist, ist auch die von unten größer.

Die Seitenflächen heben sich paarweise auf. Übrig bleibt eine resultierende Kraft nach oben: der Auftrieb FAF_A.

Rechnet man das aus, ergibt sich das archimedische Prinzip:

FA=ρFl⋅g⋅Vverdr\boxed{F_A = \rho_{\text{Fl}} \cdot g \cdot V_{\text{verdr}}}

In Worten: Der Auftrieb ist so groß wie die der verdrängten Flüssigkeit.

Zwei Dinge fallen daran auf, die häufig missverstanden werden:

  • Es steht die der Flüssigkeit in der Formel, nicht die des Körpers.
  • Es steht das verdrängte Volumen, also nur der eingetauchte Teil des Körpers.
Woher der Auftrieb kommtoben: kleiner Druckunten: größerer Druckseitlichgleich großF(A) = Kraft unten − Kraft oben = ρ(Flüssigkeit) · g · VDer Auftrieb ist ein Rest, kein eigener Kraftzauber

Hier entsteht der Auftrieb vor deinen Augen: Weil der mit der Tiefe wächst, drückt das Wasser von unten stärker als von oben. Die seitlichen heben sich paarweise auf, oben und unten nicht, und was übrig bleibt, zeigt nach oben.

Sinken, Schweben, Steigen, Schwimmen

Auf einen eingetauchten Körper wirken zwei : die FGF_G nach unten und der Auftrieb FAF_A nach oben. Ihr Vergleich entscheidet alles:

FallBedingungÜber die Beispiel
SinkenFG>FAF_G > F_AρK>ρFl\rho_K > \rho_{\text{Fl}}Stein, Nagel
SchwebenFG=FAF_G = F_AρK=ρFl\rho_K = \rho_{\text{Fl}}Fisch, U-Boot
SteigenFG<FAF_G < F_AρK<ρFl\rho_K < \rho_{\text{Fl}}Luftblase, Kork
SchwimmenFG=FAF_G = F_A bei teilweisem EintauchenρK<ρFl\rho_K < \rho_{\text{Fl}}Boot, Eisberg

Steigen und Schwimmen gehören zusammen: Ein Körper mit kleinerer Dichte steigt so lange, bis er so weit aus dem Wasser ragt, dass der verbleibende eingetauchte Teil gerade genug Auftrieb liefert. Dann schwimmt er.

Warum ein Stahlschiff schwimmt. Entscheidend ist nicht die Dichte des Stahls, sondern die mittlere Dichte des ganzen Schiffs einschließlich der eingeschlossenen Luft. Ein Schiffsrumpf ist überwiegend Hohlraum, seine mittlere Dichte liegt bei etwa 0,3 gcm30{,}3\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}, weit unter der von Wasser. Schlägt der Rumpf leck, füllt Wasser die Hohlräume, die mittlere Dichte steigt über 1 gcm31\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}, und das Schiff sinkt.

Wie ein U-Boot steuert. Es verändert gezielt seine mittlere Dichte: Tauchtanks werden mit Wasser geflutet (Dichte steigt, es sinkt) oder mit Druckluft ausgeblasen (Dichte sinkt, es steigt). Der Fisch macht dasselbe mit seiner Schwimmblase.

Warum ein Eisberg zu neun Zehnteln unter Wasser liegt. Eis hat ρ=0,92 gcm3\rho = 0{,}92\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}, Meerwasser etwa 1,03 gcm31{,}03\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}. Im Gleichgewicht muss der eingetauchte Anteil dem Verhältnis der Dichten entsprechen: 0,921,03≈0,89\frac{0{,}92}{1{,}03} \approx 0{,}89. Rund 89 %89\,\% liegen also unter Wasser.

Zwei Kräfte entscheiden, keine EigenschaftF(G)F(A)sinktF(G) > F(A)F(G)F(A)schwebtF(G) = F(A)F(G)F(A)steigtF(G) < F(A)Nicht „schwer oder leicht“, sondern F(G) gegen F(A)

Alle sechs Pfeile stehen im selben Maßstab, nur so darfst du sie vergleichen. Ob ein Körper sinkt oder steigt, entscheidet kein „schwer“ oder „leicht“, sondern immer der Vergleich zweier .

