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Quantenphysik

Materiewellen und die Beugung von Elektronen

Warum auch Elektronen eine Wellenlänge haben, wie man das nachweist und warum ein Fußball trotzdem keine zeigt.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Photoeffekt und Compton-Effekt hatten gezeigt: Licht, das man für eine hielt, verhält sich auch wie ein Teilchen.

1924 stellte Louis de Broglie in seiner Doktorarbeit die naheliegende Gegenfrage: Gilt vielleicht auch die Umkehrung? Verhalten sich Elektronen, die man für Teilchen hält, unter geeigneten Bedingungen wie Wellen?

Die Idee war so kühn, dass seine Prüfer unsicher waren und Einstein um ein Urteil baten. Der antwortete, de Broglie habe „einen Zipfel des großen Schleiers gelüftet". Drei Jahre später war die Vorhersage experimentell bestätigt, und heute steht in jedem Forschungsinstitut ein Gerät, das darauf beruht: das Elektronenmikroskop.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die de-Broglie-Wellenlänge angeben und berechnen.

  • begründen, warum sie bei Alltagsobjekten unmerklich ist.

  • den Nachweis durch Elektronenbeugung beschreiben.

  • die beschleunigter Elektronen bestimmen.

  • die Arbeitsweise des Elektronenmikroskops erklären.

  • den Dualismus als allgemeine Eigenschaft der Natur einordnen.

Die Idee von de Broglie

Für gilt p=hλp = \frac{h}{\lambda}. De Broglie stellte diese Beziehung 1924 einfach um und behauptete, sie gelte für jedes Teilchen:

λ=hp=hmv\boxed{\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}}

Jedem Teilchen mit dem pp ist eine zugeordnet.

🔴 Das Bemerkenswerte an dieser Gleichung ist, dass sie eine Teilchengröße (pp) mit einer Wellengröße (λ\lambda) verknüpft, und zwar über die Naturkonstante hh.

De Broglie hatte dafür zunächst keinen experimentellen Beleg. Es war eine reine Symmetrieüberlegung: Wenn Wellen Teilcheneigenschaften zeigen, warum sollten Teilchen nicht Welleneigenschaften zeigen?

Warum man im Alltag nichts merkt

Das Plancksche ist winzig (h=6,6⋅10−34 Jsh = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\,\text{Js}). Für Alltagsobjekte wird λ\lambda deshalb unvorstellbar klein:

Objektmmvvλ\lambda
Fußball0,4 kg0{,}4\,\text{kg}30 ms30\,\frac{\text{m}}{\text{s}}5⋅10−35 m5 \cdot 10^{-35}\,\text{m}
Mensch beim Gehen70 kg70\,\text{kg}1,5 ms1{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}6⋅10−36 m6 \cdot 10^{-36}\,\text{m}
Staubkorn10−9 kg10^{-9}\,\text{kg}0,01 ms0{,}01\,\frac{\text{m}}{\text{s}}7⋅10−23 m7 \cdot 10^{-23}\,\text{m}
Elektron (100 eV100\,\text{eV})9,1⋅10−31 kg9{,}1 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}6⋅106 ms6 \cdot 10^{6}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}1,2⋅10−10 m1{,}2 \cdot 10^{-10}\,\text{m}

🔴 Zum Vergleich: Ein hat einen Durchmesser von etwa 10−15 m10^{-15}\,\text{m}. Die eines Fußballs ist also rund zwanzig Zehnerpotenzen kleiner als ein Atomkern.

wird aber nur an Strukturen sichtbar, die mit der Wellenlänge vergleichbar sind. Solche Strukturen gibt es nicht und wird es nie geben. Der Wellencharakter von Alltagsobjekten ist deshalb nicht nur unmerklich, sondern grundsätzlich unbeobachtbar.

Bei Elektronen ist es anders: Ihre Wellenlänge liegt im Bereich von Atomabständen in Kristallen (rund 10−10 m10^{-10}\,\text{m}). Ein Kristall wirkt für sie wie ein Beugungsgitter.

Jeder hat eine Wellenlänge, nur unmessbar kleinZehnerpotenz der Wellenlänge in Metern.10⁻³⁵10⁻³⁰10⁻²⁵10⁻²⁰10⁻¹⁵10⁻¹⁰MenschBallElektronMensch 60 kg bei 1 m/s · Ball 100 g bei 10 m/sElektron nach 100 V BeschleunigungsspannungAtomabstandλ = h / (m · v): große Masse, winzige Wellenlänge.Beugung braucht ein Hindernis in Wellengröße

Zwischen einem gehenden Menschen und einem beschleunigten Elektron liegen fünfundzwanzig Zehnerpotenzen, das lässt sich nicht maßstäblich zeichnen, deshalb die Zehnerpotenz-Achse. Entscheidend ist der Vergleich mit dem Atomabstand ganz rechts: Nur die Elektronenwellenlänge liegt in dieser Größenordnung. braucht ein Hindernis in der Größe der , und deshalb zeigt sich der Effekt am Kristallgitter und nie an einer Tür.

