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Atom- und Kernphysik

Massendefekt und Kernbindungsenergie

Warum ein Atomkern leichter ist als seine Bausteine und wieso daraus folgt, welche Kernreaktionen Energie liefern.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Wiegt man einen Heliumkern und vergleicht ihn mit der Summe seiner vier Bausteine, so fehlt etwas. Der zusammengesetzte Kern ist rund 0,7 %0{,}7\,\% leichter als seine Einzelteile.

Das klingt nach einem Messfehler, ist aber der Schlüssel zur gesamten Kernphysik. Die fehlende ist nicht verschwunden, sondern beim Zusammenbau als freigeworden.

Aus einer einzigen Kurve, die zeigt, wie stark Kerne verschiedener Größe gebunden sind, lässt sich ablesen, warum Kernkraftwerke funktionieren, warum die Sonne scheint und warum beides sich nicht mit demselben Brennstoff machen lässt.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • den Massendefekt berechnen.

  • ihn als Bindungsenergie deuten.

  • mit der atomaren Masseneinheit rechnen.

  • die Bindungsenergie je Nukleon bestimmen.

  • den Verlauf der Bindungsenergiekurve erklären.

  • daraus ableiten, welche Reaktionen liefern.

Der Massendefekt

Wiegt man einen und vergleicht ihn mit der Summe seiner Bausteine, findet man:

Δm=Z⋅mp+N⋅mn−mKern>0\boxed{\Delta m = Z \cdot m_p + N \cdot m_n - m_{\text{Kern}} > 0}

Der Kern ist also leichter als seine Teile. Diese Differenz heißt Massendefekt.

Beispiel Helium-4:

22 Protonen2⋅1,00728 u=2,01456 u2 \cdot 1{,}00728\,\text{u} = 2{,}01456\,\text{u}
22 Neutronen2⋅1,00866 u=2,01732 u2 \cdot 1{,}00866\,\text{u} = 2{,}01732\,\text{u}
Summe4,03188 u4{,}03188\,\text{u}
Heliumkern4,00151 u4{,}00151\,\text{u}
Massendefekt0,03037 u0{,}03037\,\text{u}

Das sind rund 0,75 %0{,}75\,\% der Gesamtmasse.

Der fertige Kern wiegt weniger als seine BausteineBeispiel Helium-4: 2 Protonen und 2 Neutronen.einzeln4,0319 uals Kern4,0015 uNur 0,75 % Unterschied, maßstäblich, deshalb kaum zu sehen.Derselbe Ausschnitt rund 70-fach gedehnt3,98 u4,04 uΔmΔm = 4,03188 u − 4,00151 u = 0,03037 uE = Δm · 931,5 MeV/u = 0,03037 u · 931,5 MeV/u = 28,3 MeVDie fehlende Masse ist die Bindungsenergie

Oben der ehrliche Maßstab: Man sieht den Unterschied fast nicht, und genau das ist die Aussage, es fehlen nur 0,75 % der . Unten derselbe Ausschnitt rund 70-fach gedehnt, damit Δm überhaupt messbar wird. Aus diesen 0,03 u werden 28,3 MeV; um den Kern wieder in seine Bausteine zu zerlegen, müsste man genau dieselbe aufwenden.

Die Deutung: Bindungsenergie

Nach der entspricht der Massendefekt einer :

EB=Δm⋅c2\boxed{E_B = \Delta m \cdot c^2}

Was physikalisch geschieht: Beim Zusammenfügen der Nukleonen wird Energie frei und verlässt das System. Da Energie hat, sinkt dabei die Masse.

Umgekehrt müsste man genau diese Bindungsenergie aufwenden, um den Kern wieder in seine Bausteine zu zerlegen.

🔴 Wichtig zur Einordnung: Dasselbe gilt für Moleküle. Ein Wassermolekül ist leichter als die Summe seiner Atome. Die chemische Bindungsenergie ist aber rund eine Million Mal kleiner, sodass der Massendefekt unmessbar bleibt.

Der Unterschied zwischen Chemie und Kernphysik ist damit kein grundsätzlicher, sondern einer der Größenordnung.

Die atomare Masseneinheit

Für Kernrechnungen benutzt man:

1 u=1,66054⋅10−27 kg=^931,5 MeVc21\,\text{u} = 1{,}66054 \cdot 10^{-27}\,\text{kg} \qquad \widehat{=} \qquad 931{,}5\,\frac{\text{MeV}}{c^2}

Der zweite Wert ist außerordentlich praktisch:

EB=Δm⋅931,5 MeVu\boxed{E_B = \Delta m \cdot 931{,}5\,\frac{\text{MeV}}{\text{u}}}

Man kann also unmittelbar aus dem Massendefekt in u die in MeV ablesen, ohne mit c2c^2 zu hantieren.

Für Helium-4:

EB=0,03037 u⋅931,5 MeVu≈28,3 MeVE_B = 0{,}03037\,\text{u} \cdot 931{,}5\,\frac{\text{MeV}}{\text{u}} \approx 28{,}3\,\text{MeV}

Bindungsenergie je Nukleon

Um Kerne verschiedener Größe zu vergleichen, teilt man durch die Nukleonenzahl:

EBA\frac{E_B}{A}

Für Helium-4: 28,3 MeV4≈7,1 MeVNukleon\frac{28{,}3\,\text{MeV}}{4} \approx 7{,}1\,\frac{\text{MeV}}{\text{Nukleon}}

🔴 Diese Größe ist das eigentliche Maß für die Stabilität eines Kerns. Je größer sie ist, desto fester sitzen die Nukleonen und desto stabiler ist der Kern.