Hydraulische Anlagen

In einer eingeschlossenen Flüssigkeit breitet sich ein von außen aufgebrachter nach allen Seiten gleichmäßig aus. Das ist der Kern jeder Hydraulik.

Zwei Kolben verschiedener Fläche sind über eine Flüssigkeit verbunden. Weil der Druck überall derselbe ist:

p=F1A1=F2A2⟹F1F2=A1A2p = \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} \quad \Longrightarrow \quad \boxed{\frac{F_1}{F_2} = \frac{A_1}{A_2}}

Der große Kolben liefert also eine entsprechend größere . Bei A2=50⋅A1A_2 = 50 \cdot A_1 wird aus 200 N200\,\text{N} Handkraft eine Hubkraft von 10000 N10000\,\text{N}.

Auch hier gilt die Goldene Regel. Die Flüssigkeit ist praktisch nicht zusammendrückbar, das verschobene Volumen ist also auf beiden Seiten gleich:

A1⋅s1=A2⋅s2A_1 \cdot s_1 = A_2 \cdot s_2

Wer die Kraft verfünfzigfacht, muss den kleinen Kolben fünfzigmal weiter bewegen. Deshalb pumpt man einen Wagenheber viele Male, statt einmal zu drücken.

Anwendungen: Wagenheber, Bremsanlage im Auto, Bagger, Hebebühne, Müllpresse.

Kleine Kraft, große Kraft, derselbe Druck20 N200 NA₁ = 5 cm²A₂ = 50 cm²Kolbenweg:s₁ = 10 cms₂ = 1 cmp = F₁/A₁ = F₂/A₂: Kraft gespart heißt Weg bezahlt

In der ganzen Flüssigkeit herrscht derselbe . Auf der zehnmal größeren Fläche entsteht deshalb die zehnfache , und der kleine Kolben muss zehnmal so weit wandern. Es ist dieselbe Regel wie beim Flaschenzug: Kraft gespart heißt Weg bezahlt.

Schweredruck beim Tauchen

Ein Taucher ist 25 m25\,\text{m} tief. Die von Wasser beträgt 1000 kgm31000\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}, g=10 Nkgg = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}, der Luftdruck an der Oberfläche 100000 Pa100000\,\text{Pa}.

a) Wie groß ist der Schweredruck des Wassers?

b) Wie groß ist der Gesamtdruck?

c) Wie groß ist die auf die Tauchmaske (A=150 cm2A = 150\,\text{cm}^2) von außen?

d) Warum spürt der Taucher diese Kraft nicht als Schmerz?

  1. 1

    a) Einsetzen in die Schweredruckformel:

    p=ρ⋅g⋅h=1000 kgm3⋅10 Nkg⋅25 m=250000 Pa=2,5 barp = \rho \cdot g \cdot h = 1000\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 25\,\text{m} = 250000\,\text{Pa} = 2{,}5\,\text{bar}

    Merkwert bestätigt: je 10 m10\,\text{m} rund 1 bar1\,\text{bar}.

  2. 2

    b) Der Luftdruck drückt zusätzlich von oben auf die Wasseroberfläche:

    pges=p0+p=100000 Pa+250000 Pa=350000 Pa=3,5 barp_{\text{ges}} = p_0 + p = 100000\,\text{Pa} + 250000\,\text{Pa} = 350000\,\text{Pa} = 3{,}5\,\text{bar}
  3. 3

    c) Kraft aus Druck und Fläche. Erst umrechnen: 150 cm2=0,015 m2150\,\text{cm}^2 = 0{,}015\,\text{m}^2.

    F=pges⋅A=350000 Pa⋅0,015 m2=5250 NF = p_{\text{ges}} \cdot A = 350000\,\text{Pa} \cdot 0{,}015\,\text{m}^2 = 5250\,\text{N}

    Das ist die von über einer halben Tonne.

  4. 4

    d) Weil im Inneren derselbe Druck herrscht. Der Taucher atmet Luft, die der Atemregler auf den Umgebungsdruck bringt. Damit drückt es von innen genauso stark nach außen wie von außen nach innen, und es liegt Kräftegleichgewicht vor.

