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Stochastik

Daten erfassen und darstellen

Von der Strichliste zum Säulendiagramm: Daten sammeln, ordnen und kritisch lesen.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Welches Haustier ist in deiner Klasse am beliebtesten? Um das herauszufinden, brauchst du Daten: Du fragst alle, notierst die Antworten und stellst sie übersichtlich dar. Genau das machen auch Wahlforscher, Sportstatistiker und YouTube-Analysten, nur mit größeren Zahlen. In diesem Kapitel lernst du ihr Handwerkszeug: von der Urliste bis zum Säulendiagramm.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • Daten mit Urliste und Strichliste erfassen.

  • Daten in Häufigkeitstabellen und Ranglisten ordnen.

  • Säulen- und Balkendiagramme zeichnen und Informationen daraus entnehmen.

  • Darstellungen kritisch prüfen: Ist das Diagramm fair oder täuscht es?

Vom Sammeln zum Ordnen

Bevor du Daten darstellen kannst, musst du sie ordnen. Das läuft immer in denselben Schritten ab.

Urliste: die rohen Antworten in der Reihenfolge, in der sie kommen, z. B. beim Lieblingssport: Fußball, Reiten, Fußball, Schwimmen, Turnen, Fußball, … Ganz schön unübersichtlich.

Strichliste: Jetzt zählst du. Für jede Antwort machst du einen Strich, und jeder fünfte Strich geht quer über die vorherigen vier (ein Bündel).

Warum ausgerechnet Fünferbündel? Weil man Fünferpäckchen auf einen Blick erfasst, ohne nachzuzählen, bei zwölf einzelnen Strichen nebeneinander verzählt man sich dagegen fast sicher. Am Ende zählst du nur noch die Bündel: 33 Bündel und 22 einzelne Striche sind 3⋅5+2=173 \cdot 5 + 2 = 17. Das ist derselbe Bündelgedanke wie beim Stellenwertsystem, nur mit Fünfern statt Zehnern.

Häufigkeitstabelle: Die Strichbündel schreibst du als Zahlen auf. Diese Zahl (wie oft eine Antwort vorkam) heißt absolute Häufigkeit.

Rangliste: Zum Schluss sortierst du der Größe nach, Platz 1 zuerst.

Die ganze Kette lautet also: Urliste → Strichliste → Häufigkeitstabelle → Diagramm.

Vom Zählstrich zum Säulendiagramm

Zahlen in einer Tabelle sind korrekt, aber ein Diagramm zeigt die Unterschiede auf einen Blick. Im Säulendiagramm wächst für jede Kategorie eine senkrechte Säule: je höher die Säule, desto häufiger die Antwort. (Das Balkendiagramm ist dasselbe, nur mit waagerechten Balken.)

Damit ein Diagramm nicht täuscht, gelten drei Regeln: achte im Bild unten darauf:

  1. Beide Achsen beschriften (Kategorien und Anzahl).
  2. Die Werteachse beginnt bei 0 und ist gleichmäßig eingeteilt.
  3. Alle Säulen sind gleich breit und haben gleiche Abstände.
02,557,510Anzahl9Fußball6Schwimmen4Reiten3Turnen2Basketball

Das Säulendiagramm zur Umfrage aus der Musterlösung (2424 Antworten): Fußball ist mit 99 Nennungen am beliebtesten. Die Werteachse beginnt bei 00 und alle Säulen sind gleich breit. So ist der Vergleich fair.

Diagramme kritisch lesen

Gerade weil Säulen so schnell wirken, kann man mit ihnen auch tricksen. Die häufigsten Täuschungen:

  • Die Werteachse beginnt nicht bei 0 → schon kleine Unterschiede sehen riesig aus.
  • Ungleichmäßige Achseneinteilung → Verläufe werden verzerrt.
  • Bilder statt Säulen, die in Breite und Höhe wachsen → wirken viel größer, als sie sind.

Warum die Achse bei null beginnen muss

Von allen Tricks ist der abgeschnittene Achsenanfang der häufigste, schau ihn dir genauer an.

In einem Säulendiagramm liest du nicht die Zahlen ab, sondern vergleichst Höhen. Doppelt so hoch soll heißen: doppelt so viel.

Genau das funktioniert nur, wenn die Säule bei 00 startet. Dann ist ihre Höhe der Wert.

Beginnt die Achse dagegen bei 4646, zeigt jede Säule nur noch den Teil oberhalb von 46. Aus dem Wertepaar 4848 und 5252 werden dann sichtbare Höhen von 22 und 66, und plötzlich sieht ein Unterschied von 44 aus wie „dreimal so viel".

echter Unterschied: 450≈ein Zwo¨lftelgezeigter Eindruck: das Dreifache\text{echter Unterschied: } \frac{4}{50} \approx \text{ein Zwölftel} \qquad \text{gezeigter Eindruck: das Dreifache}

Die Zahlen im Diagramm stimmen dabei alle. Getäuscht wird allein durch das Bild.

