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Elektrizitätslehre

Arbeit im elektrischen Feld, Potential und Spannung

Was Spannung wirklich bedeutet, warum sie eine Energiedifferenz je Ladung ist und wieso der Weg dabei keine Rolle spielt.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

„" gehört zu den Wörtern, die jeder benutzt und kaum jemand erklären kann. Eine Batterie hat 1,5 V1{,}5\,\text{V}, eine Steckdose 230 V230\,\text{V}, ein Blitz einige Millionen Volt. Aber was ist ein Volt?

Die Antwort steckt in einem Gedanken, den du aus der Mechanik bereits kennst. Dort war die Lageenergie eines Körpers im Schwerefeld E=m⋅g⋅hE = m \cdot g \cdot h, und der Ausdruck g⋅hg \cdot h hing nur vom Ort ab, nicht vom Körper. Genau dieselbe Trennung gelingt im , und das Ergebnis heißt Potential. Die Spannung ist dann nichts anderes als eine Differenz davon.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die im homogenen berechnen.

  • begründen, warum diese Arbeit wegunabhängig ist.

  • das Potential als ortsabhängige Größe definieren.

  • die als Potentialdifferenz deuten.

  • den Zusammenhang U=E⋅dU = E \cdot d herleiten und anwenden.

  • mit der Einheit Elektronenvolt rechnen.

Arbeit im homogenen Feld

Verschiebt man eine qq im homogenen Feld EE entgegen der Feldkraft um die Strecke dd, muss man verrichten. Mit F=q⋅EF = q \cdot E und W=F⋅sW = F \cdot s folgt

W=q⋅E⋅dW = q \cdot E \cdot d

Diese Arbeit steckt danach als potentielle in der Ladung. Lässt man sie los, wird die Energie wieder frei und sie.

🔴 Das ist genau der Gedanke aus der Mechanik: Hebt man einen Körper an, verrichtet man Arbeit, die als Lageenergie gespeichert wird. Nur ist hier statt der die Ladung entscheidend und statt des Schwerefeldes das elektrische.

Warum der Weg keine Rolle spielt

Verschiebt man die nicht geradlinig, sondern auf einem Umweg, ändert sich die nicht.

Begründung: Bewegt man die Ladung senkrecht zu den Feldlinien, steht die senkrecht zum Weg, und dabei wird keine Arbeit verrichtet (W=F⋅s⋅cos⁡90°=0W = F \cdot s \cdot \cos 90° = 0). Jeder beliebige Weg lässt sich in Abschnitte längs und senkrecht zu den Feldlinien zerlegen; nur die Abschnitte längs liefern einen Beitrag, und ihre Summe ist gerade der Abstand dd in Feldrichtung.

Daraus folgt unmittelbar:

Die Arbeit hängt nur von Anfangs- und Endpunkt ab, nicht vom Weg.

Auf einem geschlossenen Weg ist die Arbeit deshalb null. Felder mit dieser Eigenschaft heißen konservativ; das Schwerefeld ist ebenfalls eines. Genau diese Eigenschaft macht es überhaupt erst möglich, jedem Punkt eine zuzuordnen, denn andernfalls hinge der Wert davon ab, wie man dorthin gelangt ist.

Das Potential

Die potentielle EpotE_{\text{pot}} einer hängt von der Ladung ab. Wie bei der trennt man auch hier die Eigenschaft des Ortes von der Eigenschaft der Probeladung:

φ=Epotq\varphi = \frac{E_{\text{pot}}}{q}

Das Potential φ\varphi eines Punktes ist die potentielle Energie je Ladung.

[ φ ]=1 JC=1 Volt[\,\varphi\,] = 1\,\frac{\text{J}}{\text{C}} = 1\,\text{Volt}

Wie in der Mechanik ist nur die Differenz physikalisch bedeutsam; der Nullpunkt ist frei wählbar. Üblich sind die Erde oder der Minuspol.

Punkte gleichen Potentials bilden Äquipotentialflächen. Auf ihnen wird keine verrichtet, und sie stehen deshalb überall senkrecht auf den Feldlinien.

Die Spannung

U=φ1−φ2=Wq\boxed{U = \varphi_1 - \varphi_2 = \frac{W}{q}}

Die zwischen zwei Punkten ist die je , die beim Verschieben zwischen ihnen verrichtet wird.