Die Wellenlänge beschleunigter Elektronen

Durchläuft ein Elektron die UU, so gilt eU=12mv2eU = \frac{1}{2}m v^2 und damit p=2meUp = \sqrt{2 m e U}:

λ=h2meU\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m e U}}

Praktische Näherungsformel:

λ≈1,23 nmU/V\lambda \approx \frac{1{,}23\,\text{nm}}{\sqrt{U/\text{V}}}
UUλ\lambda
100 V100\,\text{V}0,12 nm0{,}12\,\text{nm}
10 kV10\,\text{kV}0,012 nm0{,}012\,\text{nm}
100 kV100\,\text{kV}0,0039 nm0{,}0039\,\text{nm}

🔴 Beachte λ∼1U\lambda \sim \frac{1}{\sqrt{U}}: Höhere Spannung bedeutet kleinere und damit bessere Auflösung. Darauf beruht das Elektronenmikroskop.

Der experimentelle Nachweis

Davisson und Germer (1927). Sie streuten Elektronen an einem Nickelkristall und fanden ein Beugungsmuster mit Maxima genau dort, wo die Bragg-Bedingung sie für der de-Broglie-Wellenlänge vorhersagt. Der Versuch war ursprünglich gar nicht darauf angelegt; ein Laborunfall hatte den Kristall entstehen lassen.

G. P. Thomson (1927). Er schoss Elektronen durch dünne Metallfolien und erhielt konzentrische Ringe, genau wie bei Röntgenbeugung.

🔴 Eine bemerkenswerte Fußnote der Wissenschaftsgeschichte: J. J. Thomson erhielt 1906 den Nobelpreis dafür, dass das Elektron ein Teilchen ist. Sein Sohn G. P. Thomson erhielt ihn 1937 dafür, dass es eine Welle ist. Beide hatten recht.

Der mit Elektronen. Später gelang der Versuch auch als Doppelspaltexperiment. Schickt man Elektronen einzeln hindurch, so trifft jedes als Punkt auf dem Schirm auf (Teilchenverhalten), aber nach vielen tausend Elektronen setzen sich diese Punkte zum Interferenzmuster zusammen (Wellenverhalten).

Jedes einzelne Elektron „weiß" also, wo es landen darf und wo nicht, obwohl es allein unterwegs ist.

Auch größere Objekte. wurde inzwischen mit Neutronen, ganzen Atomen und sogar mit Molekülen aus über tausend Atomen nachgewiesen. Die Grenze liegt nicht bei einer bestimmten , sondern bei der technischen Machbarkeit.

Ringe, wie sie nur Wellen machenElektronenGraphitfolieRingeDer Ringdurchmesser ändert sich mit der Spannung.Genau so, wie λ = h / (m · v) es vorhersagt.Materie zeigt Welleneigenschaften

Ringe entstehen nur durch , und Beugung ist eine Welleneigenschaft, mit Teilchen im gewöhnlichen Sinn lässt sich dieses Bild nicht erklären. Prüfbar ist die Sache obendrein: Erhöht man die , werden die Elektronen schneller, die kleiner und die Ringe enger. Genau das beobachtet man.

Das Elektronenmikroskop

Die Auflösung eines Mikroskops ist durch die begrenzt. Ein Lichtmikroskop erreicht rund 200 nm200\,\text{nm}.

Elektronen bei 100 kV100\,\text{kV} haben λ≈0,004 nm\lambda \approx 0{,}004\,\text{nm}, also rund 50000-mal kleiner als sichtbares Licht. Damit lassen sich einzelne Atome abbilden.

Warum es dennoch nicht 50000-mal besser ist: Elektronenlinsen () sind erheblich fehlerbehafteter als Glaslinsen. Praktisch erreicht man rund 0,05 nm0{,}05\,\text{nm}, also etwa das Viertausendfache eines Lichtmikroskops. Das genügt, um Atome sichtbar zu machen.

Preis: Die Probe muss ins Vakuum, darf nicht lebendig sein und wird durch den Elektronenstrahl geschädigt.

Was daraus folgt

Der Welle-Teilchen-Dualismus ist keine Besonderheit des Lichts, sondern eine allgemeine Eigenschaft der Natur:

Jedes Objekt zeigt sowohl - als auch Teilcheneigenschaften. Bei großen ist der Wellencharakter unbeobachtbar klein.

Damit ist der scheinbare Gegensatz zwischen „Welle" und „Teilchen" aufgelöst: Beides sind Begriffe unserer Alltagserfahrung, die auf Quantenobjekte nur näherungsweise passen.

De-Broglie-Wellenlängen berechnen

a) Wie groß ist die eines Elektrons, das durch 150 V150\,\text{V} wurde?

b) Wie groß ist die eines Fußballs (m=0,4 kgm = 0{,}4\,\text{kg}, v=25 msv = 25\,\frac{\text{m}}{\text{s}})?

c) Warum lässt sich a) nachweisen und b) nicht?

d) Welche braucht man für λ=0,01 nm\lambda = 0{,}01\,\text{nm}?

  1. 1

    a) Mit der Näherungsformel:

    λ≈1,23 nm150=1,2312,25 nm≈0,100 nm=100 pm\lambda \approx \frac{1{,}23\,\text{nm}}{\sqrt{150}} = \frac{1{,}23}{12{,}25}\,\text{nm} \approx 0{,}100\,\text{nm} = 100\,\text{pm}

    Das ist genau die Größenordnung von Atomabständen in Kristallen (typisch 0,10{,}1 bis 0,5 nm0{,}5\,\text{nm}).

