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Das quantenmechanische Atommodell

1924 bis 1927AtommodellLouis de BroglieWerner Heisenberg

Historische Einordnung

Anfang der 1920er Jahre steckte die Atomphysik in einer merkwürdigen Lage: Das Bohr-Sommerfeld-Bild rechnete beim Wasserstoff glänzend, scheiterte aber an fast allem anderen, und niemand konnte sagen, warum seine Regeln gelten. Gleichzeitig war beim Licht längst klar, dass es sich je nach wie eine (, ) oder wie ein Teilchenstrom (Photoeffekt) verhält.

Die Lösung entstand nicht in einem Wurf, sondern als eine Entwicklung mit mehreren Beiträgen: de Broglie stellte 1924 die Wellenhypothese für Materie auf, Heisenberg (1925) und Schrödinger (1926) bauten daraus auf zwei verschiedenen Wegen dieselbe neue Mechanik, Born gab ihr 1926 die Wahrscheinlichkeitsdeutung, und Heisenbergs Unschärferelation von 1927 erklärte, warum der Bahnbegriff fallen muss. Merke dir das ausdrücklich so: Das sind nicht vier Atommodelle, sondern vier Bausteine eines einzigen, des quantenmechanischen Atommodells.

Louis de Broglie (1892 bis 1987)

Französischer Physiker. Schlug 1924 vor, dass auch Materieteilchen Welleneigenschaften haben. Nobelpreis 1929.

Werner Heisenberg (1901 bis 1976)

Deutscher Physiker. Entwickelte 1925 die erste vollständige Quantenmechanik (Matrizenmechanik) und formulierte 1927 die Unschärferelation. Nobelpreis 1932.

Erwin Schrödinger (1887 bis 1961)

Österreichischer Physiker. Stellte 1926 die Wellengleichung auf, mit der sich Atomzustände berechnen lassen. Nobelpreis 1933.

Max Born (1882 bis 1970)

Deutscher Physiker. Deutete 1926 die Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsangabe. Nobelpreis 1954.

Das Problem, das zu dieser Station führte

Der gedankliche Startpunkt war de Broglies Frage: Wenn Lichtwellen Teilcheneigenschaften haben, warum sollten Teilchen wie das Elektron nicht Welleneigenschaften haben? Er ordnete jedem Teilchen mit pp eine λ=hp\lambda = \dfrac{h}{p} zu.

Das war prüfbar, und es wurde bestätigt: 1927 beobachteten Davisson und Germer, dass Elektronen an einem Nickelkristall genau solche Interferenzmuster erzeugen wie Wellen am Gitter. Ein Teilchen, das Interferenzstreifen bildet, folgt aber keiner einzelnen Bahn; eine Welle nimmt gewissermaßen alle Wege zugleich. Damit war klar, dass eine Mechanik gebraucht wurde, in der die Bahn nicht mehr der Grundbegriff ist.

Vorher: Die Sommerfeld-Erweiterung

Grundannahmen

Was nimmt diese Vorstellung über den Aufbau des Atoms an?

  • Welle-Teilchen-Dualismus: Elektronen zeigen je nach Teilchen- oder Welleneigenschaften; ihre ist λ=h/p\lambda = h / p (de Broglie).

  • Zustand statt Bahn: Der Zustand eines Elektrons im Atom wird durch eine Wellenfunktion ψ\psi beschrieben, die Lösung der Schrödingergleichung ist.

  • Wahrscheinlichkeitsdeutung: ∣ψ∣2|\psi|^2 gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Elektron bei einer Messung an einem Ort angetroffen wird (Born). Mehr als Wahrscheinlichkeiten liefert die Theorie prinzipiell nicht.

  • Unschärferelation: Ort und sind nicht zugleich beliebig genau bestimmt (Δx⋅Δp≥h4π\Delta x \cdot \Delta p \geq \tfrac{h}{4\pi}, Heisenberg). Eine exakte Bahn, die beides jederzeit festlegt, kann es deshalb nicht geben.

  • Quantisierung als Ergebnis: Die erlaubten folgen aus der Gleichung von selbst, so wie eine Gitarrensaite nur bestimmte Töne kann. Bohrs Stufen werden hergeleitet statt verordnet.

