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Information und Informatiksysteme

Digitalisierung: von der analogen Größe zum Bit

Wie aus einer stetigen Schallwelle eine Folge von Zahlen wird, und warum dabei immer etwas verloren geht.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Wenn du singst, bewegt sich die Luft. Der Druck steigt und fällt, ohne jeden Sprung, in jedem noch so kurzen Moment hat er einen Wert. Auf deinem Handy landet am Ende eine aus Nullen und Einsen.

Zwischen diesen beiden Zuständen liegt ein Verfahren, das die gesamte digitale Welt trägt: die Digitalisierung. Sie ist erstaunlich einfach zu verstehen, wenn man sie in zwei Schritte zerlegt. Und sie hat einen Preis, den man kennen muss, weil er erklärt, warum eine Aufnahme nie exakt das Original ist.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • analoge und digitale Größen unterscheiden und Beispiele aus dem Alltag zuordnen.

  • die beiden Schritte der Digitalisierung, Abtastung und Quantisierung, in eigenen Worten erklären.

  • begründen, warum bei der Digitalisierung grundsätzlich verloren geht.

  • abschätzen, wie Abtastrate und Auflösung Qualität und Speicherbedarf beeinflussen.

  • erklären, warum digitale trotzdem robuster sind als analoge.

Der Unterschied, um den es geht

Eine analoge Größe verläuft stufenlos: Zwischen zwei Werten liegen immer noch unendlich viele weitere. Temperatur, Luftdruck, die Zeigerstellung einer Uhr, die Helligkeit am Fenster sind analog.

Eine digitale Größe kennt nur endlich viele, klar getrennte Werte. Eine Digitaluhr springt von 14:07 auf 14:08, dazwischen gibt es nichts. Ein Lichtschalter kennt an und aus.

Ein Rechner kann nur mit endlich vielen, klar unterscheidbaren Zuständen arbeiten. Also muss jede analoge Größe erst umgewandelt werden. Das geschieht in zwei Schritten.

Nur noch ab und zu hinsehen

ZeitMessgröße9 Messwerte, dazwischen wird nichtsgespeichert

Die graue Kurve ist die wirkliche Größe. Sie hat zu jedem noch so kurzen Zeitpunkt einen Wert, und davon gibt es unendlich viele. Gespeichert werden aber nur die neun grünen Punkte. Die Stiele zeigen, zu welchem Zeitpunkt jeder Wert gehört. Zwischen zwei Punkten wird nichts gespeichert. Das ist keine Ungenauigkeit des Geräts, sondern die Grundentscheidung der Digitalisierung.

Schritt 1: Abtastung, also „nur noch hin und wieder hinsehen“

Statt den Wert ununterbrochen zu verfolgen, misst man ihn in regelmäßigen Zeitabständen. Aus einer durchgehenden Kurve wird dadurch eine Folge einzelner Messpunkte.

Wie oft pro Sekunde man misst, heißt Abtastrate und wird in Hertz angegeben. Eine Audio-CD tastet 44 100 Mal pro Sekunde ab.

Was passiert bei zu seltener Messung? Denk an eine Uhr, auf die du nur einmal pro Stunde schaust. Du siehst 3:00, dann 4:00, dann 5:00. Ob der Zeiger dazwischen vielleicht vor und zurück gelaufen ist, kannst du nicht mehr wissen. Genauso ist es beim Ton: Schnelle Änderungen zwischen zwei Messungen sind unwiederbringlich weg. Deshalb klingt eine zu selten abgetastete Aufnahme dumpf, denn hohe Töne ändern sich schnell.

Zwei Abtastraten im Vergleich

ZeitMessgröße4 Messwerte im selben ZeitfensterZeitMessgröße16 Messwerte im selben Zeitfenster

Oben und unten liegt dasselbe graue Signal. Verbindet man die Messwerte geradlinig, so, wie man es mit dem Lineal täte, folgt der grüne Zug unten dem Original fast überall; oben schneidet er die schnellen Ausschläge einfach ab. Der Unterschied liegt also nicht am Signal und nicht am Gerät, sondern allein daran, wie oft hingesehen wurde.