    Was er dagegen sehr wohl spürt, sind Druckunterschiede: In den Ohren und Nasennebenhöhlen bleibt der Druck zunächst zurück, deshalb muss man beim Abtauchen einen Druckausgleich machen. Ohne ihn kann das Trommelfell reißen.

    Und wer beim Auftauchen die Luft anhält, bekommt das umgekehrte Problem: Die Lungenluft dehnt sich aus, weil der Außendruck sinkt. Das kann die Lunge zerreißen. Deshalb lautet die erste Regel jedes Tauchkurses: beim Auftauchen niemals die Luft anhalten.

a) 2,5 bar2{,}5\,\text{bar} b) 3,5 bar3{,}5\,\text{bar} c) 5250 N5250\,\text{N} d) weil innen derselbe herrscht; gefährlich sind nur Druckunterschiede.

Schwimmt oder sinkt der Körper?

Ein Holzwürfel (ρ=600 kgm3\rho = 600\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}) mit 10 cm10\,\text{cm} Kantenlänge wird in Wasser gelegt (ρW=1000 kgm3\rho_W = 1000\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}, g=10 Nkgg = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}).

a) Schwimmt, schwebt oder sinkt er?

b) Wie tief taucht er ein?

c) Welchen Anteil des Volumens macht das aus?

  1. 1

    a) vergleichen. 600 kgm3<1000 kgm3600\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} < 1000\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}, der Körper ist also leichter als das gleiche Volumen Wasser. Er schwimmt.

  2. 2

    b) Gleichgewichtsbedingung aufstellen. Beim Schwimmen ist der Auftrieb genauso groß wie die :

    FA=FGF_A = F_G ρW⋅g⋅Vein=ρH⋅g⋅Vges\rho_W \cdot g \cdot V_{\text{ein}} = \rho_H \cdot g \cdot V_{\text{ges}}

    Auf beiden Seiten steht gg, es kürzt sich heraus. Das ist ein nützliches Zwischenergebnis: Schwimmen hängt nicht vom Ortsfaktor ab, ein Boot schwimmt auf dem Mond genauso.

  3. 3

    Nach dem eingetauchten Volumen auflösen:

    Vein=Vges⋅ρHρW=1000 cm3⋅6001000=600 cm3V_{\text{ein}} = V_{\text{ges}} \cdot \frac{\rho_H}{\rho_W} = 1000\,\text{cm}^3 \cdot \frac{600}{1000} = 600\,\text{cm}^3
  4. 4

    Eintauchtiefe berechnen. Die Grundfläche des Würfels ist 10 cm⋅10 cm=100 cm210\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 100\,\text{cm}^2:

    h=VeinA=600 cm3100 cm2=6 cmh = \frac{V_{\text{ein}}}{A} = \frac{600\,\text{cm}^3}{100\,\text{cm}^2} = 6\,\text{cm}
  5. 5

    c) Anteil bestimmen:

    600 cm31000 cm3=0,6=60 %\frac{600\,\text{cm}^3}{1000\,\text{cm}^3} = 0{,}6 = 60\,\%

    Das ist genau das Verhältnis der Dichten. Allgemeine Regel: Der eingetauchte Anteil eines schwimmenden Körpers ist ρKρFl\frac{\rho_K}{\rho_{\text{Fl}}}.

    Probe am Eisberg: 0,921,03≈0,89\frac{0{,}92}{1{,}03} \approx 0{,}89, also rund 89 %89\,\% unter Wasser. Passt zum bekannten Wert.

Der Würfel schwimmt und taucht 6 cm6\,\text{cm} tief ein, das sind 60 %60\,\% seines Volumens, genau das Verhältnis der Dichten.

Typischer Fehler

„In einem großen See ist der Wasserdruck in 10 m10\,\text{m} Tiefe größer als in einem schmalen Rohr von 10 m10\,\text{m} Höhe, weil im See viel mehr Wasser ist."

Das klingt zwingend und ist trotzdem falsch. Der Schweredruck beträgt in beiden Fällen p=ρ⋅g⋅hp = \rho \cdot g \cdot h, und in dieser Formel kommt weder die Wassermenge noch die Gefäßform vor.