  2. 2

    b) p=mv=0,4 kg⋅25 ms=10 kg⋅msp = mv = 0{,}4\,\text{kg} \cdot 25\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 10\,\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}}

    λ=hp=6,626⋅10−34 Js10 kg⋅ms≈6,6⋅10−35 m\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{Js}}{10\,\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}}} \approx 6{,}6 \cdot 10^{-35}\,\text{m}
  3. 3

    c) Weil eine Struktur passender Größe braucht.

    Beugungserscheinungen werden erst sichtbar, wenn die Wellenlänge mit der Größe des Hindernisses oder der Öffnung vergleichbar ist.

    Beim Elektron (0,1 nm0{,}1\,\text{nm}): Die Atomabstände in einem Kristall liegen genau in diesem Bereich. Ein Kristall wirkt deshalb als natürliches Beugungsgitter, und man beobachtet ein klares Beugungsmuster.

    Beim Fußball (6,6⋅10−35 m6{,}6 \cdot 10^{-35}\,\text{m}): Zum Vergleich hat ein einen Durchmesser von rund 10−15 m10^{-15}\,\text{m}, ist also noch zwanzig Zehnerpotenzen größer.

    🔴 Es gibt keine Struktur dieser Größe im Universum und wird auch nie eine geben. Der Wellencharakter eines Fußballs ist also nicht nur schwer nachweisbar, sondern grundsätzlich unbeobachtbar.

    Das ist die Antwort auf die naheliegende Frage, warum wir im Alltag nichts von Quanteneffekten merken: nicht weil sie dort nicht gälten, sondern weil sie um Größenordnungen unterhalb jeder Beobachtbarkeit liegen.

  4. 4

    d) Näherungsformel nach UU umstellen:

    λ≈1,23 nmU/V⟹U/V=1,23 nmλ\lambda \approx \frac{1{,}23\,\text{nm}}{\sqrt{U/\text{V}}} \quad \Longrightarrow \quad \sqrt{U/\text{V}} = \frac{1{,}23\,\text{nm}}{\lambda} U/V=1,230,01=123⟹U=1232 V≈15 100 V≈15 kV\sqrt{U/\text{V}} = \frac{1{,}23}{0{,}01} = 123 \quad \Longrightarrow \quad U = 123^2\,\text{V} \approx 15\,100\,\text{V} \approx 15\,\text{kV}

    🔴 Beachte die quadratische Abhängigkeit: Um die Wellenlänge auf ein Zehntel zu verkleinern, braucht man die hundertfache Spannung. Das begrenzt die Auflösung von Elektronenmikroskopen praktisch.

    Zum Vergleich: Bei 100 kV100\,\text{kV} (üblich in Transmissionselektronenmikroskopen) beträgt λ≈0,0039 nm\lambda \approx 0{,}0039\,\text{nm}, also weniger als ein Hundertstel eines Atomdurchmessers.

    Die tatsächliche Auflösung liegt dennoch nur bei rund 0,05 nm0{,}05\,\text{nm}, weil magnetische Elektronenlinsen erheblich fehlerbehafteter sind als Glaslinsen. Nicht die Wellenlänge begrenzt hier, sondern die Optik.

    Ehrliche Ergänzung: Bei 100 kV100\,\text{kV} erreichen Elektronen bereits über die halbe Lichtgeschwindigkeit; streng genommen müsste man relativistisch rechnen. Die Näherungsformel liefert dann Werte, die rund fünf Prozent zu groß sind.

a) 0,100 nm0{,}100\,\text{nm} b) 6,6⋅10−35 m6{,}6 \cdot 10^{-35}\,\text{m} c) nur beim Elektron gibt es passende Strukturen (Kristall) d) rund 15 kV15\,\text{kV}.

Elektronen am Doppelspalt

Man schickt Elektronen einzeln durch einen , so dass sich nie mehr als eines gleichzeitig in der Apparatur befindet.

a) Was beobachtet man bei den ersten Elektronen?

b) Was nach vielen tausend Elektronen?

c) Warum ist das Ergebnis so bemerkenswert?

d) Was geschieht, wenn man misst, durch welchen Spalt das Elektron geht?

  1. 1

    a) Einzelne Punkte an scheinbar zufälligen Stellen.

    Jedes Elektron erzeugt genau einen Auftreffpunkt, nicht etwa ein verwaschenes Muster. Es kommt als Ganzes an, an einer Stelle, und wird dort nachgewiesen.

    Das ist eindeutiges Teilchenverhalten. Ein Elektron teilt sich nicht auf.

  2. 2

    b) Ein Interferenzmuster.

    Die Punkte häufen sich nach und nach an bestimmten Stellen und fehlen an anderen. Nach vielen tausend Elektronen zeigt sich das vertraute Streifenmuster mit Maxima und Minima, genau wie bei Licht.

    Die Lage der Streifen stimmt quantitativ mit der de-Broglie-Wellenlänge überein.

    Das ist eindeutiges Wellenverhalten.

  3. 3

    c) Weil sich zu jedem Zeitpunkt nur ein einziges Elektron in der Apparatur befindet.

    entsteht bei dadurch, dass sich zwei Teilwellen überlagern. Hier gibt es aber kein zweites Elektron, mit dem sich das erste überlagern könnte.

    Jedes Elektron muss also mit sich selbst interferieren, und dafür müsste es in gewissem Sinn durch beide Spalte zugleich gegangen sein.

