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Arithmetik / Zahlen

Geldwerte und Sachrechnen

Mit Euro und Cent sicher rechnen: Einkaufen, Wechselgeld und Preisvergleiche.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

An der Kasse, beim Taschengeld, im Online-Shop, nirgendwo rechnest du so oft wie beim Geld. In diesem Kapitel lernst du, mit Euro und Cent fehlerfrei umzugehen, Wechselgeld blitzschnell zu bestimmen und beim Einkaufen echte Preisvergleiche anzustellen. Mathe, die sich sofort auszahlt!

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • Geldbeträge in Euro und Cent umwandeln und in Kommaschreibweise notieren.

  • Geldbeträge addieren, subtrahieren und vervielfachen.

  • Wechselgeld durch Ergänzen bestimmen.

  • Preise durch Grundpreis-Rechnung vergleichen (Preis pro Stück, pro 100 g).

Euro und Cent

Geld rechnest du fast täglich, höchste Zeit, dabei fehlerfrei zu werden. Die Grundlage:

1 Euro=100 ct1\text{ Euro} = 100\,\text{ct}

Die Kommaschreibweise trennt Euro und Cent: 3,503{,}50 € sind 3 Euro und 50 Cent.

Warum genau zwei Stellen hinter dem Komma?

Weil ein Euro in hundert Cent geteilt ist, und hundert ist die zweite Stufe hinter dem Komma.

Denk an das Stellenwertsystem: So wie es vor dem Komma nach rechts immer durch zehn geht (Hunderter, Zehner, Einer), geht es hinter dem Komma genauso weiter:

  • erste Stelle nach dem Komma: Zehntel Euro =10= 10 Cent
  • zweite Stelle nach dem Komma: Hundertstel Euro =1= 1 Cent

Genau deshalb steht an der ersten Stelle nicht die Cent-Zahl, sondern die Zahl der Zehn-Cent-Stücke.

3,5 Euro=3 Euro und 5 Zehner-Cent=3,50 Euro3{,}5\text{ Euro} = 3 \text{ Euro und } 5 \text{ Zehner-Cent} = 3{,}50\text{ Euro}

Drei Euro und fünf Cent schreibt man dagegen 3,053{,}05 €, die 55 muss an die zweite Stelle, und die erste wird mit einer 00 aufgefüllt.

Deshalb die feste Regel: Schreibe Geldbeträge immer mit zwei Nachkommastellen. Dann kann dir dieser Fehler nicht passieren.

Übersicht des Euro-Bargelds im freundlichen Lernposter-Stil: die acht Münzen von 1 Cent bis 2 Euro in einer Reihe mit Wertangaben und korrekten Größenverhältnissen, darunter die Scheine 5, 10, 20 und 50 Euro; Merk-Pille: 1 Euro = 100 Cent.

Alle Münzen und die kleinen Scheine auf einen Blick. Merke dir: 11 € =100= 100 ct, genau deshalb haben Geldbeträge zwei Nachkommastellen.

Mit Geldbeträgen rechnen

Komma unter Komma

Geldbeträge rechnest du wie Dezimalzahlen, mit dem Komma genau untereinander:

12,45 Euro+3,80 Euro=16,2512{,}45\text{ Euro} + 3{,}80\text{ Euro} = 16{,}25 €

Wenn dir das Komma Schwierigkeiten macht, rechne alles in Cent um (mal 100), rechne mit ganzen Zahlen und wandle am Ende zurück.

Wechselgeld durch Ergänzen

Kassiererinnen rechnen nicht mühsam 50−37,4550 - 37{,}45. Sie ergänzen von unten nach oben bis zum bezahlten Betrag:

37,45→+5 ct37,50→+50 ct38→+2 Euro40→+10 Euro5037{,}45 \xrightarrow{+5\,\text{ct}} 37{,}50 \xrightarrow{+50\,\text{ct}} 38 \xrightarrow{+2\text{ Euro}} 40 \xrightarrow{+10\text{ Euro}} 50

Das Wechselgeld ist die Summe der Sprünge: 5 ct+50 ct+2 Euro+10 Euro=12,555\,\text{ct} + 50\,\text{ct} + 2\text{ Euro} + 10\text{ Euro} = 12{,}55 €.