1 Volt=1 JouleCoulomb1\,\text{Volt} = 1\,\frac{\text{Joule}}{\text{Coulomb}}

🔴 Damit ist die Frage beantwortet, was ein Volt ist: Eine Spannung von 1 V1\,\text{V} bedeutet, dass an einer Ladung von 1 C1\,\text{C} die Arbeit 1 J1\,\text{J} verrichtet wird. Bei einer 1,51{,}5-Volt-Batterie erhält also jedes Coulomb 1,51{,}5 Joule mit auf den Weg.

Spannung ist immer eine Differenz. Die Frage „Wie viel Spannung hat dieser Punkt?" ist ebenso sinnlos wie die Frage nach der Höhe eines Ortes ohne Bezugsniveau. Man kann nur die Spannung zwischen zwei Punkten angeben.

Der Zusammenhang mit der Feldstärke

Aus W=q⋅E⋅dW = q \cdot E \cdot d und U=WqU = \frac{W}{q} folgt sofort

U=E⋅dbzw.E=Ud\boxed{U = E \cdot d \qquad \text{bzw.} \qquad E = \frac{U}{d}}

Damit ist die Formel aus dem letzten Kapitel hergeleitet statt behauptet, und die Einheit Vm\frac{\text{V}}{\text{m}} wird verständlich: Die gibt an, wie viel je Meter „abfällt".

Das homogene Feld zwischen zwei Platten+−+−+−+−+−+−dE = U / dHomogen ist das Feld nur zwischen den Platten, nicht am Rand

Dasselbe Bild wie im vorigen Kapitel, jetzt für die Beziehung E=U/dE = U/d: Weil das Feld zwischen den Platten überall gleich stark ist, genügt eine einzige Division. In einem inhomogenen Feld ginge das nicht.

Das Elektronenvolt

Für Elementarteilchen ist das Joule unhandlich groß. Man benutzt deshalb:

1 eV=1,602⋅10−19 J1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}

Ein Elektronenvolt ist die , die ein Elektron beim Durchlaufen einer von einem Volt aufnimmt.

Die Definition folgt direkt aus W=q⋅UW = q \cdot U mit q=eq = e und U=1 VU = 1\,\text{V}.

Typische Größenordnungen:

VorgangEnergie
Bindung eines Elektrons im Atomeinige eV\text{eV}
Sichtbares Licht (Photon)1,61{,}6 bis 3,3 eV3{,}3\,\text{eV}
Röntgenstrahlungeinige keV\text{keV}
Kernprozesseeinige MeV\text{MeV}

🔴 An dieser Tabelle sieht man auf einen Blick, warum chemische Vorgänge Kernprozesse nicht beeinflussen können: Der Unterschied beträgt rund sechs Zehnerpotenzen.

Beschleunigung durch eine Spannung

Durchläuft ein ruhendes Teilchen die UU, wird die gesamte elektrische in kinetische umgewandelt:

q⋅U=12mv2⟹v=2qUmq \cdot U = \frac{1}{2}m v^2 \qquad \Longrightarrow \qquad v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}

Das ist das Grundprinzip jeder Elektronenröhre, jedes Teilchenbeschleunigers und jeder Röntgenröhre.

Arbeit, Spannung und Elektronenvolt

Ein hat d=8 cmd = 8\,\text{cm} und E=2500 VmE = 2500\,\frac{\text{V}}{\text{m}}.

a) Welche liegt an?

b) Welche wird verrichtet, wenn eine von 6 µC6\,\text{µC} von einer Platte zur anderen gebracht wird?

c) Welche nimmt ein Elektron beim Durchlaufen auf, in Joule und in Elektronenvolt?

d) Ändert sich die Arbeit, wenn die Ladung auf einem Umweg bewegt wird?

  1. 1

    a) Aus U=E⋅dU = E \cdot d:

    U=2500 Vm⋅0,08 m=200 VU = 2500\,\frac{\text{V}}{\text{m}} \cdot 0{,}08\,\text{m} = 200\,\text{V}
  2. 2

    b) Aus U=WqU = \frac{W}{q} folgt W=q⋅UW = q \cdot U:

    W=6⋅10−6 C⋅200 V=1,2⋅10−3 J=1,2 mJW = 6 \cdot 10^{-6}\,\text{C} \cdot 200\,\text{V} = 1{,}2 \cdot 10^{-3}\,\text{J} = 1{,}2\,\text{mJ}
  3. 3

    c) Für ein Elektron mit q=e=1,6⋅10−19 Cq = e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C}:

    W=1,6⋅10−19 C⋅200 V=3,2⋅10−17 JW = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 200\,\text{V} = 3{,}2 \cdot 10^{-17}\,\text{J}

    In Elektronenvolt geht es ohne Rechnung: Ein Elektron nimmt beim Durchlaufen von 1 V1\,\text{V} genau 1 eV1\,\text{eV} auf, also bei 200 V200\,\text{V} genau

    W=200 eVW = 200\,\text{eV}

    🔴 Genau darin liegt der Vorteil der Einheit: Man liest die Energie unmittelbar aus der Spannung ab, statt mit Zehnerpotenzen zu hantieren. Deshalb spricht man von einer „200200-Volt-Beschleunigung" und meint damit zugleich die Energie.