So kannst du es dir vorstellen

Das Bild vom kreisenden Kügelchen musst du hier bewusst ablegen. An seine Stelle tritt das Orbital: ein Raumbereich um den Kern, in dem sich das Elektron mit hoher Wahrscheinlichkeit aufhält. In der interaktiven Darstellung siehst du das als Punktwolke: Jeder Punkt steht für einen möglichen Messwert des Ortes, und wo die Punkte dicht liegen, ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit groß.

Zwei Dinge kannst du dort selbst prüfen. Erstens: Die Wolke hat keine Bahn, nirgends liegt eine Linie, der das Elektron folgt. Zweitens ist Bohrs Modell trotzdem als Spur erkennbar: Beim Grundzustand des Wasserstoffs ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einem bestimmten Kernabstand zu finden, genau beim Bohr-Radius am größten. Die richtige Zahl steckte also schon im alten Modell, nur das Bild dazu war falsch.

Und so unterscheidest du die beiden Modelle in einem Satz: Bohr sagt „das Elektron ist auf Bahn n=2n = 2“, die Quantenmechanik sagt „das Elektron ist im Zustand ψ\psi mit der E2E_2, und ∣ψ∣2|\psi|^2 sagt mir, wo ich es mit welcher Wahrscheinlichkeit finde“.

jeder Punkt: ein möglicher Messwert des Ortes

Orbital wählen

Kugelförmige Wolke. Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einem bestimmten Kernabstand zu finden, ist beim Bohr-Radius a₀ am größten.

Interaktive Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Wasserstoffatom als Punktwolke, berechnet aus der jeweiligen Wellenfunktion. Die Punkte sind Stichproben der Verteilung, keine Momentaufnahmen einer Bewegung; eine Bahn gibt es nicht.

Wie funktioniert das Modell?

  1. 1Die Schrödingergleichung bestimmt die Zustände

    Für ein Elektron im Anziehungsfeld des Kerns hat die Schrödingergleichung nur für bestimmte brauchbare Lösungen, ganz wie eine eingespannte Saite nur bestimmte zulässt. Beim Wasserstoff kommen exakt die bohrschen Werte En=−13,6 eV/n2E_n = -13{,}6\ \mathrm{eV}/n^2 heraus, jetzt aber als Rechenergebnis, nicht als Postulat.

  2. 2Orbitale sind die Lösungen

    Jede Lösung ψ\psi ist ein Orbital und wird durch Quantenzahlen beschrieben (nn, ll, mm). Das kugelförmige 1s-Orbital ist der Grundzustand; 2s hat eine kugelförmige Knotenfläche, 2p ist hantelförmig. Die Formen sind keine Deko, sie bestimmen später, wie Atome Bindungen eingehen.

  3. 3Messen heißt Wahrscheinlichkeiten prüfen

    Eine einzelne Ortsmessung liefert einen Punkt, und der ist nicht vorhersagbar. Vorhersagbar ist die Verteilung vieler Messungen, eben ∣ψ∣2|\psi|^2. Genau das zeigt die Punktwolke oben: nicht wo das Elektron „gerade ist“, sondern wie sich viele Messungen verteilen würden.

  4. 4Übergänge und Spektren funktionieren weiter

    Wechselt das Atom vom Zustand mit EmE_m in einen mit EnE_n, wird wie bei Bohr ein mit h⋅f=Em−Enh \cdot f = E_m - E_n ausgesendet oder aufgenommen. Zusätzlich erklärt die Quantenmechanik, welche Übergänge häufig und welche praktisch verboten sind, also auch die Helligkeiten der Linien.

Was erklärt das Modell?

Alles, was Bohr konnte: Stabilität, Wasserstofflinien, Franck-Hertz-Stufen.

Die Energiestufen folgen aus der Schrödingergleichung. Der Grundzustand ist der Zustand tiefster ; tiefer geht es nicht, also ist das Atom stabil, ohne dass man ein Strahlungsverbot verordnen muss.

Elektronenbeugung: Elektronen erzeugen Interferenzmuster (Davisson und Germer 1927).

Elektronen haben Welleneigenschaften mit λ = h/p. Die gemessenen Beugungswinkel passen quantitativ zu dieser .

Mehrelektronenatome und das Periodensystem.

Orbitale, ihre Quantenzahlen und das Pauli-Prinzip (1925) ergeben die Schalenstruktur der Elektronenhüllen und damit die Ordnung des Periodensystems, an der Bohr und Sommerfeld gescheitert waren.