    🔴 Zugleich kommt es als einzelner Punkt an, also unteilbar an einer Stelle. Beide Beobachtungen sind zweifelsfrei, und beide widersprechen einander im Rahmen unserer Alltagsbegriffe.

    Wichtig zur Einordnung: Man darf sich das Elektron nicht als kleine Kugel vorstellen, die sich teilt und wieder zusammensetzt. Auch nicht als Welle, die zufällig irgendwo „zusammenklappt". Beide Bilder sind Übertragungen aus der Alltagserfahrung und führen in die Irre.

    Was die Quantenmechanik liefert, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung: Sie sagt exakt voraus, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Elektron an einer bestimmten Stelle auftrifft. Für das einzelne Elektron gibt es keine Vorhersage, für viele eine sehr genaue.

  4. 4

    d) Das Interferenzmuster verschwindet.

    Baut man einen Detektor ein, der feststellt, durch welchen Spalt das Elektron gegangen ist, so erhält man eine eindeutige Antwort: immer durch genau einen.

    In demselben Moment verschwindet aber das Interferenzmuster. Auf dem Schirm erscheinen nur noch zwei Streifen, genau wie man es von Teilchen erwartet.

    🔴 Das ist die Komplementarität. Weginformation und Interferenz schließen einander aus. Man kann nicht beides zugleich haben, und zwar nicht wegen technischer Unzulänglichkeit, sondern grundsätzlich.

    Eine wichtige Klarstellung: Es liegt nicht daran, dass der Detektor das Elektron „anstößt" und stört. Man hat Versuche gebaut, bei denen die Weginformation praktisch störungsfrei gewonnen wird, und auch dort verschwindet die Interferenz. Entscheidend ist allein, ob die Information prinzipiell verfügbar ist.

    Noch bemerkenswerter: Löscht man die Weginformation nachträglich wieder aus (Quantenradierer), kehrt das Interferenzmuster zurück, obwohl das Elektron längst aufgetroffen ist.

    Was man daraus nicht folgern darf: Dass ein Bewusstsein oder ein Beobachter nötig sei. Ein automatischer Detektor genügt vollständig; niemand muss das Ergebnis ansehen. Entscheidend ist die physikalische Wechselwirkung, die die Information festlegt.

a) einzelne Punkte (Teilchen) b) ein Interferenzmuster (Welle) c) weil jedes Elektron mit sich selbst interferiert d) das Muster verschwindet, sobald der Weg bekannt ist.

Typischer Fehler

„Nur sehr kleine Teilchen wie Elektronen haben eine ; große Objekte haben keine."

Jedes Objekt hat eine de-Broglie-Wellenlänge, auch ein Fußball und ein Mensch. Sie ist nur unvorstellbar klein.

λ=hmv\lambda = \frac{h}{mv}

Die steht im Nenner. Bei großer Masse wird λ\lambda winzig, aber niemals null.

Objektλ\lambda
Elektron (100 eV100\,\text{eV})1,2⋅10−10 m1{,}2 \cdot 10^{-10}\,\text{m}
Staubkorn7⋅10−23 m7 \cdot 10^{-23}\,\text{m}
Fußball5⋅10−35 m5 \cdot 10^{-35}\,\text{m}

Warum man es nie beobachten wird: zeigt sich nur an Strukturen, die mit der Wellenlänge vergleichbar sind. Ein hat rund 10−15 m10^{-15}\,\text{m} Durchmesser, ist also noch zwanzig Zehnerpotenzen größer als die Wellenlänge eines Fußballs.

Es gibt im Universum keine Struktur dieser Größe. Der Wellencharakter großer Objekte ist deshalb nicht nur unmerklich, sondern grundsätzlich unbeobachtbar.

Warum die Unterscheidung dennoch wichtig ist: Es gibt keine Massengrenze, ab der die Quantenphysik aufhört zu gelten. Sie gilt immer; ihre Effekte werden nur mit wachsender Masse unbeobachtbar klein.

Der experimentelle Befund bestätigt das: wurde nachgewiesen mit

  • Elektronen (1927),
  • Neutronen,
  • ganzen Atomen,
  • Molekülen aus über tausend Atomen (Wien, seit 2019).

Es gibt keine prinzipielle Grenze, nur eine technische: Große Moleküle müssen extrem kalt und gut isoliert sein, weil schon eine Wechselwirkung mit einem Luftmolekül oder einem Wärmephoton die Interferenz zerstört (Dekohärenz).

Genau daraus folgt die richtige Antwort auf die Frage, warum die Alltagswelt klassisch aussieht: Nicht weil dort andere Gesetze gälten, sondern weil große Objekte ständig mit ihrer Umgebung wechselwirken und ihre Quanteneigenschaften dadurch sofort verlieren.

Merksatz: Es gibt keine Grenze zwischen Quantenwelt und Alltagswelt, nur einen fließenden Übergang durch Masse und Wechselwirkung.

Übung 1

leicht

a) Wie groß ist die eines Elektrons bei U=400 VU = 400\,\text{V}?

b) Wie groß ist die eines Protons mit p=5⋅10−22 kg⋅msp = 5 \cdot 10^{-22}\,\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}}?

c) Warum beobachtet man bei einem Fußball keine ?

Tipp anzeigen

a) Näherungsformel benutzen.