Warum das so sein muss, sieht man an der Herleitung: Die der Säule ist F=ρ⋅A⋅h⋅gF = \rho \cdot A \cdot h \cdot g, aber der ist FA\frac{F}{A}, und dabei kürzt sich AA heraus. Mehr Wasser drückt zwar mit mehr , verteilt diese Kraft aber auf entsprechend mehr Fläche. Der Quotient bleibt gleich.

Der Versuch dazu heißt hydrostatisches Paradoxon: Gefäße völlig verschiedener Form, aber gleicher Füllhöhe, werden auf denselben Bodenmesser gestellt. Alle zeigen denselben Druck an, obwohl das eine einen Liter und das andere zwanzig Liter enthält.

Praktische Folge: Ein Wasserturm muss nicht groß sein, um Druck zu liefern, er muss hoch sein. Und ein Staudamm wird nach der Wassertiefe berechnet, nicht nach dem Volumen des Stausees. Deshalb sind Staumauern unten dick und oben dünn: Der Druck wächst mit der Tiefe, nicht mit der Menge.

Übung 1

leicht

Berechne den Schweredruck (ρW=1000 kgm3\rho_W = 1000\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}, g=10 Nkgg = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}):

a) in 3 m3\,\text{m} Wassertiefe

b) in 40 m40\,\text{m} Wassertiefe

c) am Grund eines 2 m2\,\text{m} hohen Aquariums

Tipp anzeigen

Die Grundfläche spielt keine Rolle.

Lösung anzeigen

a) p=1000⋅10⋅3 Pa=30000 Pa=0,3 barp = 1000 \cdot 10 \cdot 3\,\text{Pa} = 30000\,\text{Pa} = 0{,}3\,\text{bar}

b) p=1000⋅10⋅40 Pa=400000 Pa=4 barp = 1000 \cdot 10 \cdot 40\,\text{Pa} = 400000\,\text{Pa} = 4\,\text{bar}

c) p=1000⋅10⋅2 Pa=20000 Pa=0,2 barp = 1000 \cdot 10 \cdot 2\,\text{Pa} = 20000\,\text{Pa} = 0{,}2\,\text{bar}

Bei c) ist die Größe des Aquariums bewusst nicht angegeben, und sie wird auch nicht gebraucht: Nur die Tiefe zählt.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht und was auffällig fehlt

    Gegeben: ρW=1000 kgm3\rho_W = 1000\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}, g=10 Nkgg = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} und drei Tiefen (3 m3\,\text{m}, 40 m40\,\text{m}, 2 m2\,\text{m}). Gesucht ist jeweils der Schweredruck. Über Grundflächen oder Wassermengen steht nichts da, und das ist Absicht.

  2. 2

    Warum im Schweredruck keine Fläche vorkommt

    Es gilt p=ρ⋅g⋅hp = \rho \cdot g \cdot h. Die Fläche fällt heraus, weil eine größere Grundfläche zwar mehr Wasser trägt, dieses Gewicht sich aber auch auf entsprechend mehr Fläche verteilt. Beide Wirkungen heben sich exakt auf.

  3. 3

    a) bis c) Die drei Drücke berechnen

    Dichte mal Ortsfaktor mal Tiefe. Bei ρ=1000\rho = 1000 und g=10g = 10 ergibt das je Meter Tiefe genau 10000 Pa10000\,\text{Pa}.

    p=1000 kgm3⋅10 Nkg⋅hp = 1000\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot h ergibt 30000 Pa30000\,\text{Pa}, 400000 Pa400000\,\text{Pa} und 20000 Pa20000\,\text{Pa}

    Zwischenergebnis

    0,3 bar0{,}3\,\text{bar} · 4 bar4\,\text{bar} · 0,2 bar0{,}2\,\text{bar}

  4. 4

    Ergebnisse deuten: das Aquarium beweist die Regel

    Bei c) ist die Größe des Aquariums bewusst nicht angegeben, und sie wird auch nicht gebraucht. Nur die Tiefe zählt. Damit bestätigt die Teilaufgabe genau das, was der Gesetzesschritt behauptet hat.