  4. 4

    d) Nein, die Arbeit bleibt gleich.

    Auf jedem Wegabschnitt senkrecht zu den Feldlinien wird keine Arbeit verrichtet, denn dort steht die senkrecht auf dem Weg. Nur die Abschnitte längs der Feldlinien tragen bei, und ihre Summe ist immer der Plattenabstand.

    Die Arbeit hängt deshalb nur von Anfangs- und Endpunkt ab. Genau diese Eigenschaft erlaubt es überhaupt, von „der Spannung zwischen den Platten" zu sprechen: Wäre die Arbeit wegabhängig, hätte der Begriff keinen eindeutigen Wert.

    Dasselbe kennst du aus der Mechanik: Ob du einen Koffer die Treppe hinaufträgst oder mit dem Aufzug fährst, die Hubarbeit ist dieselbe.

a) 200 V200\,\text{V} b) 1,2 mJ1{,}2\,\text{mJ} c) 3,2⋅10−17 J=200 eV3{,}2 \cdot 10^{-17}\,\text{J} = 200\,\text{eV} d) nein, die Arbeit ist wegunabhängig.

Elektronen beschleunigen

In einer Elektronenröhre werden Elektronen aus der Ruhe durch U=500 VU = 500\,\text{V} .

Gegeben: me=9,11⋅10−31 kgm_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}, e=1,6⋅10−19 Ce = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C}.

a) Welche haben sie danach, in eV und in Joule?

b) Wie schnell sind sie?

c) Wie ändert sich die bei vierfacher ?

d) Warum spielt die dabei keine Rolle?

  1. 1

    a) Energie: Ein Elektron nimmt je Volt genau 1 eV1\,\text{eV} auf:

    W=500 eVW = 500\,\text{eV}

    In Joule:

    W=e⋅U=1,6⋅10−19 C⋅500 V=8,0⋅10−17 JW = e \cdot U = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 500\,\text{V} = 8{,}0 \cdot 10^{-17}\,\text{J}
  2. 2

    b) Die gesamte elektrische wird zu kinetischer Energie, weil das Elektron aus der Ruhe startet:

    e⋅U=12mv2e \cdot U = \frac{1}{2} m v^2 v=2eUm=2⋅8,0⋅10−17 J9,11⋅10−31 kgv = \sqrt{\frac{2eU}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 8{,}0 \cdot 10^{-17}\,\text{J}}{9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}}} v=1,76⋅1014 ms≈1,3⋅107 msv = \sqrt{1{,}76 \cdot 10^{14}}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 1{,}3 \cdot 10^{7}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Das sind rund 13000 kms13000\,\frac{\text{km}}{\text{s}}, also etwa 4 %4\,\% der Lichtgeschwindigkeit.

  3. 3

    c) Aus v=2eUmv = \sqrt{\frac{2eU}{m}} folgt v∼Uv \sim \sqrt{U}.

    Bei vierfacher Spannung:

    vneu=4⋅v=2vv_{\text{neu}} = \sqrt{4} \cdot v = 2v

    Die Geschwindigkeit verdoppelt sich nur, nicht vervierfacht.

    🔴 Der Grund ist die kinetische Energie: Sie geht mit v2v^2, deshalb wirkt sich eine Energieänderung nur mit der Wurzel auf die Geschwindigkeit aus. Dasselbe kennst du vom Bremsweg, der mit dem Quadrat der Geschwindigkeit wächst.

    Ehrliche Einschränkung: Bei sehr hohen Spannungen gilt diese Rechnung nicht mehr, weil sich das Elektron der Lichtgeschwindigkeit nähert und die Relativitätstheorie berücksichtigt werden muss. Bis etwa 10 %10\,\% von cc ist der Fehler unter einem Prozent, hier also unbedenklich.

  4. 4

    d) Weil sie um Zehnerpotenzen kleiner ist.