Lösung anzeigen

a) λ≈1,23 nm400=1,2320 nm≈0,0615 nm=61,5 pm\lambda \approx \frac{1{,}23\,\text{nm}}{\sqrt{400}} = \frac{1{,}23}{20}\,\text{nm} \approx 0{,}0615\,\text{nm} = 61{,}5\,\text{pm}

b) λ=hp=6,626⋅10−34 Js5⋅10−22 kg⋅ms≈1,33⋅10−12 m=1,33 pm\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{Js}}{5 \cdot 10^{-22}\,\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}}} \approx 1{,}33 \cdot 10^{-12}\,\text{m} = 1{,}33\,\text{pm}

c) Weil seine Wellenlänge rund 10−35 m10^{-35}\,\text{m} beträgt, also zwanzig Zehnerpotenzen kleiner als ein .

Beugung zeigt sich nur an Strukturen, die mit der Wellenlänge vergleichbar sind. Solche Strukturen gibt es nicht, der Effekt ist deshalb grundsätzlich unbeobachtbar.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei den Materiewellen

    a) gibt eine Beschleunigungsspannung von U=400 VU = 400\,\text{V}; gesucht ist die Elektronenwellenlänge. b) gibt einen Protonenimpuls von p=5⋅10−22 kg⋅msp = 5 \cdot 10^{-22}\,\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}}; gesucht ist dessen Wellenlänge. c) fragt nach dem Fußball.

  2. 2

    Die de-Broglie-Beziehung

    Jedem Teilchen mit Impuls pp ist die Wellenlänge λ=hp\lambda = \frac{h}{p} zugeordnet. Für Elektronen, die aus der Ruhe die Spannung UU durchlaufen, folgt daraus die praktische Form λ≈1,23 nmU/V\lambda \approx \frac{1{,}23\,\text{nm}}{\sqrt{U/\text{V}}}.

  3. 3

    a) und b) Wellenlänge von Elektron und Proton

    Für a) die Näherungsformel mit 400=20\sqrt{400} = 20, für b) die de-Broglie-Beziehung direkt.

    λe≈1,23 nm400=1,2320 nm≈0,0615 nm\lambda_e \approx \frac{1{,}23\,\text{nm}}{\sqrt{400}} = \frac{1{,}23}{20}\,\text{nm} \approx 0{,}0615\,\text{nm}; λp=6,626⋅10−34 Js5⋅10−22 kg⋅ms≈1,33⋅10−12 m\lambda_p = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{Js}}{5 \cdot 10^{-22}\,\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}}} \approx 1{,}33 \cdot 10^{-12}\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    λe≈61,5 pm\lambda_e \approx 61{,}5\,\text{pm}, λp≈1,33 pm\lambda_p \approx 1{,}33\,\text{pm}

  4. 4

    c) Ergebnis deuten: warum ein Fußball nicht gebeugt wird

    Weil seine Wellenlänge rund 10−35 m10^{-35}\,\text{m} beträgt, also zwanzig Zehnerpotenzen kleiner als ein Atomkern. Beugung zeigt sich nur an Strukturen, die mit der Wellenlänge vergleichbar sind, solche Strukturen gibt es nicht.

Übung 2

mittel

a) Wie ändert sich die , wenn man die Beschleunigungsspannung vervierfacht?

b) Warum benutzt man für Elektronenbeugung Kristalle und keine künstlichen Gitter?

c) Warum löst ein Elektronenmikroskop viel feiner auf als ein Lichtmikroskop?

d) Welche Nachteile hat ein Elektronenmikroskop?

Tipp anzeigen

a) λ∼1U\lambda \sim \frac{1}{\sqrt{U}}.

Lösung anzeigen

a) λ∼1U⟹λneu=λ4=λ2\lambda \sim \frac{1}{\sqrt{U}} \quad \Longrightarrow \quad \lambda_{\text{neu}} = \frac{\lambda}{\sqrt{4}} = \frac{\lambda}{2}

Die Wellenlänge halbiert sich, sie viertelt sich nicht. Um sie auf ein Zehntel zu bringen, bräuchte man die hundertfache .

b) Weil die Elektronenwellenlänge mit rund 0,1 nm0{,}1\,\text{nm} in der Größenordnung von Atomabständen liegt.

Ein Beugungsgitter braucht Strukturabstände, die mit der Wellenlänge vergleichbar sind. Feinste künstlich hergestellte Gitter erreichen Strichabstände von einigen hundert Nanometern, also rund tausendmal zu grob.

Ein Kristall dagegen besteht aus regelmäßig angeordneten Atomen mit Abständen von 0,10{,}1 bis 0,5 nm0{,}5\,\text{nm}. Er ist damit ein von der Natur geliefertes, perfekt regelmäßiges dreidimensionales Gitter genau der richtigen Feinheit.

🔴 Das Verfahren funktioniert auch umgekehrt: Kennt man die Wellenlänge, kann man aus dem Beugungsmuster die Kristallstruktur bestimmen. Genau so klärt man den Aufbau von Festkörpern, Proteinen und Viren auf, meist mit Röntgenstrahlung (Röntgenstrukturanalyse), teils mit Elektronen oder Neutronen.

Die Struktur der DNA wurde 1953 auf diese Weise gefunden.

c) Weil die Auflösung durch die Wellenlänge begrenzt ist und die Elektronenwellenlänge um Größenordnungen kleiner ist als die des Lichts.