Übung 2

mittel

Ein hydraulischer Wagenheber hat einen Pumpkolben mit A1=2 cm2A_1 = 2\,\text{cm}^2 und einen Hubkolben mit A2=100 cm2A_2 = 100\,\text{cm}^2.

a) Welche hebt der Wagenheber, wenn man mit 250 N250\,\text{N} auf den Pumpkolben drückt?

b) Wie weit muss der Pumpkolben insgesamt bewegt werden, damit sich das Auto um 20 cm20\,\text{cm} hebt?

c) Warum pumpt man dabei viele Male, statt einmal durchzudrücken?

Tipp anzeigen

a) F1F2=A1A2\frac{F_1}{F_2} = \frac{A_1}{A_2} b) Goldene Regel: A1⋅s1=A2⋅s2A_1 \cdot s_1 = A_2 \cdot s_2

Lösung anzeigen

a) F2=F1⋅A2A1=250 N⋅100 cm22 cm2=250 N⋅50=12500 NF_2 = F_1 \cdot \frac{A_2}{A_1} = 250\,\text{N} \cdot \frac{100\,\text{cm}^2}{2\,\text{cm}^2} = 250\,\text{N} \cdot 50 = 12500\,\text{N}

Das entspricht der von 1250 kg1250\,\text{kg}, also einem Kleinwagen.

b) s1=s2⋅A2A1=20 cm⋅50=1000 cm=10 ms_1 = s_2 \cdot \frac{A_2}{A_1} = 20\,\text{cm} \cdot 50 = 1000\,\text{cm} = 10\,\text{m}

c) Weil der Pumpkolben insgesamt 10 m10\,\text{m} Weg zurücklegen muss, und niemand einen Hebel um zehn Meter durchdrücken kann. Deshalb zerlegt man den Weg in viele kurze Hübe von wenigen Zentimetern. Ein Rückschlagventil verhindert, dass die Flüssigkeit beim Zurückziehen wieder zurückläuft.

Die Goldene Regel gilt hier unverändert: Kraft mal fünfzig, Weg geteilt durch fünfzig. Kontrolle: 250 N⋅10 m=2500 N m250\,\text{N} \cdot 10\,\text{m} = 2500\,\text{N}\,\text{m} und 12500 N⋅0,2 m=2500 N m12500\,\text{N} \cdot 0{,}2\,\text{m} = 2500\,\text{N}\,\text{m}.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht am Wagenheber

    Gegeben: Pumpkolben A1=2 cm2A_1 = 2\,\text{cm}^2, Hubkolben A2=100 cm2A_2 = 100\,\text{cm}^2, Handkraft F1=250 NF_1 = 250\,\text{N} und die Hubhöhe s2=20 cms_2 = 20\,\text{cm}. Gesucht: a) die Hubkraft, b) der Weg des Pumpkolbens, c) eine Erklärung fürs Pumpen.

  2. 2

    a) Warum der Druck in der Flüssigkeit überall gleich ist

    Eine eingeschlossene Flüssigkeit gibt einen von außen aufgeprägten unvermindert nach allen Seiten weiter. An beiden Kolben herrscht deshalb derselbe Druck, und aus F1A1=F2A2\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} folgt F2=F1⋅A2A1F_2 = F_1 \cdot \frac{A_2}{A_1}.

  3. 3

    a) Die Hubkraft berechnen

    Das Flächenverhältnis 100 cm22 cm2=50\frac{100\,\text{cm}^2}{2\,\text{cm}^2} = 50 ist einheitenfrei, weil Fläche durch Fläche geteilt wird. Die Handkraft wird also mit 5050 multipliziert.

