Abbildung an der optischen Bank

Auf der optischen Bank werden Gegenstandsweite $g$, Bildweite $b$ und Brennweite $f$ sauber messbar. Ihre Beziehung ist die Linsengleichung $\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}$, und wir prüfen sie über eine ganze Messreihe. Dazu kommen die Bildarten-Landkarte (wann verkleinert, wann vergrößert, wann virtuell?) und der Abbildungsmaßstab $\frac{B}{G} = \frac{b}{g}$: das komplette Regelwerk der Linsenabbildung.

Dies ist das quantitative Herzstück der Optik. Wer die Linsengleichung einmal selbst gemessen hat, kann jedes optische Gerät durchrechnen: Wo muss der Beamer stehen, warum stellt die Kamera „scharf“, wie entwirft das Auge sein Netzhautbild? Und die Kehrwert-Form der Gleichung gibt einen Vorgeschmack darauf, wie die Physik Formeln baut, die auf den ersten Blick unhandlich und auf den zweiten perfekt sind.

Kepler legte 1611 in der „Dioptrice“ die Strahlenkonstruktion der Linsenabbildung vor, die Grundlage für das nach ihm benannte Fernrohr. Die Kehrwert-Form der Linsengleichung stammt von Halley und wurde von Gauß 1841 zur allgemeinen Abbildungstheorie ausgebaut. Bis heute rechnet jede Objektiv-Software mit ihren Nachfahren.

Verfahren 1: Das Fernbild eines Objekts jenseits von 10 m auf dem Schirm scharf stellen und den Abstand zwischen Linse und Schirm messen. Verfahren 2, die Gegenprobe: Auf der Bank die symmetrische Stellung suchen, in der Bild und Gegenstand gleich groß sind, denn dort gilt g = b = 2f.

Warum zwei Verfahren? Der f-Wert trägt drei Folgevarianten und verdient deshalb eine unabhängige Gegenprobe. Verfahren 2 nutzt eine Besonderheit der Linsengleichung: Setzt man $g = b$, wird $\frac{2}{g} = \frac{1}{f}$, also $g = 2f$. Die symmetrische Stellung ist an etwas Messbarem erkennbar, nämlich daran, dass das Bild genau gleich groß ist wie der Gegenstand. Man sucht also die Gleichgroß-Stellung und halbiert die Gegenstandsweite: kein fernes Objekt nötig, reine Bankmessung.

Für Verfahren 2 die Pfeilhöhe (2,0 cm) auf dem Schirm mit dem Lineal vergleichen. Die Positionen an der Bankskala ablesen, mit der Linsenmitte als Bezug (Haltermarke prüfen!).

Bank mit den zwei Aufbauten untereinander: fernes Objekt → b ≈ f; symmetrische Stellung mit g = b = 2f.

Aufbau: Optische Bank (Schiene mit Zentimeterskala), Kerze oder LED-Leuchtobjekt (Pfeil, Höhe 2,0 cm) auf Reiter, Sammellinse f = 10 cm im Halter, Mattscheibe/Schirm auf Reiter; abgedunkelter Raum.

Verfahren 1 dreimal mit verschiedenen fernen Objekten durchführen. Bei Verfahren 2 Gegenstand und Schirm verschieben, bis das Bild scharf und gleich groß ist, dann g ablesen. Zum Schluss beide f-Werte vergleichen.

Zwei unabhängige Wege, ein Wert: $f = 10{,}0\ \mathrm{cm}$ aus dem Fernbild und aus der Gleichgroß-Stellung ($20{,}0/2$). Die Übereinstimmung zweier Verfahren mit verschiedenen Fehlerquellen ist der beste Beleg, den eine Einzelgröße bekommen kann. Der Referenzwert für die Prüfung der Linsengleichung steht damit auf zwei Beinen.

Ein Nebenbefund mit Ansage: In der symmetrischen Stellung ist das Bild genau gleich groß und kopfstehend. Das ist bereits der erste Punkt der Bildarten-Landkarte aus Variante 3: $g = 2f$ ist ihre Mittelmarke, und von hier aus wird in beide Richtungen kartiert.

f = 10,0 cm, doppelt bestimmt über Fernbild und symmetrische Stellung. Der Referenzwert für die Prüfung der Linsengleichung ist gesichert.

Der Referenzwert erbt jede Nachlässigkeit dieser Variante: