Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit

„Wie wahrscheinlich ist ein Treffer, wenn es regnet?" Sobald eine Zusatzinformation ins Spiel kommt, ändern sich Wahrscheinlichkeiten. Die Vierfeldertafel sortiert zwei Merkmale glasklar, und die bedingte Wahrscheinlichkeit rechnet mit dem Wissen, das man schon hat. Ein Werkzeug, das von der Medizin bis zur Spam-Erkennung überall arbeitet.

Bisher hast du Zufallsexperimente mit einem Merkmal betrachtet: Wie viele Sechsen? Wie viele rote Kugeln? Jetzt kommen Fragen dazu, bei denen zwei Merkmale gleichzeitig eine Rolle spielen.

Beispiel: Von $200$ Personen wird notiert, ob sie Sport treiben und ob sie in diesem Winter eine Erkältung hatten. Die Frage dahinter ist interessant: Schützt Sport vor Erkältungen?

Warum eine Tabelle und keine Liste

Bei zwei Merkmalen mit je zwei Möglichkeiten gibt es genau vier Personengruppen:

• Sport und Erkältung
• Sport, keine Erkältung
• kein Sport, aber Erkältung
• kein Sport, keine Erkältung

Diese vier Gruppen ordnet man in einer Tabelle mit zwei Zeilen und zwei Spalten an, daher der Name Vierfeldertafel. Kurzschreibweise: $S$ für „treibt Sport", $\bar{S}$ (gesprochen „S quer") für „treibt keinen Sport"; ebenso $E$ und $\bar{E}$ für die Erkältung.

Die Ränder sind das eigentliche Werkzeug

Um die vier Felder herum stehen die Randsummen: die Summe jeder Zeile und jeder Spalte, und ganz in der Ecke die Gesamtzahl. Das Bild unten zeigt sie gelb markiert.

Diese Ränder machen die Tafel so praktisch: Aus drei Zahlen kannst du die vierte immer erschließen. Steht in einer Zeile die Summe $120$ und in einem Feld $16$, dann muss im anderen Feld $120 - 16 = 104$ stehen. In Aufgaben ist die Tafel deshalb fast nie vollständig gegeben. Sie wird schrittweise ausgefüllt.

Und eine gute Kontrolle steckt gleich mit drin: Addiere die beiden Zeilensummen und dann die beiden Spaltensummen. Beide Male muss die Gesamtzahl herauskommen. Stimmt das nicht, ist irgendwo ein Fehler.

Von Anzahlen zu Wahrscheinlichkeiten

Bis hierher haben wir nur Personen gezählt. Eine Wahrscheinlichkeit entsteht daraus, indem du durch die Gesamtzahl teilst: das ist dieselbe Idee wie bei der relativen Häufigkeit aus Klasse 6:

Das Zeichen $\cap$ heißt „und" (beide Merkmale treffen zu). Gelesen: „Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Sport treibt und erkältet war, beträgt $8\,\%$."

Tipp für Aufgaben: Rechne so lange wie möglich mit Anzahlen und teile erst am Ende. Mit ganzen Zahlen verrechnet man sich seltener als mit Dezimalzahlen.

Jetzt zurück zur Ausgangsfrage: Schützt Sport vor Erkältungen? Um das zu beantworten, darfst du nicht alle $200$ Personen betrachten. Du musst die Sportler unter sich vergleichen mit den Nicht-Sportlern unter sich.

Genau das leistet die bedingte Wahrscheinlichkeit. Sie beantwortet Fragen der Form: Wenn ich schon weiß, dass die Person Sport treibt, wie wahrscheinlich ist dann eine Erkältung?

Der Gedanke: die Grundmenge schrumpft

Normalerweise ist die Grundmenge „alle $200$ Personen". Sobald du aber weißt, dass die Person Sport treibt, sind die Nicht-Sportler aus dem Spiel. Deine neue Grundmenge sind nur noch die $120$ Sportler.

Von diesen $120$ Sportlern waren $16$ erkältet. Also:

Man schreibt $P_S(E)$ und liest: „Wahrscheinlichkeit für $E$ unter der Bedingung $S$". Das kleine $S$ unten nennt die Bedingung, das, was du schon weißt.

(In vielen Büchern und in der Oberstufe findest du dieselbe Sache als $P(E \mid S)$ geschrieben: Der senkrechte Strich wird „gegeben" gelesen, die Bedingung steht hinter dem Strich. Beide Schreibweisen bedeuten exakt dasselbe, merke dir: Was bei uns klein unten steht, steht dort hinter dem Strich.)

In der Tafel ist das ganz einfach zu finden:

Nicht durch die Gesamtzahl, sondern durch die Randsumme, denn die Bedingung legt fest, welche Zeile oder Spalte deine neue Grundmenge ist.