    F2=F1⋅A2A1=250 N⋅100 cm22 cm2=12500 NF_2 = F_1 \cdot \frac{A_2}{A_1} = 250\,\text{N} \cdot \frac{100\,\text{cm}^2}{2\,\text{cm}^2} = 12500\,\text{N}

    Zwischenergebnis

    F2=12500 NF_2 = 12500\,\text{N}, entspricht rund 1250 kg1250\,\text{kg}

  4. 4

    b) Der Weg des Pumpkolbens

    Die Flüssigkeitsmenge, die der Pumpkolben verdrängt, muss der Menge entsprechen, die den Hubkolben anhebt: A1⋅s1=A2⋅s2A_1 \cdot s_1 = A_2 \cdot s_2. Der kleine Kolben legt deshalb den fünfzigfachen Weg zurück.

    s1=s2⋅A2A1=20 cm⋅50=1000 cm=10 ms_1 = s_2 \cdot \frac{A_2}{A_1} = 20\,\text{cm} \cdot 50 = 1000\,\text{cm} = 10\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    s1=10 ms_1 = 10\,\text{m}

  5. 5

    c) Ergebnis deuten: warum man viele Male pumpt

    Weil der Pumpkolben insgesamt 10 m10\,\text{m} zurücklegen muss, und niemand einen Hebel um zehn Meter durchdrückt. Deshalb zerlegt man den Weg in viele kurze Hübe von wenigen Zentimetern.

Übung 3

schwer

Ein Stein hat im Wasser (Kraftmesser) nur noch 18 N18\,\text{N} statt 30 N30\,\text{N} an Luft. (ρW=1000 kgm3\rho_W = 1000\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}, g=10 Nkgg = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}})

a) Wie groß ist die Auftriebskraft?

b) Welches Volumen hat der Stein?

c) Welche hat er?

d) Ein Schüler sagt: „Der Stein ist im Wasser leichter geworden." Nimm Stellung.

e) Was zeigt der Kraftmesser, wenn man denselben Stein in Öl (ρ=900 kgm3\rho = 900\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}) taucht?

Tipp anzeigen

b) Der Auftrieb entspricht der des verdrängten Wassers.

Lösung anzeigen

a) Der Auftrieb ist genau die Differenz der beiden Anzeigen:

FA=30 N−18 N=12 NF_A = 30\,\text{N} - 18\,\text{N} = 12\,\text{N}

b) Aus FA=ρW⋅g⋅VF_A = \rho_W \cdot g \cdot V folgt

V=FAρW⋅g=12 N1000 kgm3⋅10 Nkg=0,0012 m3=1200 cm3V = \frac{F_A}{\rho_W \cdot g} = \frac{12\,\text{N}}{1000\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}} = 0{,}0012\,\text{m}^3 = 1200\,\text{cm}^3

c) aus der Gewichtskraft an Luft: m=30 N10 Nkg=3 kgm = \frac{30\,\text{N}}{10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}} = 3\,\text{kg}

ρ=mV=3 kg0,0012 m3=2500 kgm3=2,5 gcm3\rho = \frac{m}{V} = \frac{3\,\text{kg}}{0{,}0012\,\text{m}^3} = 2500\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} = 2{,}5\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}

Das passt gut zu Granit oder Sandstein.

d) Die Aussage ist falsch. Die Masse des Steins ist unverändert 3 kg3\,\text{kg}, und seine Gewichtskraft ist unverändert 30 N30\,\text{N}. Was sich ändert, ist die , die der Kraftmesser aufbringen muss, weil ihm der Auftrieb 12 N12\,\text{N} abnimmt.

Richtig formuliert: „Der Stein scheint leichter zu sein, weil zusätzlich die Auftriebskraft nach oben wirkt." Diese Unterscheidung ist dieselbe wie zwischen Masse und Gewichtskraft aus Klasse 7, nur eine Stufe weiter.

e) Öl hat eine kleinere Dichte, also ist der Auftrieb kleiner:

FA=900 kgm3⋅10 Nkg⋅0,0012 m3=10,8 NF_A = 900\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 0{,}0012\,\text{m}^3 = 10{,}8\,\text{N}

Der Kraftmesser zeigt 30 N−10,8 N=19,2 N30\,\text{N} - 10{,}8\,\text{N} = 19{,}2\,\text{N}.

Der Stein sinkt in beiden Flüssigkeiten, denn 2500>1000>9002500 > 1000 > 900.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht beim Auftriebsversuch

    Gegeben: Anzeige an Luft 30 N30\,\text{N}, Anzeige im Wasser 18 N18\,\text{N}, ρW=1000 kgm3\rho_W = 1000\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} und g=10 Nkgg = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}. Gesucht: Auftriebskraft, Volumen, Dichte, eine Stellungnahme und die Anzeige in Öl.