Die Bindungsenergiekurve

Trägt man EBA\frac{E_B}{A} über der Massenzahl AA auf, ergibt sich eine charakteristische Kurve:

KernAAEBA\frac{E_B}{A}
2H^{2}\text{H}21,1 MeV1{,}1\,\text{MeV}
4He^{4}\text{He}47,1 MeV7{,}1\,\text{MeV}
16O^{16}\text{O}168,0 MeV8{,}0\,\text{MeV}
56Fe^{56}\text{Fe}568,8 MeV8{,}8\,\text{MeV}
138Ba^{138}\text{Ba}1388,4 MeV8{,}4\,\text{MeV}
235U^{235}\text{U}2357,6 MeV7{,}6\,\text{MeV}

Der Verlauf:

  • Von leichten Kernen steigt sie steil an.
  • Bei A≈56A \approx 56 (Eisen) liegt das Maximum mit rund 8,8 MeVNukleon8{,}8\,\frac{\text{MeV}}{\text{Nukleon}}.
  • Danach fällt sie langsam wieder ab.

Warum das so ist: Zwei Wirkungen überlagern sich.

  • Die starke Kernkraft wirkt nur zwischen Nachbarn. Bei kleinen Kernen liegen viele Nukleonen an der Oberfläche und haben deshalb weniger Nachbarn, was die Bindung schwächt. Mit wachsender Größe verschwindet dieser Nachteil, die Kurve steigt.
  • Die elektrische Abstoßung wirkt zwischen allen Protonen und wächst mit Z2Z^2, also schneller als die Nukleonenzahl. Bei großen Kernen überwiegt sie zunehmend, die Kurve fällt.

Eisen liegt genau im Optimum: groß genug, dass der Oberflächeneffekt gering ist, und noch nicht so groß, dass die Abstoßung dominiert.

Beide Wege führen bergauf zum selben GipfelBindungsenergie je Kernbaustein: höher = fester gebunden.050100150200250048A (Nukleonen)E/A in MeVH-2U-235FusionSpaltungFe-56: am festesten gebundenFusion geht nur links, Spaltung nur rechts vom Gipfel

Diese eine Kurve trägt das ganze Kapitel. Jeder Punkt ist ein echtes Nuklid mit seinem Tafelwert; He-4 ist eigens eingekreist, weil es auffällig fest sitzt. Daher gibt es den α-Zerfall und nicht den „Einzelnukleonen-Zerfall“. Beide Wege: von links durch Fusion, von rechts durch Spaltung, führen bergauf zum selben Gipfel bei Eisen. wird immer dann frei, wenn die Bausteine hinterher fester sitzen als vorher.

Was daraus folgt

🔴 Die zentrale Aussage der Kernphysik steckt in dieser Kurve:

wird frei, wenn sich die Bindungsenergie je Nukleon erhöht, wenn sich der Kern also dem Eisen annähert.

Daraus folgen unmittelbar zwei Wege:

  • bei leichten Kernen (links vom Maximum): Verschmelzen bewegt sie nach rechts, also nach oben.
  • bei schweren Kernen (rechts vom Maximum): Zerlegen bewegt sie nach links, also ebenfalls nach oben.

Eisen ist der Endpunkt. Aus Eisen lässt sich weder durch Spaltung noch durch Fusion Energie gewinnen. Deshalb sammelt sich in massereichen Sternen am Ende ihres Lebens ein Eisenkern an, und deshalb bricht der Stern dann zusammen: Die Energiequelle versiegt.

Die Größenordnungen:

VorgangEnergie je Reaktion
Chemische Bindungeinige eV\text{eV}
Kernspaltung (235U^{235}\text{U})rund 200 MeV200\,\text{MeV}
Kernfusion (D-T)17,6 MeV17{,}6\,\text{MeV}

Kernreaktionen liefern also rund eine Million Mal mehr Energie je Reaktion als chemische. Genau das erklärt die enorme Energiedichte von Kernbrennstoff und zugleich das Ausmaß der Entsorgungsprobleme.

Massendefekt und Bindungsenergie berechnen

Gegeben: mp=1,00728 um_p = 1{,}00728\,\text{u}, mn=1,00866 um_n = 1{,}00866\,\text{u}.

a) Berechne Massendefekt und Bindungsenergie von 612C^{12}_{6}\text{C} (m=11,99671 um = 11{,}99671\,\text{u}).

b) Wie groß ist die Bindungsenergie je Nukleon?

c) Vergleiche mit Helium-4 (7,1 MeVNukleon7{,}1\,\frac{\text{MeV}}{\text{Nukleon}}) und Eisen-56 (8,8 MeVNukleon8{,}8\,\frac{\text{MeV}}{\text{Nukleon}}).

d) Welche wäre nötig, um einen Kohlenstoffkern vollständig zu zerlegen?

