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Arithmetik / Zahlen

Rationale Zahlen: negative Zahlen verstehen

Zahlengerade, Betrag und Gegenzahl, die Zahlenwelt wächst unter die Null.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

−7 °C-7\,°C am Thermometer, −50-50 € auf dem Konto, −428 m-428\,\text{m} am Toten Meer, die Welt braucht Zahlen unter null. Mit den negativen Zahlen wird deine Zahlenwelt komplett symmetrisch: Zu jeder Zahl gibt es ein Spiegelbild auf der anderen Seite der Null. Zeit, diese neue Hälfte zu erkunden!

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • negative Zahlen in Alltagssituationen deuten (Temperatur, Kontostand, Höhenangaben).

  • rationale Zahlen auf der Zahlengeraden darstellen und ablesen.

  • Betrag und Gegenzahl einer Zahl bestimmen.

  • rationale Zahlen sicher ordnen und vergleichen.

  • die Zahlbereiche N⊂Z⊂Q\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} einordnen.

Neue Zahlbereiche

Die Subtraktion 3−53 - 5 hat in den keine Lösung. Deshalb man erneut:

  • Ganze Zahlen Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}
  • Rationale Zahlen Q\mathbb{Q}: alle ganzen Zahlen plus alle positiven und negativen und (−34-\frac{3}{4}, 2,52{,}5, −0,1-0{,}1 …).

Es gilt: N⊂Z⊂Q\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}, jede natürliche Zahl ist auch ganz, jede ganze auch rational.

Warum man die Zahlen überhaupt erweitert

Zahlbereiche werden nicht aus Spaß vergrößert. Es passiert immer aus demselben Grund: Eine Rechnung soll immer funktionieren, nicht nur manchmal.

Bleib bei 3−53 - 5. In den natürlichen Zahlen gibt es dafür keine Lösung, die Aufgabe ist schlicht „verboten". Das ist unbefriedigend, denn im Alltag kommt sie ständig vor:

  • Das Thermometer fällt von 3 °C3\,°C um 55 Grad.
  • Du hast 33 € und gibst 55 € aus.

Beides ist möglich und beides hat ein sinnvolles Ergebnis. Also erfindet man Zahlen dafür, die negativen. Danach ist jede Subtraktion lösbar.

Dasselbe Muster hattest du schon einmal

Genau so ist es dir in Klasse 6 mit den Brüchen ergangen: 3:43 : 4 ging in den natürlichen Zahlen nicht auf, also kamen die Bruchzahlen dazu.

Jede Erweiterung schließt eine Lücke:

Bereichwird gebraucht, damit …
N\mathbb{N}man zählen kann
Brüchejede Division aufgeht (außer durch null)
Z\mathbb{Z}jede Subtraktion möglich ist
Q\mathbb{Q}beides zugleich gilt

Wichtig dabei: Beim Erweitern geht nie etwas verloren. Alle alten Rechenregeln gelten weiter, deshalb ist N\mathbb{N} vollständig in Z\mathbb{Z} enthalten und Z\mathbb{Z} wiederum in Q\mathbb{Q}.

Die Zahlengerade

Links von der Null liegen die negativen Zahlen, spiegelbildlich zu den positiven. Auf der Zahlengeraden unten (und am Thermometer) gilt die eine wichtige Regel: weiter rechts = größer.

Das gilt ausnahmslos: −1>−3-1 > -3, denn −1-1 liegt rechts von −3-3. Bei Temperaturen ist das sofort klar: −1 °C-1\,°C ist wärmer als −3 °C-3\,°C.

-505-3+2

Links von der Null liegen die negativen Zahlen, spiegelbildlich zu den positiven. Es gilt weiterhin: weiter rechts = größer. Deshalb ist −3<+2-3 < +2, und auch −1>−3-1 > -3 (denn −1-1 liegt weiter rechts, näher an der Null).

0-100+10+20+30+40-7 °C

Am Thermometer wird „unter null" greifbar: −7 °C-7\,°C liegt unterhalb der Nulllinie. Und −3 °C-3\,°C wäre wärmer (größer) als −7 °C-7\,°C, genau wie auf der Zahlengeraden weiter rechts.

Gegenzahl und Betrag

Die Gegenzahl von aa ist −a-a, das Spiegelbild an der Null: Gegenzahl von 55 ist −5-5, Gegenzahl von −2,5-2{,}5 ist 2,52{,}5.