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    a) Der Auftrieb als Differenz der Anzeigen

    Im Wasser wirken auf den Stein drei Kräfte: Gewichtskraft nach unten, Fadenkraft und Auftrieb nach oben. Weil der Stein ruht, gilt FG=FFaden+FAF_G = F_{\text{Faden}} + F_A, der Auftrieb ist also genau die Differenz der beiden Anzeigen.

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    a) Die Auftriebskraft

    Die Differenz der beiden Kraftmesser-Anzeigen ergibt unmittelbar den Auftrieb.

    FA=30 N−18 N=12 NF_A = 30\,\text{N} - 18\,\text{N} = 12\,\text{N}

    Zwischenergebnis

    FA=12 NF_A = 12\,\text{N}

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    b) Vom Auftrieb auf das Volumen schließen

    Der Auftrieb ist die Gewichtskraft des verdrängten Wassers: FA=ρW⋅g⋅VF_A = \rho_W \cdot g \cdot V. Nach VV umgestellt lässt sich daraus das Volumen des Steins bestimmen.

    V=FAρW⋅g=12 N1000 kgm3⋅10 Nkg=0,0012 m3V = \frac{F_A}{\rho_W \cdot g} = \frac{12\,\text{N}}{1000\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}} = 0{,}0012\,\text{m}^3

    Zwischenergebnis

    V=1200 cm3V = 1200\,\text{cm}^3

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    c) Die Dichte des Steins

    Die Masse folgt aus der Anzeige an Luft: m=30 N10 Nkg=3 kgm = \frac{30\,\text{N}}{10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}} = 3\,\text{kg}. Zusammen mit dem Volumen ergibt sich die Dichte.

    m=30 N10 Nkg=3 kgm = \frac{30\,\text{N}}{10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}} = 3\,\text{kg}; ρ=3 kg0,0012 m3=2500 kgm3\rho = \frac{3\,\text{kg}}{0{,}0012\,\text{m}^3} = 2500\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}

    Zwischenergebnis

    ρ=2500 kgm3=2,5 gcm3\rho = 2500\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} = 2{,}5\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}

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    d) „Im Wasser leichter geworden"? Die Aussage prüfen

    Die Aussage ist falsch. Die Masse des Steins ist unverändert 3 kg3\,\text{kg}, seine Gewichtskraft unverändert 30 N30\,\text{N}. Was sich ändert, ist allein die Kraft, die der Kraftmesser aufbringen muss, weil ihm der Auftrieb 12 N12\,\text{N} abnimmt.

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    e) Ergebnis deuten: derselbe Stein in Öl

    Öl hat mit 900 kgm3900\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} eine kleinere Dichte, also ist der Auftrieb kleiner: FA=900⋅10⋅0,0012 N=10,8 NF_A = 900 \cdot 10 \cdot 0{,}0012\,\text{N} = 10{,}8\,\text{N}. Der Kraftmesser zeigt 30 N−10,8 N=19,2 N30\,\text{N} - 10{,}8\,\text{N} = 19{,}2\,\text{N}.

Zusammenfassung

In einer Flüssigkeit wächst der mit der Tiefe, weil eine immer höhere Säule darüber steht: p=ρ⋅g⋅hp = \rho \cdot g \cdot h. Bei der Herleitung kürzt sich die Fläche heraus, und deshalb spielt die Gefäßform keine Rolle. Genau aus diesem Tiefenunterschied folgt der Auftrieb: Unten drückt es stärker nach oben als oben nach unten, und die Differenz ist so groß wie die der verdrängten Flüssigkeit. Ob ein Körper sinkt, schwebt, steigt oder schwimmt, entscheidet damit allein der Vergleich der , und für schwimmende Körper ist der eingetauchte Anteil genau das Dichteverhältnis. Ein Stahlschiff schwimmt, weil seine mittlere Dichte dank der Hohlräume weit unter der von Wasser liegt. In einer eingeschlossenen Flüssigkeit breitet sich Druck gleichmäßig aus, und darauf beruht die Hydraulik, die vervielfacht und dafür Weg verlangt.