Wellenlängetheoretische Grenze
Lichtmikroskop500 nm500\,\text{nm}rund 200 nm200\,\text{nm}
Elektronen bei 100 kV100\,\text{kV}0,004 nm0{,}004\,\text{nm}rund 0,002 nm0{,}002\,\text{nm}

Rechnerisch wäre das Elektronenmikroskop also rund 100 000100\,000-mal besser.

Praktisch erreicht man rund 0,05 nm0{,}05\,\text{nm}, also „nur" etwa das Viertausendfache. Der Grund ist, dass magnetische Elektronenlinsen erheblich fehlerbehafteter sind als Glaslinsen und man deshalb nur kleine Öffnungswinkel nutzen kann.

Das genügt aber, um einzelne Atome sichtbar zu machen, was mit Licht prinzipiell unmöglich ist.

d) Vier wesentliche Nachteile:

1. Vakuum nötig. Elektronen würden in Luft nach wenigen Zentimetern gestreut. Die Probe muss deshalb in ein Hochvakuum, was wasserhaltige und lebende Proben ausschließt.

2. Keine lebenden Objekte. Wegen des Vakuums und der Strahlenbelastung lassen sich keine lebenden Zellen beobachten. Man sieht immer nur einen fixierten Zustand.

3. Strahlenschädigung. Der Elektronenstrahl zerstört empfindliche Proben, besonders biologische. Bei der Kryo-Elektronenmikroskopie friert man die Probe deshalb schockartig ein und arbeitet mit sehr geringen Dosen (Nobelpreis für Chemie 2017).

4. Aufwändige Präparation. Proben müssen extrem dünn sein (unter 100 nm100\,\text{nm}) und werden meist mit Metall bedampft, was das Bild beeinflusst. Farben gibt es nicht; alle Farbdarstellungen sind nachträglich eingefärbt.

🔴 Deshalb ersetzt das Elektronenmikroskop das Lichtmikroskop nicht, sondern ergänzt es. Für lebende Zellen, für Beobachtungen über Zeit und für einfache Untersuchungen bleibt das Lichtmikroskop unentbehrlich.

Moderne Verfahren wie die STED-Mikroskopie umgehen inzwischen die Beugungsgrenze des Lichts und erreichen rund 20 nm20\,\text{nm} an lebenden Proben (Nobelpreis für Chemie 2014).

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht, eine Verhältnisfrage und drei Begründungen

    a) fragt, wie sich die Wellenlänge bei vervierfachter Beschleunigungsspannung ändert, gesucht ist ein Faktor, keine Zahl in Metern. b) bis d) fragen nach Kristallen als Gitter, nach der Auflösung und nach den Nachteilen des Elektronenmikroskops.

  2. 2

    Die Proportionalität zwischen Wellenlänge und Spannung

    Aus λ=h2meU\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meU}} folgt, dass alles außer UU konstant ist: λ∼1U\lambda \sim \frac{1}{\sqrt{U}}. Vervielfacht man UU mit einem Faktor kk, ändert sich λ\lambda um den Faktor 1k\frac{1}{\sqrt{k}}.

  3. 3

    a) Der Faktor bei vervierfachter Spannung

    Faktor k=4k = 4 einsetzen: 14=12\frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}.

    λneu=λ4=λ2\lambda_{\text{neu}} = \frac{\lambda}{\sqrt{4}} = \frac{\lambda}{2}

    Zwischenergebnis

    Faktor 12\frac{1}{2}, die Wellenlänge halbiert sich.

  4. 4

    b) und c) Kristalle als Gitter und die feinere Auflösung

    b) Weil die Elektronenwellenlänge mit rund 0,1 nm0{,}1\,\text{nm} in der Größenordnung von Atomabständen liegt, feinste künstliche Gitter erreichen nur einige hundert Nanometer, also rund tausendmal zu grob. Ein Kristall dagegen ist ein von der Natur geliefertes, perfekt regelmäßiges Gitter mit Abständen von 0,10{,}1 bis 0,5 nm0{,}5\,\text{nm}. c) Weil die Auflösung durch die Wellenlänge begrenzt ist und Elektronen um Größenordnungen kurzwelliger sind als Licht.

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: warum das Lichtmikroskop bleibt

    Vier Nachteile: 1. Hochvakuum nötig, weil Elektronen in Luft nach wenigen Zentimetern gestreut würden. 2. Deshalb keine lebenden Objekte. Man sieht immer nur einen fixierten Zustand. 3. Strahlenschädigung empfindlicher, besonders biologischer Proben. 4. Aufwändige Präparation: Proben unter 100 nm100\,\text{nm} dünn, meist metallbedampft, und ohne Farbe.

Übung 3

schwer

a) Wie kam de Broglie auf seine Hypothese, und warum war sie kühn?

b) Beschreibe den mit einzelnen Elektronen und erkläre, warum das Ergebnis unsere Alltagsbegriffe sprengt.

c) Warum verhält sich die Alltagswelt klassisch, obwohl die Quantenphysik überall gilt?

d) Leite λ=h2meU\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meU}} her.

Tipp anzeigen

d) Nutze eU=12mv2eU = \frac{1}{2}mv^2.

Lösung anzeigen

a) Der Gedankengang. Für war durch den Compton-Effekt gesichert:

p=hλp = \frac{h}{\lambda}

Licht, das man als kannte, zeigt also Teilcheneigenschaften.