Wechselgeld im freundlichen Lernposter-Stil: 5-Cent-Münze plus 50-Cent-Münze plus 2-Euro-Münze plus 10-Euro-Schein, darunter die Ergebnis-Pille mit der Rechnung 5 ct + 50 ct + 2 € + 10 € = 12,55 €.

Die vier Ergänzungs-Sprünge aus dem Text sind genau die Stücke, die du zurückbekommst: zwei Münzen für die Cent-Sprünge, eine 22-Euro-Münze und ein 1010-Euro-Schein. So zählt dir die Kassiererin das Wechselgeld in die Hand.

Preise fair vergleichen: der Grundpreis

Welches Angebot ist günstiger, 250 g250\,\text{g} Erdbeeren für 2,002{,}00 € oder 400 g400\,\text{g} für 3,603{,}60 €? Die Gesamtpreise kannst du nicht direkt vergleichen, weil die Mengen verschieden sind. Der faire Vergleich läuft über den Grundpreis, den Preis für eine feste Menge, z. B. pro 100 g100\,\text{g}:

  • Angebot A: 2,00 Euro:2,5=0,802{,}00\text{ Euro} : 2{,}5 = 0{,}80 € pro 100 g
  • Angebot B: 3,60 Euro:4=0,903{,}60\text{ Euro} : 4 = 0{,}90 € pro 100 g

Das Bild unten zeigt es: Angebot A ist günstiger, obwohl die größere Packung B auf den ersten Blick nach „mehr fürs Geld" aussieht.

Warum der Grundpreis fair ist

Der Vergleich 2,002{,}00 € gegen 3,603{,}60 € sagt nichts aus, die Beträge gehören ja zu verschiedenen Mengen. Es ist wie beim Vergleich von 3 m3\,\text{m} mit 40 cm40\,\text{cm}: Ohne gemeinsame Grundlage kannst du nicht entscheiden.

Der Grundpreis stellt genau diese gemeinsame Grundlage her. Du rechnest beide Angebote auf dieselbe Menge um (etwa auf 100 g100\,\text{g}) und vergleichst erst dann.

Danach steht auf beiden Seiten dasselbe: der Preis für hundert Gramm. Diese Zahlen darfst du vergleichen.

Warum die größere Packung nicht immer günstiger ist

Man hört oft: „Die Großpackung lohnt sich immer." Angebot B zeigt, dass das nicht stimmt, dort zahlst du pro 100 g100\,\text{g} sogar mehr.

Deshalb steht im Supermarkt am Preisschild der Grundpreis in kleiner Schrift dabei (etwa „0,900{,}90 € / 100 g"). Er ist gesetzlich vorgeschrieben, genau damit man Packungen vergleichen kann, ohne selbst zu rechnen.

Der Blick aufs Kleingedruckte ist also angewandte Mathematik, und spart bares Geld.

00,250,50,751€ pro 100 g0,8Angebot A0,9Angebot B

Preis pro 100 g100\,\text{g}: Angebot A (0,800{,}80 €) ist günstiger als Angebot B (0,900{,}90 €), die kürzere Säule gewinnt.

Denk weiter: Nudeln gibt es als 300-g-Packung für 2,40 Euro und als 500-g-Packung für 4,50 Euro. Welche ist günstiger?

Rechne erst selbst, vergleiche die Preise für je 100 g100\,\text{g}.

Kleine Packung: 300 g300\,\text{g} sind dreimal 100 g100\,\text{g}.

2,40 Euro:3=0,80 Euro pro 100 g2{,}40\text{ Euro} : 3 = 0{,}80\text{ Euro pro } 100\,\text{g}

Große Packung: 500 g500\,\text{g} sind fünfmal 100 g100\,\text{g}.