    Gewichtskraft des Elektrons:

    FG=m⋅g=9,11⋅10−31 kg⋅9,81 ms2≈8,9⋅10−30 NF_G = m \cdot g = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \approx 8{,}9 \cdot 10^{-30}\,\text{N}

    Elektrische bei einem typischen Feld von E=104 VmE = 10^{4}\,\frac{\text{V}}{\text{m}}:

    Fel=e⋅E=1,6⋅10−19⋅104 N=1,6⋅10−15 NF_{\text{el}} = e \cdot E = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{4}\,\text{N} = 1{,}6 \cdot 10^{-15}\,\text{N}

    Das Verhältnis beträgt rund 101410^{14}. Die Gewichtskraft ist also völlig vernachlässigbar.

    🔴 Merke das als allgemeine Regel: Bei geladenen Elementarteilchen in wird die Schwerkraft grundsätzlich vernachlässigt. Eine Ausnahme ist der Millikan-Versuch, weil dort ein vergleichsweise schweres Öltröpfchen mit nur wenigen Elementarladungen benutzt wird und die beiden Kräfte gerade vergleichbar werden.

a) 500 eV=8,0⋅10−17 J500\,\text{eV} = 8{,}0 \cdot 10^{-17}\,\text{J} b) rund 1,3⋅107 ms1{,}3 \cdot 10^{7}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} c) sie verdoppelt sich, weil v∼Uv \sim \sqrt{U} d) die Gewichtskraft ist rund 101410^{14}-mal kleiner.

Typischer Fehler

„Dieser Punkt in der Schaltung hat eine von 5 V5\,\text{V}."

Ein einzelner Punkt hat keine Spannung. Spannung ist immer eine Differenz zwischen zwei Punkten.

Die Parallele macht es deutlich: Die Frage „Wie hoch ist dieser Ort?" ist ohne Bezugspunkt sinnlos. Zugspitze 2962 m2962\,\text{m} heißt: über dem Meeresspiegel. Wählt man ein anderes Bezugsniveau, ändert sich die Zahl, und der Höhenunterschied zwischen zwei Orten bleibt derselbe.

Genauso ist es beim Potential: Sein Nullpunkt ist frei wählbar (üblich sind Erde oder Minuspol). Nur die Differenz zweier Potentiale, also die Spannung, ist physikalisch bedeutsam, denn nur sie bestimmt die .

Woher der falsche Sprachgebrauch kommt: In der Praxis vereinbart man stillschweigend einen Bezugspunkt, meist die der Schaltung. „Der Punkt hat 5 V5\,\text{V}" ist dann die Kurzform für „zwischen diesem Punkt und der Masse liegen 5 V5\,\text{V}". Als Abkürzung ist das in Ordnung, als physikalische Aussage nicht.

Warum das mehr als Wortklauberei ist: Vögel sitzen unbeschadet auf einer Hochspannungsleitung mit 110000 V110000\,\text{V} gegen Erde, weil zwischen ihren beiden Füßen fast keine Spannung liegt. Nicht der hohe Potentialwert ist gefährlich, sondern die Differenz über den Körper. Wer Spannung als Punkteigenschaft denkt, kann diese lebenswichtige Unterscheidung nicht treffen.

Richtig formuliert: „Zwischen diesem Punkt und der Masse liegt eine Spannung von 5 V5\,\text{V}" oder „das Potential dieses Punktes beträgt bezogen auf Masse 5 V5\,\text{V}".

Übung 1

leicht

a) Welche wird verrichtet, wenn 3 mC3\,\text{mC} eine von 12 V12\,\text{V} durchlaufen?

b) Ein hat E=5000 VmE = 5000\,\frac{\text{V}}{\text{m}} und d=3 cmd = 3\,\text{cm}. Wie groß ist UU?

c) Welche in eV nimmt ein Elektron beim Durchlaufen von 80 V80\,\text{V} auf?

Tipp anzeigen

c) Ohne Rechnung ablesbar.

Lösung anzeigen

a) W=q⋅U=3⋅10−3 C⋅12 V=3,6⋅10−2 J=36 mJW = q \cdot U = 3 \cdot 10^{-3}\,\text{C} \cdot 12\,\text{V} = 3{,}6 \cdot 10^{-2}\,\text{J} = 36\,\text{mJ}

b) U=E⋅d=5000 Vm⋅0,03 m=150 VU = E \cdot d = 5000\,\frac{\text{V}}{\text{m}} \cdot 0{,}03\,\text{m} = 150\,\text{V}

c) 80 eV80\,\text{eV}. Ein Elektron nimmt beim Durchlaufen von 1 V1\,\text{V} definitionsgemäß 1 eV1\,\text{eV} auf, also bei 80 V80\,\text{V} genau 80 eV80\,\text{eV}. Genau dafür wurde die Einheit eingeführt.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei Arbeit, Spannung und Elektronenvolt

    a) q=3 mCq = 3\,\text{mC} durchläuft U=12 VU = 12\,\text{V}; gesucht die Arbeit. b) E=5000 VmE = 5000\,\frac{\text{V}}{\text{m}} und d=3 cmd = 3\,\text{cm}; gesucht UU. c) ein Elektron durchläuft 80 V80\,\text{V}; gesucht die Energie in eV.