  1. 1

    a) Kohlenstoff-12 besteht aus 66 Protonen und 66 Neutronen:

    Summe=6⋅1,00728+6⋅1,00866=6,04368+6,05196=12,09564 u\text{Summe} = 6 \cdot 1{,}00728 + 6 \cdot 1{,}00866 = 6{,}04368 + 6{,}05196 = 12{,}09564\,\text{u} Δm=12,09564−11,99671=0,09893 u\Delta m = 12{,}09564 - 11{,}99671 = 0{,}09893\,\text{u}

    Bindungsenergie:

    EB=0,09893 u⋅931,5 MeVu≈92,1 MeVE_B = 0{,}09893\,\text{u} \cdot 931{,}5\,\frac{\text{MeV}}{\text{u}} \approx 92{,}1\,\text{MeV}
  2. 2

    b) EBA=92,1 MeV12≈7,68 MeVNukleon\frac{E_B}{A} = \frac{92{,}1\,\text{MeV}}{12} \approx 7{,}68\,\frac{\text{MeV}}{\text{Nukleon}}

  3. 3

    c) Vergleich:

    KernEBA\frac{E_B}{A}
    Helium-47,1 MeV7{,}1\,\text{MeV}
    Kohlenstoff-127,68 MeV7{,}68\,\text{MeV}
    Eisen-568,8 MeV8{,}8\,\text{MeV}

    Kohlenstoff ist also fester gebunden als Helium, aber weniger fest als Eisen. Er liegt auf dem ansteigenden Ast der Kurve.

    🔴 Daraus folgt unmittelbar: Die Fusion von Helium zu Kohlenstoff liefert Energie, denn die Bindungsenergie je Nukleon steigt dabei von 7,17{,}1 auf 7,68 MeV7{,}68\,\text{MeV}.

    Genau das geschieht in massereichen Sternen, wenn der Wasserstoff verbraucht ist: Drei Heliumkerne verschmelzen zu einem Kohlenstoffkern (Drei-Alpha-Prozess). Ohne diesen Vorgang gäbe es keinen Kohlenstoff im Universum und damit kein Leben.

  4. 4

    d) Genau die Bindungsenergie, also 92,1 MeV92{,}1\,\text{MeV}.

    Begründung: Beim Zusammenfügen wurde diese Energie frei. Um den Vorgang umzukehren, muss man sie wieder aufwenden. Das ist der Energiesatz.

    Zur Einordnung: 92 MeV92\,\text{MeV} sind rund 1,5⋅10−11 J1{,}5 \cdot 10^{-11}\,\text{J}. Verglichen mit chemischen Bindungen (einige eV) ist das etwa zehn Millionen Mal mehr.

    🔴 Deshalb kann keine chemische Reaktion einen Kern zerlegen. Alle chemischen Vorgänge arbeiten mit Energien im Elektronenvoltbereich; das ist um sieben Zehnerpotenzen zu wenig.

    Genau daraus folgt, was in einem früheren Kapitel schon behauptet wurde: Zerfall lässt sich nicht durch Erhitzen oder chemische Behandlung beeinflussen. Hier ist die quantitative Begründung dafür.

    Und umgekehrt: Deshalb ist ein Gramm Kernbrennstoff so energiereich wie mehrere Tonnen Kohle.

a) Δm=0,09893 u\Delta m = 0{,}09893\,\text{u}, EB≈92,1 MeVE_B \approx 92{,}1\,\text{MeV} b) 7,68 MeVNukleon7{,}68\,\frac{\text{MeV}}{\text{Nukleon}} c) fester als Helium, lockerer als Eisen d) 92,1 MeV92{,}1\,\text{MeV}.

Was die Bindungsenergiekurve verrät

Erkläre den Verlauf der Kurve der Bindungsenergie je Nukleon und leite daraus ab, warum sowohl als auch liefern können, obwohl es entgegengesetzte Vorgänge sind.

  1. 1

    Warum die Kurve links steil ansteigt.

    Die starke Kernkraft wirkt nur über sehr kurze Entfernungen, praktisch nur zwischen unmittelbaren Nachbarn.

    Bei einem sehr kleinen Kern liegt fast jedes Nukleon an der Oberfläche und hat deshalb weniger Nachbarn als eines im Inneren. Die Bindung je Nukleon ist entsprechend schwach.

    Mit wachsender Kerngröße sinkt der Anteil der Oberflächennukleonen, immer mehr Nukleonen sind vollständig von Nachbarn umgeben, und die Bindung je Nukleon steigt.

    Anschaulich: Wie bei einem Wassertropfen. Ein winziger Tropfen hat verhältnismäßig viel Oberfläche, ein großer wenig.

  2. 2

    Warum sie rechts wieder abfällt.

    Die elektrische Abstoßung wirkt zwischen allen Protonenpaaren und reicht durch den ganzen Kern. Ihre Gesamtwirkung wächst deshalb etwa mit Z2Z^2, also schneller als die Nukleonenzahl.

    Die anziehende Kernkraft wächst dagegen nur ungefähr proportional zur Nukleonenzahl, weil jedes Nukleon nur seine Nachbarn spürt.

    Mit wachsender Kerngröße holt die Abstoßung deshalb auf und schwächt die Bindung je Nukleon zunehmend.

  3. 3

    Warum das Maximum bei Eisen liegt.

    Bei A≈56A \approx 56 halten sich die beiden Wirkungen die Waage:

    • Der Kern ist groß genug, dass der Oberflächennachteil gering ist.
    • Er ist noch klein genug, dass die Abstoßung nicht dominiert.
    (EBA)max⁡≈8,8 MeVNukleonbei56Fe\left(\frac{E_B}{A}\right)_{\max} \approx 8{,}8\,\frac{\text{MeV}}{\text{Nukleon}} \quad \text{bei} \quad ^{56}\text{Fe}

    🔴 Eisen ist damit der stabilste Kern. Aus ihm lässt sich weder durch Spaltung noch durch Fusion Energie gewinnen.

  4. 4

    Die entscheidende Regel.

    Energie wird frei, wenn die Bindungsenergie je Nukleon zunimmt.

    Denn dann sind die Nukleonen nachher fester gebunden, es wurde also Bindungsenergie abgegeben.

    Da die Kurve ein Maximum hat, führen von beiden Seiten Wege nach oben:

    Links vom Maximum (leichte Kerne): Verschmelzen bewegt nach rechts, also hinauf. Das ist die Fusion.

    Beispiel: 2 H+3 H→ 4He+n2\,\text{H} + 3\,\text{H} \to \,^4\text{He} + n; von rund 1,11{,}1 auf 7,1 MeVNukleon7{,}1\,\frac{\text{MeV}}{\text{Nukleon}}, ein sehr großer Gewinn.

    Rechts vom Maximum (schwere Kerne): Zerlegen bewegt nach links, also ebenfalls hinauf. Das ist die Spaltung.

    Beispiel: 235U^{235}\text{U} (rund 7,6 MeV7{,}6\,\text{MeV}) zerfällt in zwei mittelschwere Kerne (rund 8,4 MeV8{,}4\,\text{MeV}). Der Gewinn beträgt rund 0,8 MeV0{,}8\,\text{MeV} je Nukleon, bei 235235 Nukleonen also rund 190 MeV190\,\text{MeV}.

    Damit ist der scheinbare Widerspruch aufgelöst: Spaltung und Fusion sind entgegengesetzte Vorgänge, führen aber beide auf das Maximum zu. Entscheidend ist nicht die Richtung des Vorgangs, sondern die Lage auf der Kurve.

  5. 5

    Zwei weitreichende Folgerungen.

    1. Warum die Fusion mehr liefert. Der Anstieg links vom Maximum ist viel steiler als der Abfall rechts. Deshalb liefert die Fusion je Nukleon deutlich mehr Energie als die Spaltung, rund 3,5 MeV3{,}5\,\text{MeV} gegenüber 0,8 MeV0{,}8\,\text{MeV}.

    Je Kilogramm Brennstoff ist die Fusion damit etwa viermal ergiebiger, und der Brennstoff (Wasserstoff) ist praktisch unbegrenzt vorhanden.

    2. Warum massereiche Sterne kollabieren. Ein Stern erzeugt seine Energie durch Fusion und arbeitet sich dabei die Kurve hinauf: Wasserstoff zu Helium, Helium zu Kohlenstoff, weiter zu Sauerstoff, Silizium und schließlich Eisen.

    Bei Eisen ist das Maximum erreicht. Jede weitere Fusion würde Energie kosten statt liefern. Die Energiequelle versiegt, der Strahlungsdruck bricht weg, und der Kern stürzt in Sekundenbruchteilen zusammen: eine Supernova.

    🔴 Daraus folgt etwas Bemerkenswertes: Alle Elemente schwerer als Eisen können nicht durch normale Sternfusion entstanden sein, weil sie Energie kosten. Sie bilden sich in Supernovae und bei der Verschmelzung von Neutronensternen.

    Das Gold in einem Ring und das Uran in einem Reaktor stammen also aus solchen Ereignissen, lange bevor sich die Erde bildete. Eine einzige Kurve erklärt damit sowohl die Energieversorgung der Sterne als auch die Herkunft der Elemente.

Der Anstieg links folgt aus dem schwindenden Oberflächenanteil, der Abfall rechts aus der mit Z2Z^2 wachsenden Abstoßung. Da beide Äste zum Maximum bei Eisen führen, liefern Fusion leichter und Spaltung schwerer Kerne Energie.

Typischer Fehler

„Der Massendefekt bedeutet, dass beim Zusammenbau des Kerns Materie verschwindet."

Es verschwindet nichts. Die Zahl der Nukleonen bleibt genau gleich; nur die Gesamtmasse ist kleiner als die Summe der Einzelmassen.

Was tatsächlich passiert: Beim Zusammenfügen wird Bindungsenergie frei und verlässt das System, meist als Strahlung. Da hat (E=mc2E = mc^2), sinkt dabei die Masse des Systems.

Die „fehlende" Masse ist also mit der Energie fortgegangen, nicht vernichtet worden.

Die Bilanz stimmt exakt: Fängt man die abgestrahlte Energie in einem geschlossenen Kasten auf, so bleibt die Gesamtmasse des Kastens unverändert. Nur weil man die Strahlung entweichen lässt, wirkt es so, als sei Masse verschwunden.

Ein Alltagsvergleich: Auch ein aufgeladener Akku ist schwerer als ein leerer, und beim Entladen wird er leichter. Niemand würde sagen, dabei verschwinde Materie; es fließt Energie ab, und mit ihr die zugehörige Masse. Beim Kern ist es dasselbe, nur millionenfach ausgeprägter.

Warum das Missverständnis so nahe liegt: Die Formulierung „Masse wird in Energie umgewandelt" ist verbreitet. Sie legt nahe, dass zwei verschiedene Dinge ineinander übergehen. Tatsächlich sind Masse und Energie dieselbe Größe in verschiedenen Einheiten.