Feinheiten der Spektren, chemische Bindung, Molekülformen.

Aus den Formen und Überlagerungen der Orbitale folgen Bindungswinkel und Molekülgestalt; mit Spin und relativistischen Korrekturen auch Feinstruktur und Zeeman-Aufspaltungen im Detail.

Grenzen des Modells

Anschaulichkeit geht verloren.

Das Modell liefert Wahrscheinlichkeiten statt Bilder. Das ist keine Schwäche der Erklärung, sondern eine Eigenschaft der Natur im Kleinen, aber es bedeutet: Wer ein anschauliches Kügelchen-Bild verlangt, bekommt von diesem Modell bewusst keines.

Der Atomkern bleibt außen vor.

Das Modell beschreibt die Elektronenhülle. Woraus der Kern besteht und was ihn zusammenhält, beantwortet es nicht; dafür brauchte es eine eigene Entdeckung (nächste Station) und später die Kernphysik.

Exakt lösbar ist nur der einfachste Fall.

Nur wasserstoffähnliche Atome lassen sich geschlossen ausrechnen. Für alle anderen braucht es Näherungsverfahren; die sind heute sehr gut, aber Rechenaufwand und Näherung gehören zum Alltag dieses Modells.

Wie ging es weiter?

Für die Elektronenhülle ist das quantenmechanische Modell bis heute das gültige Bild: Kein hat ihm widersprochen, und Chemie, Lasertechnik und Halbleiterelektronik rechnen täglich damit. Der rote Faden dieses Bereichs endet hier aber noch nicht, denn eine Frage ist offen geblieben: Woraus besteht eigentlich der Kern?

Rutherford hatte gezeigt, dass der Kern die positive und fast die ganze trägt. Aber die Massen gingen nicht auf: Ein Heliumkern trägt die doppelte Ladung eines Wasserstoffkerns, ist aber rund viermal so schwer. Irgendetwas Schweres, Ungeladenes musste im Kern stecken. Die Antwort lieferte 1932 James Chadwick mit der Entdeckung des Neutrons, der letzten Station dieses Bereichs.

Nächste Station · 1932Die Entdeckung des Neutrons

Das musst du wissen

Im quantenmechanischen Atommodell beschreibt eine Wellenfunktion den Elektronenzustand; ∣ψ∣2|\psi|^2 liefert Aufenthaltswahrscheinlichkeiten (Orbitale), keine Bahnen. Bohrs Energiestufen bleiben als Rechenergebnis erhalten, sein Bahnenbild nicht.

Kleine Verständnisfrage

Dein Mitschüler sagt: „Ein Orbital ist doch einfach die Bahn, auf der das Elektron um den Kern fliegt.“ Was ist daran falsch, und wie stellst du es richtig?

Antwort anzeigen

Ein Orbital ist keine Flugbahn, sondern ein Raumbereich mit Aufenthaltswahrscheinlichkeiten: |ψ|² sagt, wo eine Ortsmessung das Elektron wie wahrscheinlich antrifft. Eine Bahn würde bedeuten, dass Ort und jederzeit festliegen, und genau das schließt die Unschärferelation aus. Richtig ist: Das Elektron ist in einem Zustand mit fester , aber ohne festen Weg; erst eine Messung liefert einen Ort, und viele Messungen zusammen zeichnen die Orbitalform nach.

Quellen

Die historischen Aussagen dieser Station stützen sich auf die folgenden Quellen. Die Darstellung ist eigenständig didaktisch aufbereitet und keine Übernahme der Texte.

  • Recherches sur la théorie des Quanta (Materiewellen), Louis de Broglie (1924/1925), Dissertation Paris; Annales de Physique, Band 3 (Primärquelle)
  • Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen, Werner Heisenberg (1925), Zeitschrift für Physik, Band 33 (Primärquelle)
  • Quantisierung als Eigenwertproblem, Erste Mitteilung, Erwin Schrödinger (1926), Annalen der Physik, Band 384 (Primärquelle)
  • Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge (Wahrscheinlichkeitsdeutung), Max Born (1926), Zeitschrift für Physik, Band 37 (Primärquelle)
  • Diffraction of Electrons by a Crystal of Nickel (Elektronenbeugung), Clinton Davisson, Lester Germer (1927), Physical Review, Band 30

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