4,50 Euro:5=0,90 Euro pro 100 g4{,}50\text{ Euro} : 5 = 0{,}90\text{ Euro pro } 100\,\text{g}

Die kleine Packung ist günstiger, obwohl sie insgesamt weniger kostet und weniger enthält.

Was du daraus lernst

Viele glauben: „Die Großpackung lohnt sich immer." Das stimmt nicht. Ob sie sich lohnt, siehst du erst, wenn du den Grundpreis ausrechnest.

Genau deshalb steht im Supermarkt am Regal klein der Preis pro Kilogramm oder pro Liter dabei. Er ist gesetzlich vorgeschrieben, damit man ohne eigenes Rechnen vergleichen kann.

Merke dir die Reihenfolge: erst auf dieselbe Menge umrechnen, dann vergleichen. Nie umgekehrt.

Einkauf mit Wechselgeld

Ben kauft ein Brot für 2,852{,}85 €, Käse für 4,394{,}39 € und Saft für 1,761{,}76 €. Er zahlt mit einem 10-€-Schein. Wie viel Wechselgeld bekommt er?

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben: drei Einzelpreise und der gezahlte Betrag (1010 €). Gesucht: das Wechselgeld.

    Das ist eine zweischrittige Aufgabe. Zerlege sie in Teilfragen: Was kostet alles zusammen? und danach Was bleibt vom Schein übrig?

  2. 2

    Schritt 1: Die Preise stellengerecht untereinander schreiben.

    Entscheidend ist: Komma unter Komma. Dann stehen Euro unter Euro und Cent unter Cent, und nur Gleiches wird zusammengezählt.

    2,854,39+  1,76\begin{array}{r} 2{,}85 \\ 4{,}39 \\ +\;1{,}76 \\ \hline \end{array}
  3. 3

    Schritt 2: Die Cent-Spalten addieren.

    Hundertstel: 5+9+6=205 + 9 + 6 = 20 → 00 hinschreiben, 22 Übertrag.

    Zehntel: 8+3+7+2=208 + 3 + 7 + 2 = 20 → 00 hinschreiben, 22 Übertrag.

    Nach dem Komma steht also 0000, die Cent gehen glatt auf.

  4. 4

    Schritt 3: Die Euro-Spalte addieren.

    2+4+1+2⏟U¨bertrag=92 + 4 + 1 + \underbrace{2}_{\text{Übertrag}} = 9

    Gesamtpreis: 9,009{,}00 €.

  5. 5

    Schritt 4: Das Wechselgeld bestimmen.

    10,00 Euro−9,00 Euro=1,00 Euro10{,}00\text{ Euro} - 9{,}00\text{ Euro} = 1{,}00\text{ Euro}

    Hier geht es glatt auf. Bei krummen Beträgen kannst du auch ergänzen wie an der Kasse: von 9,009{,}00 € bis 10,0010{,}00 € ist es genau 11 €.

  6. 6

    Schritt 5: als Kontrolle.

    Runde grob: 3+4,50+2≈9,503 + 4{,}50 + 2 \approx 9{,}50 €. Das passt zu 9,009{,}00 € ✓

    Wäre etwa 1919 € herausgekommen, hättest du sofort gesehen, dass ein Übertrag danebenging.

Ben bekommt 1,00 € zurück (Einkauf: 9,009{,}00 €).

Grundpreis-Vergleich

Müsli gibt es in zwei Packungen: 500 g für 3,203{,}20 € oder 750 g für 4,504{,}50 €. Welche Packung ist pro 100 g günstiger?

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben: zwei Packungen mit verschiedenen Mengen und Preisen. Gesucht: welche pro 100 g100\,\text{g} günstiger ist.

    Warum darf man 3,203{,}20 € und 4,504{,}50 € nicht direkt vergleichen? Weil man dafür unterschiedlich viel Müsli bekommt. Erst eine gemeinsame Vergleichsmenge macht die Preise vergleichbar. Das ist der Grundpreis.

  2. 2

    Schritt 1: Packung A auf 100 g umrechnen.