Die Probe aufs Exempel: Zählt man die Nukleonen vor und nach jeder Kernreaktion, kommt immer dieselbe Zahl heraus. Genau das prüft man in Kernreaktionsgleichungen, indem man die Massenzahlen oben addiert. Es geht kein Nukleon verloren.

Die richtige Formulierung: Der Massendefekt ist die Masse der beim Zusammenbau abgegebenen Bindungsenergie. Nukleonen verschwinden nicht; sie werden nur fester gebunden.

Übung 1

leicht

a) Was versteht man unter dem Massendefekt?

b) Ein Kern hat Δm=0,05 u\Delta m = 0{,}05\,\text{u}. Wie groß ist seine Bindungsenergie?

c) Bei welcher Massenzahl liegt das Maximum der Bindungsenergie je Nukleon?

Tipp anzeigen

b) 1 u =^ 931,5 MeV1\,\text{u} \,\widehat{=}\, 931{,}5\,\text{MeV}.

Lösung anzeigen

a) Die Differenz zwischen der Summe der aller Kernbausteine und der tatsächlichen Masse des Kerns. Der Kern ist leichter als seine Teile.

Δm=Zmp+Nmn−mKern\Delta m = Z m_p + N m_n - m_{\text{Kern}}

Die fehlende Masse entspricht der beim Zusammenbau frei gewordenen Bindungsenergie.

b) EB=0,05 u⋅931,5 MeVu≈46,6 MeVE_B = 0{,}05\,\text{u} \cdot 931{,}5\,\frac{\text{MeV}}{\text{u}} \approx 46{,}6\,\text{MeV}

c) Bei A≈56A \approx 56, also bei Eisen, mit rund 8,8 MeVNukleon8{,}8\,\frac{\text{MeV}}{\text{Nukleon}}. Eisen ist damit der stabilste Kern.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht beim Massendefekt

    b) gibt einen Massendefekt von Δm=0,05 u\Delta m = 0{,}05\,\text{u}; gesucht ist die Bindungsenergie. a) fragt nach der Bedeutung des Massendefekts, c) nach der Lage des Maximums der Bindungsenergie je Nukleon.

  2. 2

    Massendefekt und Bindungsenergie

    Der Massendefekt ist Δm=Zmp+Nmn−mKern\Delta m = Z m_p + N m_n - m_{\text{Kern}}, also die Differenz zwischen der Summe der Bausteinmassen und der tatsächlichen Kernmasse. Über E=mc2E = mc^2 entspricht ihm die Bindungsenergie EB=Δm⋅c2E_B = \Delta m \cdot c^2, praktisch gerechnet mit 1 u =^ 931,5 MeV1\,\text{u} \,\widehat{=}\, 931{,}5\,\text{MeV}.

  3. 3

    b) Die Bindungsenergie aus dem Massendefekt

    Der Massendefekt wird mit dem Umrechnungsfaktor multipliziert, die Einheit u\text{u} kürzt sich dabei weg, übrig bleibt eine Energie in MeV\text{MeV}.

    EB=0,05 u⋅931,5 MeVu≈46,6 MeVE_B = 0{,}05\,\text{u} \cdot 931{,}5\,\frac{\text{MeV}}{\text{u}} \approx 46{,}6\,\text{MeV}

    Zwischenergebnis

    EB≈46,6 MeVE_B \approx 46{,}6\,\text{MeV}

  4. 4

    a) und c) Ergebnis deuten: der leichtere Kern und das Maximum bei Eisen

    a) Der Massendefekt ist die Differenz zwischen der Summe der Bausteinmassen und der tatsächlichen Kernmasse, der Kern ist leichter als seine Teile, und die fehlende Masse entspricht der beim Zusammenbau frei gewordenen Bindungsenergie. c) Das Maximum der Bindungsenergie je Nukleon liegt bei A≈56A \approx 56, also bei Eisen, mit rund 8,8 MeVNukleon8{,}8\,\frac{\text{MeV}}{\text{Nukleon}}.

Übung 2

mittel

a) Berechne Massendefekt und Bindungsenergie je Nukleon für 2656Fe^{56}_{26}\text{Fe} (m=55,92068 um = 55{,}92068\,\text{u}).

b) Warum steigt die Kurve links und fällt rechts?

c) Warum liefern Spaltung und Fusion beide , obwohl sie entgegengesetzt sind?

d) Warum kann keine chemische Reaktion einen Kern verändern?

Tipp anzeigen

a) 2626 Protonen, 3030 Neutronen.

Lösung anzeigen

a) Summe der Bausteine:

26⋅1,00728+30⋅1,00866=26,18928+30,25980=56,44908 u26 \cdot 1{,}00728 + 30 \cdot 1{,}00866 = 26{,}18928 + 30{,}25980 = 56{,}44908\,\text{u}

Massendefekt:

Δm=56,44908−55,92068=0,52840 u\Delta m = 56{,}44908 - 55{,}92068 = 0{,}52840\,\text{u}

Bindungsenergie:

EB=0,52840⋅931,5 MeV≈492,2 MeVE_B = 0{,}52840 \cdot 931{,}5\,\text{MeV} \approx 492{,}2\,\text{MeV}

Je Nukleon:

EBA=492,256≈8,79 MeVNukleon\frac{E_B}{A} = \frac{492{,}2}{56} \approx 8{,}79\,\frac{\text{MeV}}{\text{Nukleon}}

Das bestätigt den Tabellenwert von rund 8,8 MeV8{,}8\,\text{MeV} und damit, dass Eisen im Maximum liegt.

b) Links (leichte Kerne) steigt sie, weil die starke Kernkraft nur zwischen Nachbarn wirkt. Bei sehr kleinen Kernen sitzt fast jedes Nukleon an der Oberfläche und hat wenige Nachbarn. Mit wachsender Größe sinkt dieser Anteil, jedes Nukleon bekommt mehr Bindungspartner, und die Bindung je Nukleon nimmt zu.