  2. 2

    Arbeit, Spannung und die Definition des Elektronenvolts

    Die Spannung ist die Arbeit je : U=WqU = \frac{W}{q}, also W=q⋅UW = q \cdot U. Im homogenen Feld gilt zusätzlich U=E⋅dU = E \cdot d. Und ein Elektronenvolt ist definitionsgemäß die Energie, die ein Elektron beim Durchlaufen von 1 V1\,\text{V} aufnimmt.

  3. 3

    a) bis c) Arbeit, Spannung und Energie

    a) Ladung mal Spannung, mit 3 mC=3⋅10−3 C3\,\text{mC} = 3 \cdot 10^{-3}\,\text{C}. b) mal Abstand, mit 3 cm=0,03 m3\,\text{cm} = 0{,}03\,\text{m}. c) direkt ablesen.

    W=3⋅10−3 C⋅12 V=3,6⋅10−2 JW = 3 \cdot 10^{-3}\,\text{C} \cdot 12\,\text{V} = 3{,}6 \cdot 10^{-2}\,\text{J}; U=5000 Vm⋅0,03 m=150 VU = 5000\,\frac{\text{V}}{\text{m}} \cdot 0{,}03\,\text{m} = 150\,\text{V}

    Zwischenergebnis

    W=36 mJW = 36\,\text{mJ}, U=150 VU = 150\,\text{V}, W=80 eVW = 80\,\text{eV}

  4. 4

    Ergebnisse deuten: warum es zwei Energieeinheiten gibt

    36 mJ36\,\text{mJ} und 80 eV80\,\text{eV} sind beides Energien, aber in völlig verschiedenen Größenordnungen: 80 eV80\,\text{eV} entsprechen rund 1,3⋅10−17 J1{,}3 \cdot 10^{-17}\,\text{J}, also etwa einem Billiardstel des ersten Werts.

Übung 2

mittel

a) Begründe, warum die im wegunabhängig ist.

b) Warum stehen Äquipotentialflächen senkrecht auf den Feldlinien?

c) Ein Proton wird durch 2000 V2000\,\text{V} (mp=1,67⋅10−27 kgm_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}). Wie schnell ist es?

d) Warum sitzen Vögel unbeschadet auf einer Hochspannungsleitung?

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b) Was gilt für die Arbeit auf einer solchen Fläche?

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a) Jeder Weg lässt sich in Abschnitte längs und senkrecht zu den Feldlinien zerlegen.

Auf den senkrechten Abschnitten steht die senkrecht zum Weg, dort wird keine Arbeit verrichtet (cos⁡90°=0\cos 90° = 0).

Auf den Abschnitten längs der Feldlinien wird Arbeit verrichtet, und ihre Gesamtlänge ist immer gleich der Verschiebung in Feldrichtung, unabhängig davon, wie man dorthin gelangt.

Die Arbeit hängt deshalb nur von Anfangs- und Endpunkt ab; auf einem geschlossenen Weg ist sie null. Solche Felder heißen konservativ.

🔴 Nur wegen dieser Eigenschaft lässt sich jedem Punkt ein Potential zuordnen. Wäre die Arbeit wegabhängig, hinge der Wert davon ab, wie man den Punkt erreicht hat, und der Begriff wäre unbrauchbar.

b) Auf einer Äquipotentialfläche ist das Potential überall gleich. Zwischen zwei Punkten darauf ist die also null, und damit auch die Arbeit:

W=q⋅U=q⋅0=0W = q \cdot U = q \cdot 0 = 0

Wird auf einer Verschiebung keine Arbeit verrichtet, muss die Kraft senkrecht zum Weg stehen. Da die Kraft in Richtung der Feldlinien wirkt, stehen die Feldlinien senkrecht auf der Fläche.