Allgemein mit Wahrscheinlichkeiten geschrieben lautet dieselbe Regel:

Warum ist das wirklich dieselbe Regel? Teile im Bruch $\frac{\text{Zelle}}{\text{Randsumme}}$ oben und unten durch die Gesamtzahl, der Wert eines Bruchs ändert sich beim Kürzen und Erweitern nicht (Klasse 6). Aus der Zelle geteilt durch die Gesamtzahl wird $P(A \cap B)$, aus der Randsumme geteilt durch die Gesamtzahl wird $P(B)$. Bei uns: $\frac{16}{120} = \frac{16/200}{120/200} = \frac{0{,}08}{0{,}6}$, derselbe Wert.

Jetzt der Vergleich, und die Antwort auf die Ausgangsfrage

Unter den Sportlern war also nur etwa jeder Achte erkältet, unter den Nicht-Sportlern fast jeder Dritte. In diesen Daten geht Sport tatsächlich mit weniger Erkältungen einher.

Die Richtung darf man nicht vertauschen

Das ist der wichtigste Fehler dieses Kapitels. Vergleiche:

Beide Brüche haben denselben Zähler. Es ist dieselbe Personengruppe von $16$ Leuten. Aber die Nenner sind verschieden, weil die Bedingung verschieden ist:

• $P_S(E)$ fragt: Unter den Sportlern, wie viele waren erkältet?
• $P_E(S)$ fragt: Unter den Erkälteten, wie viele treiben Sport?

Das sind völlig verschiedene Fragen. Achte in Aufgabentexten auf das Signalwort: „von den Sportlern …" oder „… unter den Erkälteten" verrät dir die Bedingung, also den Nenner. Frage dich immer: Welche Gruppe ist hier mein neues Ganzes?

Manchmal ändert eine Zusatzinformation die Wahrscheinlichkeit, manchmal aber auch nicht. Der zweite Fall hat einen eigenen Namen.

Der Gedanke

Zwei Ereignisse heißen stochastisch unabhängig, wenn das Wissen über das eine die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert:

In Worten: Es macht keinen Unterschied, ob du die Bedingung kennst oder nicht. Beim Würfeln zum Beispiel ist der zweite Wurf unabhängig vom ersten, der Würfel hat kein Gedächtnis.

Die praktische Prüfregel

Aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit lässt sich eine bequemere Form gewinnen. Setze $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ in die Bedingung ein und multipliziere beide Seiten mit $P(B)$:

Das ist dasselbe Kriterium, nur ohne Bruch, und deshalb die Form, mit der man rechnet. Merke: Bei Unabhängigkeit darf man die Wahrscheinlichkeiten einfach multiplizieren.

Unsere Daten geprüft

Aus der Tafel: $P(S) = \frac{120}{200} = 0{,}6$ und $P(E) = \frac{40}{200} = 0{,}2$. Wären Sport und Erkältung unabhängig, müsste gelten:

Tatsächlich steht in der Tafel aber

$0{,}08 \neq 0{,}12$, die beiden Merkmale sind also abhängig. Das passt zu dem, was wir eben gesehen haben: Die Erkältungswahrscheinlichkeit unterscheidet sich bei Sportlern und Nicht-Sportlern deutlich.

Eine wichtige Warnung zum Schluss: „Abhängig" bedeutet nicht automatisch „das eine verursacht das andere". Vielleicht schützt Sport vor Erkältungen, vielleicht sind aber auch gesündere Menschen einfach eher sportlich. Statistik zeigt Zusammenhänge, keine Ursachen. Wer aus einer Vierfeldertafel eine Ursache ableitet, geht einen Schritt zu weit.

Vierfeldertafel und Baumdiagramm (Klasse 8) beschreiben dieselbe Situation, nur in verschiedener Darstellung. Es lohnt sich, beide zu beherrschen, denn jede hat ihre Stärke:

• Die Tafel ist stark, wenn du Anzahlen ergänzen willst (Randsummen!).
• Der Baum ist stark, wenn ein Vorgang in Stufen abläuft.

Der entscheidende Zusammenhang

Schau dir das Baumdiagramm unten an. Auf der ersten Stufe stehen die gewöhnlichen Wahrscheinlichkeiten $P(S)$ und $P(\bar{S})$. Auf der zweiten Stufe stehen (und das ist der Punkt) genau die bedingten Wahrscheinlichkeiten:

Das muss so sein: Wenn du auf dem oberen Ast bereits bei den Sportlern angekommen bist, sind die Nicht-Sportler aus dem Spiel, die Grundmenge ist geschrumpft. Genau das ist eine Bedingung.

Damit ist die Pfadregel keine neue Regel

Die 1. Pfadregel aus Klasse 8 sagte: Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.

Und das ist nichts anderes als die umgestellte Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit, multipliziere $P_S(E) = \frac{P(S \cap E)}{P(S)}$ auf beiden Seiten mit $P(S)$, und du bist genau dort. Zur Kontrolle mit unseren Zahlen:

Was du daraus mitnehmen solltest: Die Multiplikation im Baumdiagramm hast du schon immer benutzt, jetzt weißt du, warum sie funktioniert. In der Oberstufe wird derselbe Zusammenhang unter dem Namen Satz von Bayes wieder auftauchen.