Rechts (schwere Kerne) fällt sie, weil die elektrische Abstoßung zwischen allen Protonenpaaren wirkt und mit Z2Z^2 wächst, also schneller als die Nukleonenzahl. Die anziehende Kernkraft wächst dagegen nur proportional zur Nukleonenzahl. Die Abstoßung holt auf und schwächt die Bindung.

Im Maximum bei Eisen halten sich beide Wirkungen die Waage.

c) Weil die Kurve ein Maximum hat und beide Vorgänge auf dieses Maximum zuführen.

Energie wird frei  ⟺  EBA nimmt zu\text{Energie wird frei} \iff \frac{E_B}{A} \text{ nimmt zu}

Fusion (links vom Maximum): Leichte Kerne verschmelzen zu einem schwereren, rücken also auf der Kurve nach rechts und damit hinauf.

Spaltung (rechts vom Maximum): Ein schwerer Kern zerfällt in mittelschwere, die Bruchstücke rücken nach links und damit ebenfalls hinauf.

🔴 Entscheidend ist also nicht die Richtung des Vorgangs, sondern die Lage auf der Kurve. Bei Eisen selbst funktioniert keines von beidem.

Und der Anstieg links ist steiler als der Abfall rechts, weshalb die Fusion je Nukleon rund viermal mehr Energie liefert als die Spaltung.

d) Weil die Energien um rund sieben Zehnerpotenzen auseinanderliegen.

Vorgangtypische Energie
chemische Bindungeinige eV\text{eV}
Kernbindung je Nukleonrund 8 MeV8\,\text{MeV}

Ein Kohlenstoffkern zusammenzuhalten kostet insgesamt 92 MeV92\,\text{MeV}; eine chemische Bindung liegt bei etwa 5 eV5\,\text{eV}. Das Verhältnis beträgt fast 10710^{7}.

Eine chemische Reaktion kann einen Kern deshalb so wenig beeinflussen wie ein Windhauch ein Gebäude.

🔴 Daraus folgen mehrere bereits bekannte Aussagen quantitativ:

  • Zerfall lässt sich nicht durch Erhitzen, oder Chemie beeinflussen. Deshalb ist radioaktiver Abfall nicht neutralisierbar.
  • Die chemische Verbindung ist gleichgültig: Uranmetall, Uranoxid und Uransalz zerfallen mit exakt derselben .
  • sind chemisch nicht trennbar, denn die Chemie kennt nur die Elektronenhülle.
  • Umgekehrt liefert ein Gramm Kernbrennstoff so viel Energie wie mehrere Tonnen Kohle.

Der Unterschied zwischen Chemie und Kernphysik ist damit kein grundsätzlicher, sondern einer der Größenordnung, und genau diese Größenordnung erklärt fast alle Besonderheiten der Kerntechnik.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht beim Eisenkern

    a) gibt den Eisenkern 2656Fe^{56}_{26}\text{Fe} mit der 55,92068 u55{,}92068\,\text{u}; gesucht sind Massendefekt und Bindungsenergie je Nukleon. b) bis d) fragen nach dem Kurvenverlauf, nach Spaltung und Fusion und nach chemischen Reaktionen.

  2. 2

    Die Bindungsenergie je Nukleon

    Massendefekt Δm=Zmp+Nmn−mKern\Delta m = Z m_p + N m_n - m_{\text{Kern}}, Bindungsenergie EB=Δm⋅931,5 MeVuE_B = \Delta m \cdot 931{,}5\,\frac{\text{MeV}}{\text{u}}, und die Vergleichsgröße ist EBA\frac{E_B}{A}, die Bindungsenergie je Nukleon.

  3. 3

    a) Massendefekt und Bindungsenergie je Nukleon für Eisen

    Bausteinmassen summieren, Kernmasse abziehen, umrechnen, durch 5656 teilen.

    26⋅1,00728+30⋅1,00866=56,44908 u26 \cdot 1{,}00728 + 30 \cdot 1{,}00866 = 56{,}44908\,\text{u}; Δm=56,44908−55,92068=0,52840 u\Delta m = 56{,}44908 - 55{,}92068 = 0{,}52840\,\text{u}; EB=0,52840⋅931,5 MeV≈492,2 MeVE_B = 0{,}52840 \cdot 931{,}5\,\text{MeV} \approx 492{,}2\,\text{MeV}; EBA=492,256≈8,79 MeVNukleon\frac{E_B}{A} = \frac{492{,}2}{56} \approx 8{,}79\,\frac{\text{MeV}}{\text{Nukleon}}

    Zwischenergebnis

    Δm=0,52840 u\Delta m = 0{,}52840\,\text{u}, EBA≈8,79 MeVNukleon\frac{E_B}{A} \approx 8{,}79\,\frac{\text{MeV}}{\text{Nukleon}}

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    b) und c) Der Kurvenverlauf und warum beide Wege Energie liefern

    b) Links steigt die Kurve, weil die starke Kernkraft nur zwischen Nachbarn wirkt, bei kleinen Kernen sitzt fast jedes Nukleon an der Oberfläche. Rechts fällt sie, weil die elektrische Abstoßung mit Z2Z^2 wächst, die Kernkraft aber nur proportional zur Nukleonenzahl. c) Energie wird frei, wenn EBA\frac{E_B}{A} zunimmt, und beide Vorgänge führen auf das Maximum zu.