Der Betrag ∣a∣|a| ist der Abstand zur Null, und Abstände sind nie negativ:

∣5∣=5∣−5∣=5∣0∣=0|5| = 5 \qquad |-5| = 5 \qquad |0| = 0

Vergleichen, die drei Fälle

  1. positiv vs. negativ: Die positive Zahl gewinnt immer (1>−1001 > -100).
  2. zwei positive: wie gewohnt.
  3. zwei negative: Die Zahl mit dem kleineren Betrag ist größer (−2>−7-2 > -7, denn −2-2 liegt näher an der Null).

Warum bei negativen Zahlen alles umgekehrt wirkt

Fall 3 fühlt sich falsch an: 77 ist doch größer als 22, warum soll dann −2-2 größer sein als −7-7?

Der Grund ist, dass das Minuszeichen die Richtung umdreht. Und größer heißt auf der Zahlengeraden immer: weiter rechts.

−7—−2—0—2—7-7 \quad\text{---}\quad -2 \quad\text{---}\quad 0 \quad\text{---}\quad 2 \quad\text{---}\quad 7

Von der Null nach links wandern die Zahlen ins Minus. Je größer der Betrag, desto weiter links landest du, und desto kleiner ist die Zahl.

Das Thermometer macht es eindeutig

Wenn dich die Zahlen verwirren, denk an Temperaturen. Bei −2 °C-2\,°C kannst du noch draußen stehen, bei −7 °C-7\,°C frierst du.

−7-7 ist also wirklich kälter, und damit kleiner. Genauso beim Konto: 77 € Schulden sind schlimmer als 22 € Schulden.

Der häufigste Fehler

Viele vergleichen nur die Ziffern und schreiben −7>−2-7 > -2, weil 7>27 > 2 ist.

Vergleiche deshalb nie die Beträge, sondern immer die Lage auf der Zahlengeraden. Bei zwei negativen Zahlen gilt: großer Betrag = kleine Zahl.

Erkläre es selbst: Warum ist minus sieben kleiner als minus zwei, obwohl minus sieben weiter von der Null entfernt liegt? Wo liegt der Unterschied zwischen größer und weiter weg von der Null?

Formuliere es erst selbst, am besten mit einer Zahlengeraden vor dir.

Es sind zwei verschiedene Fragen, die nur zufällig oft dieselbe Antwort haben:

  • Größer heißt: weiter rechts auf der Zahlengeraden. Das ist eine Frage der Lage.
  • Weiter weg von der Null heißt: größerer Betrag. Das ist eine Frage des Abstands, und der zählt in beide Richtungen gleich.

Und jetzt der eigentliche Grund für die Verwirrung: Bei positiven Zahlen fallen beide zusammen. 77 ist größer als 22 und weiter von der Null weg. Jahrelang bedeutete beides dasselbe, deshalb nimmt man es unbemerkt mit ins Negative.

Links von der Null laufen die beiden auseinander. Von 00 nach links wird der Abstand größer, die Zahl aber kleiner:

−7—−2—0—2—7-7 \quad\text{---}\quad -2 \quad\text{---}\quad 0 \quad\text{---}\quad 2 \quad\text{---}\quad 7

−7-7 hat den größeren Abstand (∣−7∣=7|-7| = 7), liegt aber weiter links, also ist −7<−2-7 < -2.

Wann brauchst du was? Beim Ordnen immer die Lage: −7<−2-7 < -2. Bei Fragen nach Nähe oder Entfernung den Betrag: Ein Taucher bei −12 m-12\,\text{m} ist der Wasseroberfläche näher als eine Drohne bei 35 m35\,\text{m}, obwohl −12<35-12 < 35 gilt.

Deine Erklärung darf anders klingen. Wichtig ist: Größer fragt nach der Lage, weiter weg nach dem Abstand, und nur rechts von der Null geben beide dieselbe Antwort.

Temperaturen ordnen

Ordne die Nachttemperaturen vom kältesten zum wärmsten Ort: Erfurt −3 °C-3\,°C, Oslo −11 °C-11\,°C, Rom 4 °C4\,°C, Moskau −11,5 °C-11{,}5\,°C

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben sind vier Temperaturen, drei davon negativ. Gesucht ist die Reihenfolge vom kältesten zum wärmsten, also von der kleinsten zur größten Zahl.

    Nicht einfach die Ziffern vergleichen. Bei negativen Zahlen führt das in die Irre.

  2. 2

    Schritt 1: Grob in zwei Gruppen teilen.

    Jede positive Zahl ist größer als jede negative. Rom (+4 °C+4\,°C) ist also mit Sicherheit der wärmste Ort und kommt ans Ende.

    Übrig bleiben drei negative Werte: −3-3, −11-11 und −11,5-11{,}5.

