Die Sommerfeld-Erweiterung
Kein neues Atommodell, sondern ein Ausbau des bohrschen Bahnenmodells: mehr Bahnformen, mehr Quantenzahlen, derselbe Denkrahmen.
Historische Einordnung
Nach 1913 wurde genauer gemessen, und dabei zeigte sich: Was im Bohr-Modell eine Linie sein sollte, besteht bei feiner Auflösung aus mehreren extrem dicht benachbarten Linien. Diese Feinstruktur war winzig (die Aufspaltung liegt um Größenordnungen unter dem Linienabstand selbst), aber sie war messbar und das Bohr-Modell hatte keinen Platz für sie: Eine einzige Quantenzahl liefert genau eine je Stufe, also genau eine Linie je Sprung.
Arnold Sommerfeld war der führende Fachmann für die mathematische Durcharbeitung der frühen Quantentheorie. Sein Lehrbuch „Atombau und Spektrallinien“ (1919) wurde für eine ganze Physikergeneration zur Bibel des Fachs.
Arnold Sommerfeld (1868 bis 1951)
Deutscher theoretischer Physiker in München, Lehrer vieler späterer Nobelpreisträger. Erweiterte das Bohr-Modell 1915/1916 um elliptische Bahnen und die Feinstrukturrechnung.
Das Problem, das zu dieser Station führte
Der Auslöser war also eine Messlücke des Bohr-Modells: mehr Linien als vorhergesagt. Sommerfelds Ansatz folgte einer Analogie, die er ausdrücklich aus der Himmelsmechanik nahm: Planeten laufen nicht auf Kreisen, sondern auf Ellipsen. Warum sollten Elektronenbahnen ausgerechnet Kreise sein müssen?
Er ließ deshalb neben den Kreisen auch Ellipsenbahnen zu und wandte auf beide dieselbe Art Quantenbedingung an wie Bohr. Das Ergebnis: Zu einer Hauptstufe gehören jetzt mehrere erlaubte Bahnformen, von der Linie fast gleicher bis zur langgestreckten Ellipse.
Grundannahmen
Was nimmt diese Vorstellung über den Aufbau des Atoms an?
Alles aus dem Bohr-Modell bleibt bestehen: Kern, stationäre Zustände, Übergänge mit .
Zu jeder Hauptquantenzahl sind neben der auch Ellipsenbahnen erlaubt. Ihre Form beschreibt eine zweite Quantenzahl (heute die Nebenquantenzahl mit ).
Auch die räumliche Lage der Bahnebene ist quantisiert und nicht beliebig; dafür steht eine dritte Quantenzahl (die magnetische Quantenzahl, sichtbar im ).
Auf einer langgestreckten Ellipse kommt das Elektron dem Kern zeitweise sehr nahe und wird dort sehr schnell; die Massenzunahme nach der Relativitätstheorie verschiebt dann die geringfügig.
So kannst du es dir vorstellen
Stell dir eine Bohr-Stufe als Familie von Bahnen vor statt als eine einzige : Zur Stufe gehören eine Kreisbahn und eine Ellipse, zur Stufe ein Kreis und zwei verschieden stark gestreckte Ellipsen. Alle Mitglieder einer Familie haben fast dieselbe .
„Fast“ ist hier das entscheidende Wort. Auf der Ellipse taucht das Elektron periodisch nah an den Kern und ist dort besonders schnell. Nach der Relativitätstheorie wächst dadurch seine ein winziges bisschen, und das verschiebt die Energie der Ellipsenbahn gegenüber der Kreisbahn um einen winzigen Betrag. Aus einer Energiestufe werden so mehrere haarfein getrennte Stufen, und aus einer Spektrallinie mehrere haarfein getrennte Linien. Genau das ist die gemessene Feinstruktur.
Wie funktioniert das Modell?
1Mehr Quantenzahlen, mehr Zustände
Ein Zustand wird jetzt durch mehrere Zahlen beschrieben: die Hauptquantenzahl ( und Bahngröße), die Nebenquantenzahl (Bahnform) und die magnetische Quantenzahl (Lage im Raum). Damit gibt es zu jedem mehrere unterscheidbare Zustände, die im Bohr-Modell zusammenfielen.
2Die Feinstruktur entsteht relativistisch
Sommerfeld rechnete die Ellipsenbahnen mit spezieller Relativitätstheorie durch. Die Energiekorrektur enthält eine neue Naturkonstante, die Feinstrukturkonstante . Die berechnete Aufspaltung stimmte mit den Messungen am Wasserstoff hervorragend überein.