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    d) Ergebnis deuten: warum Chemie den Kern nicht erreicht

    Weil die Energien um rund sieben Zehnerpotenzen auseinanderliegen: chemische Bindung einige eV\text{eV}, Kernbindung je Nukleon rund 8 MeV8\,\text{MeV}. Einen Kohlenstoffkern zusammenzuhalten kostet insgesamt 92 MeV92\,\text{MeV}, eine chemische Bindung etwa 5 eV5\,\text{eV}.

Übung 3

schwer

a) Begründe, warum der Kern leichter ist als seine Bausteine, ohne dass Materie verschwindet.

b) Warum vergleicht man EBA\frac{E_B}{A} und nicht EBE_B?

c) Warum kollabieren massereiche Sterne, sobald sich Eisen im Kern angesammelt hat?

d) Woher stammen die Elemente schwerer als Eisen?

Tipp anzeigen

b) Vergleiche Uran und Eisen.

Lösung anzeigen

a) Die Nukleonenzahl bleibt unverändert. Was sich ändert, ist die des Systems.

Beim Zusammenfügen der Nukleonen wird Bindungsenergie frei und verlässt das System, meist als Strahlung. Da Energie besitzt (E=mc2E = mc^2), sinkt dabei die Masse des Systems um

Δm=EBc2\Delta m = \frac{E_B}{c^2}

Die Bilanz stimmt exakt. Fängt man die abgestrahlte Energie in einem abgeschlossenen Kasten auf, bleibt dessen Gesamtmasse unverändert. Nur weil man die Strahlung entweichen lässt, scheint Masse zu fehlen.

Ein Alltagsvergleich: Ein entladener Akku ist leichter als ein geladener. Niemand würde behaupten, dabei verschwinde Materie; es fließt Energie ab, und mit ihr die zugehörige Masse. Beim Kern ist es derselbe Vorgang, nur millionenfach ausgeprägter und deshalb messbar.

Kontrolle in Reaktionsgleichungen: Die Summe der Massenzahlen ist vor und nach jeder Kernreaktion gleich. Es geht kein Nukleon verloren.

b) Weil EBE_B allein nichts über die Stabilität aussagt, sondern nur über die Größe des Kerns.

Zahlenbeispiel:

KernEBE_BEBA\frac{E_B}{A}
56Fe^{56}\text{Fe}492 MeV492\,\text{MeV}8,79 MeV8{,}79\,\text{MeV}
235U^{235}\text{U}1784 MeV1784\,\text{MeV}7,59 MeV7{,}59\,\text{MeV}

Uran hat also die größere Gesamtbindungsenergie, ist aber weniger stabil als Eisen. Es hat nur mehr Nukleonen, von denen jedes einzelne schwächer gebunden ist.

🔴 EBA\frac{E_B}{A} ist die aussagekräftige Größe, weil sie angibt, wie fest ein einzelnes Nukleon sitzt. Nur so lassen sich Kerne verschiedener Größe vergleichen.

Genau darauf beruht die Regel „Energie wird frei, wenn EBA\frac{E_B}{A} steigt". Mit EBE_B allein könnte man sie nicht formulieren: Bei der Spaltung von Uran sinkt die Gesamtbindungsenergie der einzelnen Bruchstücke gegenüber dem Uran, und trotzdem wird Energie frei.

Vergleichbares Muster: Auch beim Vergleich von Motoren nimmt man den Verbrauch je hundert Kilometer und nicht den Gesamtverbrauch einer Fahrt.

c) Weil bei Eisen die Energiequelle versiegt.

Ein Stern hält sich gegen die eigene durch den Strahlungsdruck aufrecht, den die Fusion in seinem Inneren erzeugt. Solange fusioniert wird, herrscht Gleichgewicht.

Im Laufe seines Lebens arbeitet sich ein massereicher Stern die Bindungsenergiekurve hinauf:

H→He→C→O→Ne→Si→Fe\text{H} \to \text{He} \to \text{C} \to \text{O} \to \text{Ne} \to \text{Si} \to \text{Fe}

Jede Stufe liefert Energie, aber immer weniger, und jede dauert kürzer als die vorige. Die Siliziumbrennphase dauert bei einem sehr massereichen Stern nur noch Tage.

Bei Eisen ist das Maximum erreicht. Jede weitere Fusion würde Energie kosten statt liefern, denn danach fällt die Kurve.

Die Folge: Der Strahlungsdruck bricht weg, und der Kern stürzt in Sekundenbruchteilen zusammen. Die einfallenden äußeren Schichten prallen zurück, und der Stern explodiert als Supernova.

🔴 Bemerkenswert an dieser Erklärung ist, dass eine einzige Kurve aus der Kernphysik das Ende eines Sterns vorhersagt. Der Zusammenbruch ist kein Zufall, sondern die zwangsläufige Folge davon, dass die Bindungsenergiekurve ein Maximum hat.