Anschauliches Gegenstück: Die Höhenlinien einer Landkarte sind Äquipotentiallinien des Schwerefeldes. Wer einer Höhenlinie folgt, verrichtet keine Hubarbeit, und die Richtung des stärksten Anstiegs steht überall senkrecht darauf.

c) e⋅U=12mv2⇒v=2eUme \cdot U = \frac{1}{2} m v^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{2eU}{m}}

v=2⋅1,6⋅10−19 C⋅2000 V1,67⋅10−27 kg=3,83⋅1011 msv = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 2000\,\text{V}}{1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}}} = \sqrt{3{,}83 \cdot 10^{11}}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} v≈6,2⋅105 msv \approx 6{,}2 \cdot 10^{5}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

Zum Vergleich: Ein Elektron wäre bei derselben Spannung rund 4343-mal schneller, weil v∼1mv \sim \frac{1}{\sqrt{m}} und das Proton etwa 18361836-mal schwerer ist (1836≈43\sqrt{1836} \approx 43).

d) Weil zwischen ihren beiden Füßen fast keine Spannung liegt.

Der Vogel sitzt zwar auf einem Leiter mit sehr hohem Potential gegenüber der Erde, aber beide Füße befinden sich praktisch auf demselben Potential. Die Potentialdifferenz über seinen Körper ist deshalb winzig, und nach I=URI = \frac{U}{R} fließt fast kein Strom durch ihn.

🔴 Gefährlich ist nie das Potential, sondern immer die Differenz. Berührt derselbe Vogel gleichzeitig eine zweite Leitung oder einen geerdeten Mast, liegt die volle Spannung an, und es wird tödlich. Genau deshalb sind bei großen Vögeln mit weiter Flügelspannweite Mastkonstruktionen mit größerem Leiterabstand vorgeschrieben.

Dasselbe Prinzip erklärt, warum Arbeiten unter Spannung an Hochspannungsleitungen aus dem Hubschrauber möglich sind: Man bringt sich zunächst auf dasselbe Potential wie die Leitung und berührt nichts anderes.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht, drei Begründungen und ein Proton

    a), b) und d) verlangen Begründungen. c) gibt U=2000 VU = 2000\,\text{V} und mp=1,67⋅10−27 kgm_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}; gesucht ist die Endgeschwindigkeit des Protons.

  2. 2

    a) Warum die Arbeit im elektrischen Feld wegunabhängig ist

    Jeder Weg lässt sich in Abschnitte längs und senkrecht zu den Feldlinien zerlegen. Auf den senkrechten steht die Kraft senkrecht zum Weg, dort wird keine Arbeit verrichtet. Auf den längs verlaufenden ist die Gesamtlänge immer gleich der Verschiebung in Feldrichtung, unabhängig vom gewählten Weg.

  3. 3

    b) Warum Äquipotentialflächen senkrecht auf den Feldlinien stehen

    Auf einer Äquipotentialfläche ist das Potential überall gleich, zwischen zwei Punkten darauf ist die Spannung also null und damit auch die Arbeit: W=q⋅0=0W = q \cdot 0 = 0. Wird auf einer Verschiebung keine Arbeit verrichtet, muss die Kraft senkrecht zum Weg stehen.

  4. 4

    c) Die Geschwindigkeit des beschleunigten Protons

    Die vom Feld verrichtete Arbeit wird vollständig zu Bewegungsenergie: e⋅U=12mv2e \cdot U = \frac{1}{2} m v^2, umgestellt v=2eUmv = \sqrt{\frac{2eU}{m}}.

    v=2eUm=3,83⋅1011 ms≈6,2⋅105 msv = \sqrt{\frac{2eU}{m}} = \sqrt{3{,}83 \cdot 10^{11}}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 6{,}2 \cdot 10^{5}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Zwischenergebnis

    v≈6,2⋅105 msv \approx 6{,}2 \cdot 10^{5}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: Potential gegen Potentialdifferenz

    Der Vogel sitzt auf einem Leiter mit sehr hohem Potential gegenüber der Erde, aber beide Füße befinden sich praktisch auf demselben Potential. Die Potentialdifferenz über seinen Körper ist winzig, und nach I=URI = \frac{U}{R} fließt fast kein Strom.

Übung 3

schwer

a) Leite U=E⋅dU = E \cdot d aus der Definition der her.

b) Erkläre, warum das Potential einen frei wählbaren Nullpunkt hat, die Spannung aber eindeutig ist.

c) Ein Elektron durchläuft U1=100 VU_1 = 100\,\text{V}, ein zweites U2=400 VU_2 = 400\,\text{V}. Vergleiche und .

d) Warum eignet sich das Elektronenvolt besser als das Joule für atomare Vorgänge? Belege mit Zahlen.