3Das Magnetfeld macht die dritte Quantenzahl sichtbar
Im spalten Spektrallinien zusätzlich auf (Zeeman-Effekt). Die Erweiterung deutet das über die quantisierte Lage der Bahnebenen: Verschiedene Ausrichtungen bekommen im Feld leicht verschiedene .
Was erklärt das Modell?
Feinstruktur: Viele Spektrallinien bestehen aus mehreren dicht benachbarten Linien.
Zu einer Hauptstufe gehören mehrere Bahnformen mit haarfein verschiedenen . Sprünge aus dieser Familie erzeugen dicht benachbarte statt identischer Linien.
Linienaufspaltung im (Zeeman-Effekt), in Grundzügen.
Die Bahnebenen dürfen nur bestimmte Richtungen zum Feld einnehmen, und jede Richtung hat im Feld eine etwas andere .
Die Feinstruktur wächst bei schwereren wasserstoffähnlichen Ionen stark an.
Je größer die Kernladung, desto schneller das kernnahe Elektron und desto größer die relativistische Korrektur. Die gemessene Abhängigkeit folgt Sommerfelds Formel.
Grenzen des Modells
Mehrelektronenatome bleiben unberechenbar.
Wie beim Bohr-Modell scheitert die Rechnung, sobald sich mehrere Elektronen gegenseitig abstoßen. Die Erweiterung verfeinert den Wasserstoff, öffnet aber nicht das Periodensystem.
Die Grundfrage bleibt unbeantwortet.
Warum es überhaupt nur bestimmte Bahnen gibt und warum auf ihnen nicht gestrahlt wird, kann auch die Erweiterung nicht begründen. Sie fügt Regeln hinzu, statt die vorhandenen zu erklären.
Einige Aufspaltungsmuster widersprachen dem Bild.
Der sogenannte anomale Zeeman-Effekt zeigte Aufspaltungen, die sich mit Bahnquantenzahlen allein nicht deuten ließen. Erst der Elektronenspin und die Quantenmechanik lösten das auf.
Die richtige Antwort mit einem Bild, das nicht trägt.
Sommerfelds Formel für die Feinstruktur gilt der Sache nach bis heute, aber die Ellipsenbahnen, mit denen er sie herleitete, gibt es nach der Quantenmechanik nicht. Ein Modell kann richtig rechnen und trotzdem das falsche Bild zeichnen; auch das lehrt diese Station.
Warum kam das nächste Modell?
Die Sommerfeld-Erweiterung zeigte, wie weit sich das Bahnenbild treiben lässt, und genau dabei wurde sichtbar, dass es an sein Ende kommt. Jede neue Messung verlangte eine neue Zusatzregel, und keine dieser Regeln konnte aus etwas Tieferem begründet werden. Ein Modell, das nur noch durch Nachbessern überlebt, ist meist ein Zeichen, dass die Grundidee nicht stimmt.
Die Physiker der 1920er Jahre zogen daraus den radikalen Schluss: Nicht die Bahnen müssen verbessert werden, die Vorstellung einer Bahn selbst muss weg. Den ersten Anstoß gab 1924 Louis de Broglie mit einer auf den ersten Blick absurden Frage: Wenn Licht sich mal als , mal als Teilchen zeigt, gilt das vielleicht auch umgekehrt für Elektronen?
Das musst du wissen
Sommerfeld erweitert das Bohr-Modell: Ellipsenbahnen und zusätzliche Quantenzahlen erklären die Feinstruktur der Spektrallinien. Es ist der Ausbau des Bahnenbilds bis an seine Grenze, kein neues Atommodell.
Kleine Verständnisfrage
Warum zählt man Sommerfelds als Erweiterung des Bohr-Modells und nicht als eigenes, neues Atommodell?
Antwort anzeigenAntwort ausblenden
Weil alle Grundannahmen Bohrs unangetastet bleiben: der Kern, die stationären Bahnen ohne Strahlung und die Lichtaussendung nur bei Übergängen mit ΔE = h·f. Sommerfeld ändert nur, welche Bahnen zugelassen sind (auch Ellipsen, auch verschiedene Raumlagen). Ein neues Modell entsteht erst, wenn eine Grundannahme ersetzt wird, und genau das tut später die Quantenmechanik, indem sie die Bahn selbst aufgibt.
Quellen
Die historischen Aussagen dieser Station stützen sich auf die folgenden Quellen. Die Darstellung ist eigenständig didaktisch aufbereitet und keine Übernahme der Texte.
- Zur Quantentheorie der Spektrallinien, Arnold Sommerfeld (1916), Annalen der Physik, Band 356 (Primärquelle)
- Atombau und Spektrallinien, Arnold Sommerfeld (1919), Vieweg, Braunschweig