Zurück bleibt je nach Masse ein Neutronenstern oder ein Schwarzes Loch.

d) In Supernovae und bei Verschmelzungen von Neutronensternen.

Warum nicht im normalen Sternenleben: Die Fusion zu Elementen schwerer als Eisen kostet Energie, weil die Bindungsenergiekurve dort abfällt. Ein Stern, der so etwas täte, würde sich selbst abkühlen. Es geschieht deshalb nicht spontan.

Wo die nötige Energie herkommt: Bei einer Supernova wird in Sekunden eine gewaltige Energiemenge frei und ein enormer Neutronenfluss erzeugt. Unter diesen extremen Bedingungen können Kerne rasch mehrere Neutronen einfangen und durch anschließende Betazerfälle zu schwereren Elementen werden (r-Prozess).

Neutronensternverschmelzungen liefern noch günstigere Bedingungen. 2017 beobachtete man erstmals eine solche Verschmelzung gleichzeitig über Gravitationswellen und Licht und wies dabei die Entstehung schwerer Elemente direkt nach. Das gilt als eine der wichtigsten astronomischen Beobachtungen des Jahrhunderts.

🔴 Was daraus folgt, ist bemerkenswert konkret:

  • Das Gold in einem Ring entstand in einer Supernova oder bei einer Neutronensternverschmelzung.
  • Das Uran in einem Reaktor ebenso.
  • Das Eisen im menschlichen Blut stammt aus dem Inneren früherer Sterne.

Alle Atome außer Wasserstoff und Helium wurden in Sternen erzeugt und bei deren Ende ins All geschleudert. Aus diesem angereicherten Material bildeten sich später neue Sterne, Planeten und schließlich wir.

Carl Sagans Formulierung, wir bestünden aus Sternenstaub, ist damit keine Metapher, sondern eine physikalisch genaue Aussage, und die Bindungsenergiekurve ist der Grund dafür.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

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    Gegeben und Gesucht, vier Begründungen von Kern bis Kosmos

    Diese Aufgabe rechnet nicht mit Zahlen: Sie fragt, wohin die Masse geht, warum man EBA\frac{E_B}{A} vergleicht statt EBE_B, warum massereiche Sterne bei Eisen kollabieren und woher die Elemente jenseits von Eisen stammen.

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    a) Warum keine Materie verschwindet

    Die Nukleonenzahl bleibt unverändert, was sich ändert, ist die Energie des Systems. Beim Zusammenfügen wird Bindungsenergie frei und verlässt das System, meist als Strahlung; da Energie Masse besitzt, sinkt die Masse um Δm=EBc2\Delta m = \frac{E_B}{c^2}.

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    b) Warum man die Bindungsenergie je Nukleon vergleicht

    Weil EBE_B allein nichts über die Stabilität aussagt, sondern nur über die Größe des Kerns: 56Fe^{56}\text{Fe} hat 492 MeV492\,\text{MeV} gesamt und 8,79 MeV8{,}79\,\text{MeV} je Nukleon, 235U^{235}\text{U} dagegen 1784 MeV1784\,\text{MeV} gesamt, aber nur 7,59 MeV7{,}59\,\text{MeV} je Nukleon. Uran hat also die größere Gesamtbindungsenergie und ist trotzdem weniger stabil.

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    c) Warum massereiche Sterne bei Eisen kollabieren

    Weil bei Eisen die Energiequelle versiegt. Ein Stern hält sich gegen die eigene Gravitation durch den Strahlungsdruck der Fusion aufrecht und arbeitet sich die Kurve hinauf: H→He→C→O→Ne→Si→Fe\text{H} \to \text{He} \to \text{C} \to \text{O} \to \text{Ne} \to \text{Si} \to \text{Fe}. Bei Eisen ist das Maximum erreicht, jede weitere Fusion würde Energie kosten statt liefern.

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    d) Ergebnis deuten: woher Gold und Uran stammen

    In Supernovae und bei Verschmelzungen von Neutronensternen. Im normalen Sternenleben geschieht es nicht, weil die Fusion jenseits von Eisen Energie kostet, ein Stern würde sich dabei selbst abkühlen. Erst die gewaltigen Energien und Neutronenflüsse einer Supernova ermöglichen den raschen Neutroneneinfang mit anschließenden Betazerfällen (r-Prozess).

Zusammenfassung

Ein ist stets leichter als die Summe seiner Bausteine, weil beim Zusammenfügen Bindungsenergie frei wurde und mit ihr die zugehörige das System verließ. Über die atomare Masseneinheit lässt sich der Massendefekt unmittelbar in Megaelektronenvolt umrechnen, und teilt man die Bindungsenergie durch die Nukleonenzahl, erhält man das eigentliche Maß für die Stabilität eines Kerns. Trägt man diese Größe über der Massenzahl auf, steigt sie zunächst steil an, weil der Anteil schwach gebundener Oberflächennukleonen sinkt, erreicht bei Eisen ihr Maximum und fällt danach wieder ab, weil die elektrische Abstoßung mit dem Quadrat der Protonenzahl wächst. Da genau dann frei wird, wenn die Bindungsenergie je Nukleon zunimmt, liefern sowohl die Fusion leichter als auch die Spaltung schwerer Kerne Energie, denn beide Vorgänge führen auf das Maximum zu. Weil Kernbindungen rund eine Million Mal stärker sind als chemische, kann keine chemische Reaktion einen Kern verändern.