Direkte und indirekte Proportionalität

Doppelt so viele Brötchen kosten doppelt so viel, aber doppelt so viele Maler brauchen halb so lange! Zwei völlig verschiedene Zusammenhänge, die beide ständig im Alltag auftauchen. Wer sie unterscheiden kann, wählt automatisch den richtigen Dreisatz, und tappt nie wieder in die „Alles-ist-proportional"-Falle.

„Je mehr, desto entsprechend mehr": doppelte Menge → doppelter Preis.

• Kennzeichen: Quotientengleichheit $\frac{y}{x} = k$.
• Gleichung: $y = k \cdot x$ · Graph: Ursprungsgerade (siehe Bild).
• Dreisatz: zur $1$ dividieren, zum Ziel multiplizieren (gleiche Richtung in beiden Spalten).

Warum der Quotient konstant bleibt

Nimm Äpfel für $2$ € je Kilogramm:

Der Quotient ist immer $2$, und das ist kein Zufall: Er ist schlicht der Preis pro Kilogramm. Der ändert sich ja nicht, egal wie viel du kaufst.

Deshalb ist die Quotientengleichheit das Erkennungsmerkmal: Steckt hinter der Situation ein fester „Preis pro Stück", muss $\frac{y}{x}$ konstant sein.

Diese feste Zahl $k$ heißt Proportionalitätsfaktor.

Warum der Graph durch den Ursprung geht

Setze $x = 0$ ein: Null Kilogramm Äpfel kosten null Euro. Der Punkt $(0 \mid 0)$ gehört also immer dazu.

Das ist ein nützlicher Schnelltest: Geht die Gerade nicht durch den Ursprung, ist es keine direkte Proportionalität. Bei einem Handytarif mit Grundgebühr etwa startet die Gerade oberhalb der Null. Dort ist der Dreisatz verboten.

„Je mehr, desto entsprechend weniger": doppelt so viele Pumpen → halbe Zeit.

• Kennzeichen: Produktgleichheit $x \cdot y = c$ (konstant!).
• Gleichung: $y = \frac{c}{x}$ · Graph: Hyperbel (fällt, berührt die Achsen nie, siehe Bild).
• Dreisatz: Die Spalten laufen gegenläufig, wird links dividiert, wird rechts multipliziert!

Beispiel: $3$ Pumpen leeren ein Becken in $8$ Stunden. Für $1$ Pumpe: $8 \cdot 3 = 24\,\text{h}$; für $4$ Pumpen: $24 : 4 = 6\,\text{h}$. Logik-Check: $3 \cdot 8 = 4 \cdot 6 = 24$ „Pumpenstunden".

Warum hier das Produkt konstant ist

Der Schlüssel steckt in der Größe, die sich nicht ändert: die zu leistende Arbeit.

Egal wie viele Pumpen laufen, das Becken bleibt gleich groß. Und die Arbeit misst du in „Pumpenstunden": Anzahl der Pumpen mal Laufzeit.

Deshalb muss das Produkt konstant sein. Genau darin liegt der Unterschied zur direkten Proportionalität, wo der Quotient feststeht.

Suche bei jeder indirekten Aufgabe diese verborgene Gesamtmenge. Sie ist der eigentliche Kern:

Warum der Dreisatz hier gegenläufig ist

Beim direkten Dreisatz gehst du „durch die Eins": Eine Einheit kostet $k$, also kosten $n$ Einheiten $n \cdot k$.

Beim indirekten Dreisatz bedeutet die Eins etwas anderes: eine Pumpe braucht die volle Arbeit allein, also die längste Zeit. Deshalb wird beim Schritt zur Eins multipliziert statt dividiert.

Und beim Schritt zum Ziel wird dann dividiert. Die beiden Spalten laufen also in entgegengesetzte Richtungen, daher der Name.

Stelle die Kontrollfrage: „Was passiert bei doppelter Menge?"

• Wert verdoppelt sich → direkt proportional.
• Wert halbiert sich → indirekt proportional.
• Weder noch (z. B. Alter ↦ Größe, Anzahl ↦ Paketporto) → keins von beiden, Dreisatz verboten!

Warum der dritte Fall so wichtig ist

Die ersten beiden Fälle übt man in der Schule ständig, deshalb greifen viele automatisch zum Dreisatz, sobald vier Zahlen im Spiel sind. Genau das geht schief.

Beispiel: Ein Baby ist mit $1$ Jahr etwa $75\,\text{cm}$ groß. Wie groß ist es mit $20$ Jahren? Der Dreisatz würde antworten: $20$ Jahre sind das $20$-fache von $1$ Jahr, also müsste die Größe auch das $20$-fache sein, $15$ Meter.

Das ist offenkundig Unsinn, und der Grund ist einfach: Zwischen Alter und Größe gibt es keinen festen Faktor. Das Wachstum verlangsamt sich.

Beispiel 2: Ein Paket bis $2\,\text{kg}$ kostet $5$ €, bis $5\,\text{kg}$ kostet es $7$ €. Auch hier hilft kein Dreisatz, die Post rechnet in Stufen, nicht pro Kilogramm.

Der Test, den du immer machen solltest

Bevor du rechnest, prüfe die Verdopplungsfrage: Wenn ich die eine Größe verdopple, verdoppelt sich die andere wirklich, halbiert sie sich, oder passiert etwas anderes?

Nur bei den ersten beiden Antworten darfst du den Dreisatz benutzen. Diese eine Frage vor jeder Aufgabe erspart dir die meisten Fehler dieses Kapitels.