Deshalb der wichtigste Profi-Reflex: Prüfe bei jedem fremden Diagramm zuerst die Achsen, bevor du ihm glaubst.

Achse beginnt bei 0, das ehrliche Bild

0204060Wert48A52B

Das Wertepaar 4848 und 5252 mit Werteachse ab 00: Die Säulenhöhen entsprechen den Werten, beide sind fast gleich hoch. Genau so sieht ein Unterschied von 44 bei rund 5050 ehrlich aus.

Achse beginnt bei 46, dasselbe Wertepaar täuscht

46485052Wert48A52B

Dieselben Daten, aber die Achse beginnt erst bei 4646 (das Bruch-Symbol an der Achse zeigt es): Sichtbar sind nur die Höhen 22 und 66: B wirkt plötzlich dreimal so hoch wie A. Die Zahlen stimmen, das Bild täuscht. Deshalb: bei jedem fremden Diagramm zuerst die Achsen prüfen.

Denk weiter: Eine Zeitung zeigt Verkaufszahlen nicht als Säulen, sondern als Geldsäcke, den doppelten Wert als doppelt so hohen und doppelt so breiten Sack. Warum ist das unfair?

Überlege erst selbst. Der Sack ist doppelt so hoch und doppelt so breit. Wie viel größer wirkt er dadurch?

Rechne es nach. Nimm den kleinen Sack als 1 cm1\,\text{cm} hoch und 1 cm1\,\text{cm} breit, den großen als 2 cm2\,\text{cm} und 2 cm2\,\text{cm}:

klein: 1⋅1=1 cm2groß: 2⋅2=4 cm2\text{klein: } 1 \cdot 1 = 1\,\text{cm}^2 \qquad\qquad \text{groß: } 2 \cdot 2 = 4\,\text{cm}^2

Der große Sack bedeckt viermal so viel , obwohl er nur den doppelten Wert darstellen soll. Das ist genau der Zusammenhang aus dem letzten Kapitel: Wächst eine Figur in zwei Richtungen, wächst ihre Fläche mit dem .

Und warum ist das die Täuschung? Weil dein Auge bei einem Bild die Fläche vergleicht, nicht die Höhe. Es sieht „viermal so viel", der Wert ist aber nur „doppelt so viel".

Warum passiert das bei Säulen nicht? Weil dort alle Säulen gleich breit sind. Es ändert sich nur die Höhe, also wächst die Fläche genauso wie der Wert. Deshalb steht in den Diagramm-Regeln ausdrücklich „gleich breit", und deshalb ist es ein Fehler, der wichtigsten Kategorie die dickste Säule zu geben.

Die Faustregel zum Mitnehmen: Sobald ein Bild in zwei Richtungen mitwächst, ist der Eindruck übertrieben. Prüfe dann nicht die Größe des Bildes, sondern die Zahl daneben.

Von der Umfrage zum Diagramm

In der 5b wurde der Lieblingssport erfragt (24 Antworten): Fußball 9, Schwimmen 6, Reiten 4, Turnen 3, Basketball 2. Erstelle die Häufigkeitstabelle mit Rangliste und beschreibe das passende Säulendiagramm.

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben sind die ausgezählten Häufigkeiten von fünf Sportarten. Gesucht sind zwei Dinge: eine geordnete Häufigkeitstabelle und die Beschreibung des Diagramms.

    Die Zählarbeit ist hier schon erledigt, du steigst mitten in der Kette Urliste → Strichliste → Tabelle → Diagramm ein.

  2. 2

    Schritt 1: Nach Häufigkeit sortieren.

    Eine Rangliste beginnt beim größten Wert:

    RangSportartabsolute Häufigkeit
    1Fußball9
    2Schwimmen6
    3Reiten4
    4Turnen3
    5Basketball2
  3. 3

    Schritt 2: Kontrollrechnung, und warum sie wichtig ist.

    9+6+4+3+2=249 + 6 + 4 + 3 + 2 = 24

    Die Summe muss die Zahl der Befragten ergeben. Stimmt sie nicht, hast du dich beim Auszählen verzählt oder eine Antwort vergessen.

    Mache diese Probe immer, bevor du weiterarbeitest, ein Zählfehler zieht sich sonst durch das ganze Diagramm.

  4. 4

    Schritt 3: Die Achsen festlegen.

    • x-Achse (waagerecht): die fünf Sportarten, jede bekommt einen eigenen Platz.
    • y-Achse (senkrecht): die Anzahl.

    Die y-Achse muss bei 00 beginnen und braucht eine gleichmäßige Einteilung. Der größte Wert ist 99, also reicht sie sinnvoll bis 1010, in Einerschritten.

  5. 5

    Schritt 4: Die Säulen zeichnen.

    Fünf Säulen mit den Höhen 99, 66, 44, 33 und 22, alle gleich breit und mit gleichem Abstand.

    Warum gleich breit? Weil sonst die mitspricht: Eine breitere Säule wirkt größer, obwohl nur die Höhe den Wert trägt.

  6. 6

    Schritt 5: Das Diagramm auswerten.

    Jetzt zahlt sich die Darstellung aus: Man sieht auf einen Blick, dass Fußball nicht nur vorn liegt, sondern mit 99 von 2424 Stimmen mehr als ein Drittel der Klasse überzeugt (ein Drittel wären 24:3=824 : 3 = 8 Stimmen), und dass zu Schwimmen ein deutlicher Abstand besteht.

    Genau das ist der Zweck eines Diagramms: Es zeigt Verhältnisse, die man einer Zahlenreihe nicht ansieht.

Rangliste: Fußball (9), Schwimmen (6), Reiten (4), Turnen (3), Basketball (2); Summe 2424 ✓. Das Säulendiagramm hat fünf gleich breite Säulen dieser Höhen, y-Achse von 00 bis 1010 in Einerschritten.

Ein Diagramm entlarven

Eine Werbung zeigt ein Säulendiagramm: „Unser Saft (Säule bis 52) schmeckt VIEL besser als Marke X (Säule bis 48)!" Die y-Achse beginnt bei 46. Bewerte die Darstellung.

  1. 1

    Was ist gesucht? Kein Rechenergebnis, sondern ein Urteil: Ist die Darstellung ehrlich?

    Gehe dabei immer in derselben Reihenfolge vor: erst die Achsen prüfen, dann die Zahlen, dann die Wirkung des Bildes vergleichen.

  2. 2

    Schritt 1: Die Achse prüfen.

    Die y-Achse beginnt bei 4646 statt bei 00. Gezeigt wird also nur der Ausschnitt von 4646 bis 5252, der untere Teil beider Säulen fehlt.

  3. 3

    Schritt 2: Die sichtbaren Höhen bestimmen.

    Von der Achse an gerechnet ragen die Säulen nur so weit:

    52−46=648−46=252 - 46 = 6 \qquad 48 - 46 = 2

    Im Bild ist die eine Säule damit dreimal so hoch wie die andere.

  4. 4

    Schritt 3: Den echten Unterschied bestimmen.

    52−48=452 - 48 = 4

    Bezogen auf Werte um die 5050 sind das etwa ein Zwölftel, also ein kleiner Unterschied.

  5. 5

    Schritt 4: Beides gegenüberstellen.

    • Was das Bild suggeriert: dreimal so gut
    • Was die Zahlen sagen: rund 8 % Unterschied

    Der Eindruck ist also stark übertrieben, und zwar allein durch die abgeschnittene Achse.

  6. 6

    Schritt 5: Fair urteilen.

    Wichtig: Die Werte im Diagramm sind nicht gefälscht. 5252 und 4848 stimmen.

    Getäuscht wird durch die Darstellung, nicht durch die Zahlen. Genau deshalb ist so ein Diagramm heimtückisch, wer nur die Säulen anschaut und nicht die Achse, merkt nichts.

    Richtig wäre: die Achse bei 00 beginnen zu lassen. Dann sähen die beiden Säulen fast gleich hoch aus, was der Wahrheit entspricht.

Die Darstellung ist irreführend: Die bei 4646 abgeschnittene Achse lässt einen Unterschied von 44 (rund 8 %8\,\%) wie das Dreifache aussehen. Die Zahlen stimmen, das Bild täuscht.

Typischer Fehler

Beim Zeichnen des Säulendiagramms werden die Säulen unterschiedlich breit gemacht, „die wichtigste Kategorie bekommt die dickste Säule".

Im Säulendiagramm trägt allein die Höhe die Information. Unterschiedliche Breiten lassen Säulen mit gleicher Höhe verschieden groß wirken und täuschen den Betrachter, derselbe Trick wie bei manipulativer Werbung. Fair ist: gleiche Breite, gleiche Abstände, Höhe = Häufigkeit.

Übung 1

leicht

Aus einer Strichliste: Hund |||| |||, Katze ||||, Hamster |||, Vogel ||. Erstelle die Häufigkeitstabelle mit Rangliste. Wie viele Kinder wurden befragt?