  3. 3

    Schritt 2: Die negativen Zahlen richtig einordnen.

    Hier gilt: Je größer der Betrag, desto kälter, und damit kleiner.

    Die Beträge sind 33, 1111 und 11,511{,}5. Der größte Betrag gehört also zur kleinsten Zahl.

  4. 4

    Schritt 3: Die Beträge sortieren.

    11,5>11>311{,}5 > 11 > 3

    Damit steht die Reihenfolge der Temperaturen fest, genau umgekehrt:

    −11,5<−11<−3-11{,}5 < -11 < -3
  5. 5

    Schritt 4: Alles zusammensetzen.

    −11,5<−11<−3<4-11{,}5 < -11 < -3 < 4
  6. 6

    Schritt 5: Die Probe mit dem Thermometer.

    Lies die Kette als Wetterbericht: Moskau ist am kältesten, dann Oslo, dann Erfurt, und in Rom ist es als einzigem Ort über null.

    Das klingt stimmig ✓, und genau diese Alltagsprobe deckt Vorzeichenfehler sofort auf.

    Beachte −11-11 und −11,5-11{,}5: Ein halbes Grad mehr Betrag bedeutet ein halbes Grad kälter.

Moskau (−11,5 °C-11{,}5\,°C) < Oslo (−11 °C-11\,°C) < Erfurt (−3 °C-3\,°C) < Rom (4 °C4\,°C)

Betrag und Gegenzahl

Bestimme Betrag und Gegenzahl von a) −8-8, b) 3,53{,}5, c) −23-\frac{2}{3}. Welche Zahlen haben den Betrag 6?

  1. 1

    Was ist gesucht? Zu drei Zahlen jeweils zwei Dinge, und am Ende eine Rückwärtsfrage.

    Halte die beiden Begriffe sauber auseinander:

    • Der Betrag ist der Abstand zur Null. Abstände sind nie negativ.
    • Die Gegenzahl ist das Spiegelbild an der Null. Sie hat denselben Abstand, aber die andere Seite.
  2. 2

    Teil a) −8-8.

    Wie weit ist −8-8 von der Null entfernt? Acht Schritte. Also:

    ∣−8∣=8|-8| = 8

    Und das Spiegelbild von −8-8 auf der anderen Seite ist +8+8. Gegenzahl: 88.

  3. 3

    Teil b) 3,53{,}5.

    Die Zahl ist bereits positiv, ihr Abstand zur Null ist also sie selbst:

    ∣3,5∣=3,5|3{,}5| = 3{,}5

    Gespiegelt liegt sie links der Null. Gegenzahl: −3,5-3{,}5.

    Beachte: Der Betrag ändert eine positive Zahl nicht. Er macht nur negative positiv.

  4. 4

    Teil c) −23-\frac{2}{3}.

    Für gilt genau dasselbe wie für ganze Zahlen:

    ∣−23∣=23\left|-\frac{2}{3}\right| = \frac{2}{3}

    Gegenzahl: 23\frac{2}{3}.

  5. 5

    Schritt 5: Die Rückwärtsfrage, welche Zahlen haben den Betrag 6?

    Gesucht sind alle Zahlen mit dem Abstand 66 zur Null. Von der Null aus kannst du in zwei Richtungen sechs Schritte gehen:

    +6und−6+6 \quad \text{und} \quad -6

    Beide erfüllen ∣x∣=6|x| = 6.

  6. 6

    Schritt 6: Was du daraus lernst.

    Der Betrag „vergisst" das Vorzeichen. Deshalb hat die Rückwärtsfrage zwei Antworten, während die Vorwärtsfrage („Was ist ∣−6∣|-6|?") nur eine hat.

    Nur beim Betrag 00 gibt es eine einzige Zahl, die Null ist ihr eigenes Spiegelbild.

a) ∣−8∣=8|-8| = 8, Gegenzahl 88 · b) ∣3,5∣=3,5|3{,}5| = 3{,}5, Gegenzahl −3,5-3{,}5 · c) ∣−23∣=23\left|-\frac{2}{3}\right| = \frac{2}{3}, Gegenzahl 23\frac{2}{3} · Den Betrag 66 haben zwei Zahlen: 66 und −6-6.

Typischer Fehler

„−5>−2-5 > -2, denn 5 ist doch größer als 2."

Bei negativen Zahlen dreht sich das Bild um: −5-5 liegt weiter links auf der Zahlengeraden, also ist −5<−2-5 < -2. Denke an Temperaturen (−5 °C-5\,°C ist kälter!) oder Schulden (−5-5 € ist weniger Vermögen als −2-2 €). Der Größenvergleich der Beträge gilt nur für den Abstand zur Null, nicht für die Ordnung.