Tipp anzeigen

a) Setze W=q⋅E⋅dW = q \cdot E \cdot d in U=WqU = \frac{W}{q} ein.

Lösung anzeigen

a) Schritt 1: auf die . Aus der Definition der E=FqE = \frac{F}{q} folgt

F=q⋅EF = q \cdot E

Schritt 2: beim Verschieben um dd längs der Feldlinien. Da die Kraft im homogenen Feld konstant und parallel zum Weg ist, gilt W=F⋅dW = F \cdot d, also

W=q⋅E⋅dW = q \cdot E \cdot d

Schritt 3: In die Definition der Spannung einsetzen.

U=Wq=q⋅E⋅dq=E⋅dU = \frac{W}{q} = \frac{q \cdot E \cdot d}{q} = E \cdot d

Die Ladung kürzt sich heraus, und genau das war zu erwarten: Die Spannung ist eine Eigenschaft des Feldes und der beiden Punkte, nicht der Probeladung.

U=E⋅dbzw.E=UdU = E \cdot d \qquad \text{bzw.} \qquad E = \frac{U}{d}

🔴 Damit ist auch die Einheit Vm\frac{\text{V}}{\text{m}} verständlich: Die Feldstärke gibt an, wie viel Spannung je Meter abfällt. Die Formel aus dem vorigen Kapitel ist damit hergeleitet und nicht bloß behauptet.

b) Das Potential ist über die potentielle Energie definiert, und potentielle Energie ist immer nur bezogen auf ein Bezugsniveau angebbar. Man kann zu allen Potentialwerten dieselbe Konstante addieren, ohne dass sich irgendetwas Messbares ändert.

Die Spannung ist die Differenz zweier Potentiale. Beim Subtrahieren fällt eine gemeinsame Konstante heraus:

(φ1+c)−(φ2+c)=φ1−φ2(\varphi_1 + c) - (\varphi_2 + c) = \varphi_1 - \varphi_2

Sie ist deshalb unabhängig von der Wahl des Nullpunkts und damit eindeutig messbar.

Physikalischer Kern: Messbar ist nur, was sich als Arbeit zeigt, und Arbeit hängt nur von der Differenz ab. Alles, was sich beim Verschieben des Nullpunkts mitverschiebt, ist keine , sondern eine Buchhaltungsgröße.

Dasselbe gilt in der Mechanik für die Höhe: Nur Höhenunterschiede bestimmen die Hubarbeit.

c) Energien: Nach W=e⋅UW = e \cdot U ist die Energie proportional zur Spannung:

W1=100 eV,W2=400 eVW_1 = 100\,\text{eV}, \qquad W_2 = 400\,\text{eV}

Das zweite Elektron hat also die vierfache Energie.

Geschwindigkeiten: Nach v=2eUmv = \sqrt{\frac{2eU}{m}} ist v∼Uv \sim \sqrt{U}:

v2v1=400100=4=2\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{400}{100}} = \sqrt{4} = 2

Das zweite Elektron ist nur doppelt so schnell.

🔴 Der Kern: Vierfache Energie bedeutet doppelte Geschwindigkeit, weil die kinetische Energie mit v2v^2 geht. Wer Energie und Geschwindigkeit gleichsetzt, verrechnet sich hier systematisch.

Konkret: v1≈5,9⋅106 msv_1 \approx 5{,}9 \cdot 10^{6}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, v2≈1,2⋅107 msv_2 \approx 1{,}2 \cdot 10^{7}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.

d) Weil das Joule um rund neunzehn Zehnerpotenzen zu groß ist.

Die Bindungsenergie des Elektrons im Wasserstoffatom beträgt 13,6 eV13{,}6\,\text{eV}, in Joule also

13,6⋅1,602⋅10−19 J≈2,18⋅10−18 J13{,}6 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J} \approx 2{,}18 \cdot 10^{-18}\,\text{J}

Rechnete man durchgehend in Joule, stünde vor jeder Zahl eine Zehnerpotenz um 10−1910^{-19}, was Vergleiche erschwert und Rechenfehler begünstigt.

Der zweite, wichtigere Vorteil: Die Energie in eV ist zahlenmäßig gleich der durchlaufenen Spannung in Volt. Eine Röntgenröhre mit 100 kV100\,\text{kV} liefert Elektronen mit 100 keV100\,\text{keV}; man liest die Energie unmittelbar an der Gerätespannung ab, ohne zu rechnen.