Tipp anzeigen

Ein Bündel = 5 Striche.

Lösung anzeigen

Hund: 8 · Katze: 5 · Hamster: 3 · Vogel: 2

Rangliste: 1. Hund (8), 2. Katze (5), 3. Hamster (3), 4. Vogel (2)

Befragte: 8+5+3+2=188 + 5 + 3 + 2 = 18 Kinder

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Strichliste auszählen

    Fünferbündel machen das Zählen sicher: Hund 5+3=85 + 3 = 8, Katze 55, Hamster 33, Vogel 22.

  2. 2

    Rangliste erstellen

    Nach Häufigkeit absteigend sortieren: 1. Hund (8), 2. Katze (5), 3. Hamster (3), 4. Vogel (2).

  3. 3

    Gesamtzahl der Befragten

    Jedes Kind hat (laut Aufgabe) genau ein Tier genannt, die Summe aller Striche zählt also die Kinder: 8+5+3+2=188 + 5 + 3 + 2 = 18.

Übung 2

mittel

Im Säulendiagramm der Klassenbücherei reichen die Säulen bis: Comics 12, Romane 9, Sachbücher 6, Krimis 3. a) Wie viele Bücher sind es insgesamt? b) Wie viele Bücher mehr als Krimis gibt es von der häufigsten Sorte? c) Welche Einteilung wählst du für die y-Achse?

Tipp anzeigen

c) Höchster Wert 12 → bis wohin sollte die Achse gehen?

Lösung anzeigen

a) 12+9+6+3=3012 + 9 + 6 + 3 = 30 Bücher

b) Comics (12) minus Krimis (3): 12−3=912 - 3 = 9 Bücher mehr

c) Achse von 0 bis mindestens 12 (z. B. bis 14), gleichmäßige Schritte: Einer- oder Zweierschritte bieten sich an.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Säulen ablesen und summieren

    Die Säulenhöhen sind die Anzahlen: 12+9+6+3=3012 + 9 + 6 + 3 = 30 Bücher insgesamt.

  2. 2

    b) Die richtige Differenz bilden

    Die häufigste Sorte sind Comics (1212), Krimis haben 33: 12−3=912 - 3 = 9 Bücher mehr.

  3. 3

    c) Achseneinteilung begründet wählen

    Die Achse muss bei 00 beginnen und mindestens bis 1212 reichen (z. B. bis 1414), mit GLEICHMÄSSIGEN Schritten: Einer- oder Zweierschritte passen gut.

Übung 3

schwer

Zwei Zeitungen zeigen dieselben Daten (Partei A: 31 %, Partei B: 29 %). Zeitung 1: y-Achse von 0 bis 35. Zeitung 2: y-Achse von 28 bis 32. a) In welcher Zeitung wirkt der Vorsprung von A dramatischer? b) Welche Darstellung ist fairer und warum? c) Wie groß ist der Unterschied wirklich?

Tipp anzeigen

Überlege, wie hoch die Säulen jeweils gezeichnet werden.

Lösung anzeigen

a) In Zeitung 2: Dort ragt Säule A um 31−28=331 - 28 = 3 Einheiten über die Achse, Säule B nur um 29−28=129 - 28 = 1. Im Bild wirkt A damit dreimal so hoch wie B, obwohl der echte Unterschied winzig ist.

b) Zeitung 1 ist fairer, ihre Achse beginnt bei 0, die Säulenhöhen entsprechen den echten Verhältnissen.

c) Nur 31−29=231 - 29 = 2 Prozentpunkte.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Die abgeschnittene Achse durchschauen

    In Zeitung 2 beginnt die Achse erst bei 2828: Säule A ragt 31−28=331-28 = 3 Einheiten darüber, Säule B nur 29−28=129-28 = 1. A WIRKT dreimal so hoch, der Vorsprung erscheint dramatisch.

  2. 2

    b) Fairness begründen

    Zeitung 1 ist fairer: Ihre Achse beginnt bei 00, die Säulenhöhen verhalten sich wie die echten Werte (3131 zu 2929, fast gleich hoch).

  3. 3

    c) Den echten Unterschied beziffern

    31−29=231 - 29 = 2 Prozentpunkte, mehr steckt nicht dahinter.

Zusammenfassung

Daten wandern von der Urliste über die Strichliste in die Häufigkeitstabelle und werden im Säulen- oder Balkendiagramm sichtbar. Faire Diagramme haben beschriftete Achsen, beginnen bei 0 und nutzen gleiche Säulenbreiten. Und als Datenprofi prüfst du bei fremden Diagrammen zuerst die Achsen, dort verstecken sich die Tricks.