Übung 1

leicht

Setze << oder >>: a) −4  □  1-4 \;\square\; 1 b) −9  □  −12-9 \;\square\; -12 c) 0  □  −0,50 \;\square\; -0{,}5

Tipp anzeigen

Zahlengerade: rechts ist größer.

Lösung anzeigen

a) −4<1-4 < 1

b) −9>−12-9 > -12

c) 0>−0,50 > -0{,}5

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Ordnungsregel am Zahlenstrahl

    Auf der Zahlengeraden gilt: weiter LINKS = kleiner. Negative Zahlen liegen links der Null, also ist jede negative kleiner als jede positive.

  2. 2

    a) und c): negativ gegen null/positiv

    a) −4-4 liegt links von 11: −4<1-4 < 1. c) −0,5-0{,}5 liegt links von 00: 0>−0,50 > -0{,}5.

  3. 3

    b) Zwei negative Zahlen vergleichen

    −9-9 und −12-12: −12-12 liegt weiter links (weiter im Minus), also −9>−12-9 > -12.

Übung 2

mittel

a) Gib alle ganzen Zahlen zz mit ∣z∣<4|z| < 4 an. b) Welche Zahl liegt auf der Zahlengeraden genau in der Mitte zwischen −6-6 und 22?

Tipp anzeigen

b) Abstand halbieren.

Lösung anzeigen

a) z∈{−3,−2,−1,0,1,2,3}z \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

b) Abstand: 2−(−6)=82 - (-6) = 8; die Hälfte (4) von −6-6 aus: −6+4=−2-6 + 4 = -2

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Den Betrag als Abstand lesen

    ∣z∣<4|z| < 4 heißt: Der ABSTAND von zz zur Null ist kleiner als 44, gesucht sind alle ganzen Zahlen, die näher als 44 an der Null liegen.

  2. 2

    a) Die Lösungsmenge aufzählen

    Ganze Zahlen mit Abstand unter 44: z∈{−3,−2,−1,0,1,2,3}z \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}, sieben Stück.

  3. 3

    b) Mitte zwischen −6 und 2

    Abstand der beiden Zahlen: 2−(−6)=82 - (-6) = 8. Die halbe Strecke (44) von −6-6 aus: −6+4=−2-6 + 4 = -2.

    2−(−6)=8;−6+4=−22 - (-6) = 8; \quad -6 + 4 = -2

Übung 3

schwer

Ein Taucher befindet sich bei −12 m-12\,\text{m}, ein Drohnenpilot steuert seine Drohne auf 35 m35\,\text{m}, ein U-Boot liegt bei −40 m-40\,\text{m}. a) Ordne die Höhen. b) Wie groß ist der Höhenunterschied zwischen Drohne und U-Boot? c) Wer ist näher an der Wasseroberfläche (Höhe 0): Taucher oder Drohne?

Tipp anzeigen

c) Das ist eine Betrags-Frage!

Lösung anzeigen

a) −40<−12<35-40 < -12 < 35

b) Von −40-40 bis 3535: 40+35=75 m40 + 35 = 75\,\text{m}

c) ∣−12∣=12<∣35∣=35|-12| = 12 < |35| = 35, der Taucher ist näher an der . Für „Nähe" zählt der Betrag, nicht die Ordnung!

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Höhen als Zahlen ordnen

    Höhen über/unter dem Wasserspiegel: U-Boot −40-40, Taucher −12-12, Drohne 3535. Geordnet: −40<−12<35-40 < -12 < 35.

  2. 2

    b) Höhenunterschied über die Null hinweg

    Von −40-40 m (U-Boot) bis 3535 m (Drohne): 4040 m bis zur Oberfläche plus 3535 m darüber =75= 75 m Unterschied.

    35−(−40)=7535 - (-40) = 75

    Zwischenergebnis

    7575 m

  3. 3

    c) Nähe zur Oberfläche: der Betrag entscheidet

    Nähe zur Höhe 00 misst der BETRAG: ∣−12∣=12|-12| = 12 und ∣35∣=35|35| = 35. 12<3512 < 35, der Taucher ist näher an der Oberfläche.

Zusammenfassung

Die rationalen Zahlen Q\mathbb{Q} vervollständigen die Zahlengerade nach links: Jede Zahl hat eine Gegenzahl, der Betrag misst den Abstand zur Null. Verglichen wird streng nach Position, rechts ist größer, weshalb unter den negativen Zahlen die betragskleinere gewinnt. Temperatur und Kontostand sind deine treuesten Anschauungshelfer.