De Broglie stellte 1924 die Symmetriefrage: Wenn Wellen Teilcheneigenschaften haben, warum sollten Teilchen nicht Welleneigenschaften haben? Er stellte die Gleichung einfach um:

λ=hp\lambda = \frac{h}{p}

und behauptete, sie gelte für jedes Teilchen.

Warum das kühn war:

Erstens gab es dafür keinerlei experimentellen Beleg. Es war eine reine Symmetrieüberlegung in einer Doktorarbeit.

Zweitens widersprach es aller Anschauung. Ein Elektron war das Musterbeispiel eines Teilchens; J. J. Thomson hatte 1906 den Nobelpreis dafür erhalten, es als solches nachgewiesen zu haben.

Drittens war die Behauptung sehr weitreichend: Sie sollte für alles gelten, auch für Fußbälle und Planeten.

Die Prüfer waren so unsicher, dass sie Einstein um ein Urteil baten. Der erkannte die Tragweite und schrieb, de Broglie habe „einen Zipfel des großen Schleiers gelüftet".

🔴 Drei Jahre später war die Vorhersage bestätigt (Davisson/Germer und G. P. Thomson, beide 1927), und 1929 erhielt de Broglie den Nobelpreis, ungewöhnlich früh und für eine Doktorarbeit.

b) Der Aufbau: Elektronen werden so schwach ausgesandt, dass sich immer nur eines in der Apparatur befindet, und treffen nach einem Doppelspalt auf einen ortsauflösenden Detektor.

Die Beobachtung in drei Stufen:

  1. Jedes einzelne Elektron erzeugt genau einen Punkt. Es kommt unteilbar an einer Stelle an. Das ist Teilchenverhalten.
  2. Die Punkte erscheinen an scheinbar zufälligen Stellen. Für das einzelne Elektron lässt sich der Ort nicht vorhersagen.
  3. Nach vielen tausend Elektronen ergibt sich ein klares Interferenzmuster, quantitativ passend zur de-Broglie-Wellenlänge. Das ist Wellenverhalten.

Warum das unsere Begriffe sprengt:

entsteht bei Wellen durch Überlagerung zweier Teilwellen. Hier gibt es aber kein zweites Elektron. Jedes Elektron muss also mit sich selbst interferieren, und dafür müsste es in irgendeinem Sinn beide Spalte zugleich benutzt haben.

Zugleich kommt es aber als einzelner Punkt an, ist also unteilbar.

Beide Aussagen sind experimentell zweifelsfrei, und im Rahmen unserer Alltagsbegriffe widersprechen sie einander. Ein Ball geht durch einen Spalt oder durch den anderen. Ein Elektron tut etwas, wofür wir kein Wort haben.

🔴 Was die Quantenmechanik stattdessen liefert: Sie beschreibt das Elektron durch eine Wellenfunktion, deren Betragsquadrat die Wahrscheinlichkeit angibt, es an einem bestimmten Ort zu finden. Für das einzelne Elektron gibt es keine Vorhersage, für viele eine sehr genaue.

Falsch wären beide anschaulichen Rettungsversuche: weder teilt sich das Elektron auf, noch ist es „in Wirklichkeit" durch einen bestimmten Spalt gegangen und wir wissen es nur nicht. Letzteres lässt sich sogar experimentell ausschließen.

c) Wegen der und wegen der Dekohärenz.

Erstens, die Wellenlänge. Nach λ=hmv\lambda = \frac{h}{mv} wird λ\lambda bei großer Masse verschwindend klein. Für einen Fußball ergibt sich 10−35 m10^{-35}\,\text{m}, zwanzig Zehnerpotenzen unter dem Durchmesser eines . Es gibt keine Struktur, an der sich das zeigen könnte.

Zweitens, und wichtiger: die Dekohärenz. Quanteneffekte wie Interferenz setzen voraus, dass das Objekt ungestört bleibt. Jede Wechselwirkung mit der Umgebung, schon ein einziges gestreutes Luftmolekül oder Wärmephoton, legt gewissermaßen fest, „wo" das Objekt ist, und zerstört die Interferenzfähigkeit.

Ein Alltagsgegenstand wechselwirkt in jeder Sekunde mit Milliarden von Teilchen. Seine Quanteneigenschaften verschwinden deshalb praktisch augenblicklich.

Der Beleg dafür: In Interferenzversuchen mit großen Molekülen muss man extrem hohes Vakuum und sehr tiefe herstellen. Lässt man Restgas zu oder erwärmt die Moleküle, verschwindet das Interferenzmuster allmählich, und zwar genau so, wie die Theorie es vorhersagt.

🔴 Die entscheidende Einsicht: Es gibt keine Grenze zwischen Quantenwelt und klassischer Welt und keine Masse, ab der andere Gesetze gälten. Es gibt einen fließenden Übergang, bestimmt durch Masse und Wechselwirkung mit der Umgebung.

Die klassische Physik ist damit kein eigenständiges Gebiet, sondern der Grenzfall der Quantenphysik für große, stark wechselwirkende Objekte.

d) Schritt 1: Energiesatz beim Beschleunigen. Ein Elektron, das aus der Ruhe die UU durchläuft, erhält die kinetische

eU=12mv2e U = \frac{1}{2}mv^2

Schritt 2: Nach der auflösen.

v=2eUmv = \sqrt{\frac{2eU}{m}}

Schritt 3: bilden.

p=mv=m2eUm=m2⋅2eUm=2meUp = mv = m\sqrt{\frac{2eU}{m}} = \sqrt{m^2 \cdot \frac{2eU}{m}} = \sqrt{2meU}

Schritt 4: In die de-Broglie-Beziehung einsetzen.

λ=hp=h2meU\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meU}}

Schritt 5: Zahlenwerte einsetzen (h=6,626⋅10−34 Jsh = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{Js}, m=9,11⋅10−31 kgm = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}, e=1,602⋅10−19 Ce = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}):

λ=6,626⋅10−342⋅9,11⋅10−31⋅1,602⋅10−19⋅U m≈1,23⋅10−9U/V m\lambda = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2 \cdot 9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19} \cdot U}}\,\text{m} \approx \frac{1{,}23 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{U/\text{V}}}\,\text{m}

also die praktische Form

λ≈1,23 nmU/V\lambda \approx \frac{1{,}23\,\text{nm}}{\sqrt{U/\text{V}}}

Was die Formel aussagt: Die Wellenlänge sinkt mit der Wurzel der Spannung. Vierfache Spannung bedeutet halbe Wellenlänge.

🔴 Gültigkeitsgrenze, ehrlich benannt: Die Herleitung benutzt die klassische Beziehung Ekin=12mv2E_{\text{kin}} = \frac{1}{2}mv^2, die nur für v≪cv \ll c gilt.

Bei 100 kV100\,\text{kV} erreichen Elektronen bereits rund 55 %55\,\% der Lichtgeschwindigkeit. Dort liefert die Näherungsformel Werte, die etwa fünf Prozent zu groß sind; man muss relativistisch rechnen.

Für Schulversuche mit einigen hundert bis wenigen tausend Volt ist die Formel dagegen sehr genau.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht, eine Ideengeschichte und eine Herleitung

    d) verlangt die Herleitung von λ=h2meU\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meU}}; der Tipp nennt den Ausgangspunkt eU=12mv2eU = \frac{1}{2}mv^2. a) bis c) fragen nach de Broglies Gedankengang, dem Elektronen-Doppelspalt und dem Übergang zur klassischen Welt.

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    d) Die Formel in vier Schritten herleiten

    1. Energiesatz: eU=12mv2eU = \frac{1}{2}mv^2. 2. Nach vv auflösen: v=2eUmv = \sqrt{\frac{2eU}{m}}. 3. Impuls bilden: p=mv=m2⋅2eUm=2meUp = mv = \sqrt{m^2 \cdot \frac{2eU}{m}} = \sqrt{2meU}. 4. In de Broglie einsetzen: λ=hp=h2meU\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meU}}.

  3. 3

    a) Warum de Broglies Hypothese kühn war

    Der Gedankengang: Für Photonen war durch den Compton-Effekt p=hλp = \frac{h}{\lambda} gesichert: Licht, das man als Welle kannte, zeigt Teilcheneigenschaften. De Broglie stellte 1924 die Symmetriefrage und kehrte die Gleichung um: λ=hp\lambda = \frac{h}{p}, gültig für jedes Teilchen.

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    b) Der Doppelspalt mit einzelnen Elektronen

    Drei Beobachtungsstufen: 1. Jedes einzelne Elektron erzeugt genau einen Punkt, kommt also unteilbar an: Teilchenverhalten. 2. Die Punkte erscheinen an zufälligen Stellen; für das einzelne Elektron ist der Ort nicht vorhersagbar. 3. Nach vielen tausend Elektronen ergibt sich ein klares Interferenzmuster, quantitativ passend zur de-Broglie-Wellenlänge: Wellenverhalten.

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    c) Ergebnis deuten: warum die Alltagswelt klassisch bleibt

    Erstens die Wellenlänge: Nach λ=hmv\lambda = \frac{h}{mv} wird sie bei großer Masse verschwindend klein. Zweitens, und wichtiger, die Dekohärenz: Interferenz setzt voraus, dass das Objekt ungestört bleibt, schon ein einziges gestreutes Luftmolekül legt fest, „wo" es ist, und zerstört die Interferenzfähigkeit.

Zusammenfassung

De Broglie übertrug 1924 die für gültige Beziehung zwischen und auf alle Teilchen und ordnete damit jedem Objekt eine Wellenlänge zu. Da das Plancksche Wirkungsquantum winzig ist, wird diese Wellenlänge bei Alltagsobjekten um zwanzig Zehnerpotenzen kleiner als ein und ist deshalb grundsätzlich unbeobachtbar, während sie bei Elektronen im Bereich der Atomabstände liegt. Deshalb wirken Kristalle für Elektronen als Beugungsgitter, was 1927 zum experimentellen Nachweis führte und heute die Grundlage des Elektronenmikroskops bildet. Schickt man Elektronen einzeln durch einen , so treffen sie als unteilbare Punkte auf, setzen sich aber nach vielen tausend Durchgängen zu einem Interferenzmuster zusammen, sodass jedes Elektron mit sich selbst interferiert. Der Welle-Teilchen-Dualismus ist damit keine Besonderheit des Lichts, sondern eine allgemeine Eigenschaft der Natur, deren Wirkungen bei großen nur unbeobachtbar klein werden.