Vergleichbarkeit auf einen Blick:

VorgangEnergie
sichtbares Licht1,61{,}6 bis 3,3 eV3{,}3\,\text{eV}
chemische Bindungeinige eV\text{eV}
Röntgenstrahlungeinige 10 keV10\,\text{keV}
Kernprozesseeinige MeV\text{MeV}

An dieser Tabelle wird sofort sichtbar, warum chemische Vorgänge Kernprozesse nicht beeinflussen können: Der Unterschied beträgt rund sechs Zehnerpotenzen. In Joule ausgedrückt wäre derselbe Sachverhalt aus einer Kolonne winziger Zahlen herauszulesen.

Das ist der eigentliche Grund für die Einheit: nicht Bequemlichkeit, sondern Sichtbarmachen von Größenordnungen.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

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    Gegeben und Gesucht, eine Herleitung, ein Vergleich, eine Einordnung

    a) verlangt die Herleitung von U=E⋅dU = E \cdot d, b) die Unterscheidung von Potential und Spannung. c) gibt zwei Elektronen mit U1=100 VU_1 = 100\,\text{V} und U2=400 VU_2 = 400\,\text{V}; gesucht ist der Vergleich von Energien und Geschwindigkeiten. d) fragt nach dem Elektronenvolt.

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    a) Die Spannung im homogenen Feld aus der Definition herleiten

    Schritt 1: Aus E=FqE = \frac{F}{q} folgt F=q⋅EF = q \cdot E. Schritt 2: Im homogenen Feld ist die Kraft konstant und parallel zum Weg, also W=F⋅d=q⋅E⋅dW = F \cdot d = q \cdot E \cdot d. Schritt 3: Eingesetzt in U=WqU = \frac{W}{q} ergibt sich U=E⋅dU = E \cdot d, die Ladung kürzt sich heraus.

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    b) Warum das Potential einen frei wählbaren Nullpunkt hat

    Das Potential ist über die potentielle Energie definiert, und die ist immer nur bezogen auf ein Bezugsniveau angebbar. Die Spannung ist dagegen die Differenz zweier Potentiale, und beim Subtrahieren fällt eine gemeinsame Konstante heraus: (φ1+c)−(φ2+c)=φ1−φ2(\varphi_1 + c) - (\varphi_2 + c) = \varphi_1 - \varphi_2.

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    c) Vierfache Energie, doppelte Geschwindigkeit

    Nach W=e⋅UW = e \cdot U ist die Energie der Spannung proportional: 100 eV100\,\text{eV} gegen 400 eV400\,\text{eV}, also das Vierfache. Nach v=2eUmv = \sqrt{\frac{2eU}{m}} ist dagegen v∼Uv \sim \sqrt{U}, also v2v1=4=2\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{4} = 2.

    W1=100 eVW_1 = 100\,\text{eV}, W2=400 eVW_2 = 400\,\text{eV}; v2v1=400100=2\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{400}{100}} = 2

    Zwischenergebnis

    Energie viermal, Geschwindigkeit zweimal so groß.

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    d) Ergebnis deuten: wozu das Elektronenvolt taugt

    Weil das Joule um rund neunzehn Zehnerpotenzen zu groß ist. Die Bindungsenergie des Elektrons im Wasserstoffatom beträgt 13,6 eV13{,}6\,\text{eV}, in Joule also rund 2,18⋅10−18 J2{,}18 \cdot 10^{-18}\,\text{J}.

Zusammenfassung

Verschiebt man eine im homogenen , wird die W=q⋅E⋅dW = q \cdot E \cdot d verrichtet, und diese Arbeit hängt nur von Anfangs- und Endpunkt ab, weil auf Wegabschnitten senkrecht zu den Feldlinien keine Arbeit anfällt. Genau diese Wegunabhängigkeit erlaubt es, jedem Punkt ein Potential zuzuordnen, also eine potentielle je Ladung, deren Nullpunkt frei wählbar ist. Die ist die Differenz zweier Potentiale und damit die Arbeit je Ladung, weshalb ein Volt genau ein Joule je Coulomb bedeutet und die Frage nach der Spannung eines einzelnen Punktes sinnlos bleibt. Aus der Definition folgt unmittelbar der Zusammenhang U=E⋅dU = E \cdot d, womit die Feldstärkeformel des vorigen Kapitels hergeleitet ist. Für atomare Vorgänge rechnet man in Elektronenvolt, weil die Energie dort zahlenmäßig mit der durchlaufenen Spannung übereinstimmt und Größenordnungen unmittelbar vergleichbar werden.