    Wie oft passen 100 g100\,\text{g} in 500 g500\,\text{g}? Fünfmal.

    Also verteilt sich der Preis auf fünf Portionen:

    3,20 Euro:5=0,64 Euro3{,}20\text{ Euro} : 5 = 0{,}64\text{ Euro}
  3. 3

    Schritt 2: Packung B auf 100 g umrechnen.

    Wie oft passen 100 g100\,\text{g} in 750 g750\,\text{g}? Siebeneinhalbmal.

    4,50 Euro:7,5=0,60 Euro4{,}50\text{ Euro} : 7{,}5 = 0{,}60\text{ Euro}

    (Rechenhilfe, falls das Komma stört: In Cent gerechnet ist es 450:7,5=60450 : 7{,}5 = 60 Cent.)

  4. 4

    Schritt 3: Jetzt erst vergleichen.

    0,60 Euro<0,64 Euro0{,}60\text{ Euro} < 0{,}64\text{ Euro}

    Beide Zahlen bedeuten nun dasselbe, Preis für 100 g100\,\text{g}, und dürfen deshalb verglichen werden.

    Packung B ist die günstigere.

  5. 5

    Schritt 4: Den Unterschied einordnen.

    0,64 Euro−0,60 Euro=0,04 Euro0{,}64\text{ Euro} - 0{,}60\text{ Euro} = 0{,}04\text{ Euro}

    Vier Cent pro 100 g100\,\text{g}, bei 750 g750\,\text{g} sind das immerhin 3030 Cent Ersparnis gegenüber demselben Gewicht in kleinen Packungen.

  6. 6

    Schritt 5: Und die Warnung dazu.

    Hier ist die Großpackung günstiger, aber das ist keine Regel. Im Beispiel oben in der Theorie war es genau umgekehrt.

    Rechne deshalb immer nach oder schau auf den Grundpreis am Regal. Und bedenke: Die günstigste Packung nützt nichts, wenn die Menge verdirbt, bevor du sie aufisst.

Packung B (750 g750\,\text{g}) ist mit 0,600{,}60 € pro 100 g100\,\text{g} günstiger als Packung A mit 0,640{,}64 €.

Typischer Fehler

„3,53{,}5 €. Das sind 3 Euro und 5 Cent."

Die erste Stelle hinter dem Komma sind Zehner-Cent: 3,5 Euro=3,50 Euro=33{,}5\text{ Euro} = 3{,}50\text{ Euro} = 3 € und 50 ct50\,\text{ct}. Drei Euro und fünf Cent schreibt man 3,053{,}05 €. Schreibe Geldbeträge deshalb immer mit zwei Nachkommastellen. Dann kann nichts schiefgehen.

Übung 1

leicht

Schreibe in Kommaschreibweise: a) 7 € 8 ct b) 245 ct c) 12 € 60 ct

Tipp anzeigen

Zwei Nachkommastellen!

Lösung anzeigen

a) 7,087{,}08 € (nicht 7,8!)

b) 245 ct=2,45245\,\text{ct} = 2{,}45 €

c) 12,6012{,}60 €

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Das Prinzip: Cent sind Hundertstel

    11 € =100= 100 ct. In der Kommaschreibweise stehen die Cent deshalb IMMER zweistellig hinter dem Komma.

  2. 2

    a) und c): Führende Null nicht vergessen

    a) 77 € 88 ct =7,08= 7{,}08 €, die 88 ct brauchen die Null davor. c) 1212 € 6060 ct =12,60= 12{,}60 €.

  3. 3

    b) Cent in Euro zerlegen

    245245 ct: Je 100100 ct ergeben 11 €, also 22 € und 4545 ct Rest: 2,452{,}45 €.

    245 ct=200 ct+45 ct=2,45 €245\,\text{ct} = 200\,\text{ct} + 45\,\text{ct} = 2{,}45\,€

Übung 2

mittel

Mia zahlt 23,3523{,}35 € mit einem 50-€-Schein. Bestimme das Wechselgeld durch Ergänzen.

Tipp anzeigen

Erst auf 23,50, dann auf 24, dann auf 25, dann auf 50.

Lösung anzeigen

23,35→+15 ct23,50→+50 ct24→+1 Euro25→+25 Euro5023{,}35 \xrightarrow{+15\,\text{ct}} 23{,}50 \xrightarrow{+50\,\text{ct}} 24 \xrightarrow{+1\text{ Euro}} 25 \xrightarrow{+25\text{ Euro}} 50

Wechselgeld: 0,15+0,50+1+25=26,650{,}15 + 0{,}50 + 1 + 25 = 26{,}65 €

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Ergänzungsstrategie verstehen

    Statt 50−23,3550 - 23{,}35 schriftlich zu rechnen, füllen wir von 23,3523{,}35 AUFWÄRTS bis 5050 auf, so gibt auch die Kasse heraus.

  2. 2

    In Etappen zu runden Beträgen springen

    23,35→23,5023{,}35 \to 23{,}50 (mit 1515 ct), →24\to 24 € (mit 5050 ct), →25\to 25 € (mit 11 €), →50\to 50 € (mit 2525 €).

    23,35→+0,1523,50→+0,5024→+125→+255023{,}35 \xrightarrow{+0{,}15} 23{,}50 \xrightarrow{+0{,}50} 24 \xrightarrow{+1} 25 \xrightarrow{+25} 50

  3. 3

    Etappen zusammenzählen und prüfen

    Wechselgeld: 0,15+0,50+1+25=26,650{,}15 + 0{,}50 + 1 + 25 = 26{,}65 €. Probe: 23,35+26,65=5023{,}35 + 26{,}65 = 50 € ✓.

Übung 3

schwer

Saft gibt es im Sixpack (6 Flaschen für 5,705{,}70 €) oder einzeln für 1,051{,}05 € pro Flasche. Familie Roth braucht 18 Flaschen. Wie viel spart sie, wenn sie Sixpacks statt Einzelflaschen kauft?

Tipp anzeigen

Berechne beide Gesamtpreise für 18 Flaschen.

Lösung anzeigen

Sixpacks: 18:6=318 : 6 = 3 Packs → 3⋅5,70=17,103 \cdot 5{,}70 = 17{,}10 €

Einzeln: 18⋅1,05=18,9018 \cdot 1{,}05 = 18{,}90 €

Ersparnis: 18,90−17,10=1,8018{,}90 - 17{,}10 = 1{,}80 €

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Den Vergleichsplan aufstellen

    „Wie viel spart sie?" verlangt ZWEI Gesamtpreise für dieselben 1818 Flaschen, einmal mit Sixpacks, einmal einzeln und dann deren Differenz.

  2. 2

    Weg 1: Sixpacks

    1818 Flaschen sind 18:6=318 : 6 = 3 Sixpacks. Kosten: 3⋅5,70=17,103 \cdot 5{,}70 = 17{,}10 €.

    18:6=3,3⋅5,70=17,10 €18 : 6 = 3, \quad 3 \cdot 5{,}70 = 17{,}10\,€

    Zwischenergebnis

    17,1017{,}10 €

  3. 3

    Weg 2: Einzelflaschen

    Alle 1818 Flaschen einzeln gekauft: 18⋅1,05=18,9018 \cdot 1{,}05 = 18{,}90 €.

    Zwischenergebnis

    18,9018{,}90 €

  4. 4

    Ersparnis als Differenz

    Ersparnis: 18,90−17,10=1,8018{,}90 - 17{,}10 = 1{,}80 €. Familie Roth spart mit Sixpacks 1,801{,}80 €.

Alternative Lösungswege

Zusammenfassung

Geldbeträge schreibst du immer mit zwei Nachkommastellen und rechnest Komma unter Komma. Wechselgeld bestimmst du am schnellsten durch Ergänzen, und faire Preisvergleiche gelingen nur über den Grundpreis. Damit bist du an jeder Kasse (und bei jeder Sachaufgabe) auf der sicheren Seite.