Schritt 2: Quantisierung, also „auf die nächste Stufe runden“

Jeder gemessene Wert ist immer noch eine beliebige Zahl, etwa 0,7183…0{,}7183\ldots. Speichern lässt sich aber nur eine begrenzte Auswahl. Also legt man eine feste Zahl von Stufen fest und rundet jeden Messwert auf die nächstgelegene.

Die Anzahl der Stufen heißt Auflösung. Bei 8 je Wert gibt es 28=2562^8 = 256 Stufen, bei 16 Bit schon 216=65 5362^{16} = 65\,536.

Anzahl der Stufen=2Bits je Messwert\text{Anzahl der Stufen} = 2^{\text{Bits je Messwert}}

Beim Runden entsteht zwangsläufig ein kleiner Fehler. Er heißt Quantisierungsfehler und lässt sich verkleinern, aber niemals auf null bringen: Endlich viele Stufen können nicht jeden der unendlich vielen Zwischenwerte treffen.

Runden auf 4 Stufen (2 Bit)

ZeitMessgröße4 Stufen: jeder Messwert wird aufdie nächste gerundet

Jetzt ist die Zeit erledigt und der Wert kommt dran: Speichern lässt sich nur eine der vier gestrichelten Stufen. Der Kreis sitzt auf dem gemessenen Wert, das Quadrat auf der Stufe, auf die gerundet wird, das orange Stück dazwischen ist der Quantisierungsfehler. Er ist bei jedem Messwert unterschiedlich groß und höchstens eine halbe Stufe hoch. Mit nur vier Stufen ist er absichtlich grob gezeichnet, damit man ihn sieht; eine Musik-CD benutzt 65 53665\,536 Stufen, und dann ist er zwar winzig, aber immer noch nicht null.

Der Preis und der Gewinn

Halten wir ehrlich fest, was das bedeutet:

  • Abtastung verliert alles, was zwischen zwei Messzeitpunkten geschieht.
  • Quantisierung verliert die Feinheit innerhalb einer Stufe.

Beides lässt sich verringern, indem man häufiger misst und mehr Stufen erlaubt. Beides kostet Speicherplatz. Digitalisierung ist deshalb immer ein Abwägen zwischen Genauigkeit und Aufwand, nie eine perfekte Kopie.

Warum macht man es trotzdem? Weil digitale einen entscheidenden Vorteil haben. Eine analoge Kassette wird bei jedem Kopieren rauschiger, denn jede Störung wird mitkopiert. Bei digitalen Daten muss ein Gerät nur unterscheiden, ob ein Wert eher der 0 oder eher der 1 entspricht. Kleine Störungen ändern daran nichts, also ist die tausendste Kopie einer für Bit identisch mit der ersten.

Drei Schritte zum Bitmuster

Abtastenin festen Abständen messenendlich viele ZeitpunkteQuantisierenauf eine erlaubte Stufe rundenendlich viele WerteCodierendie Stufe als Bitmusterschreiben

Die beiden Pfeilbeschriftungen sind der ganze Vorgang: Der erste Schritt macht die Zeit endlich, der zweite den Wert. Erst wenn beides endlich ist, gibt es überhaupt etwas, das man als Bitmuster hinschreiben kann. Deshalb steht das am Ende und nicht am Anfang.

Speicherbedarf ausrechnen

Der Bedarf ergibt sich direkt aus den beiden Stellschrauben:

Bits=Abtastrate×Bits je Wert×Dauer in Sekunden×Anzahl der Kana¨le\text{Bits} = \text{Abtastrate} \times \text{Bits je Wert} \times \text{Dauer in Sekunden} \times \text{Anzahl der Kanäle}

Diese Formel wirst du in mehreren Kapiteln wiedersehen, denn Bilder funktionieren genauso, nur dass dort statt der Zeit die Fläche abgetastet wird.

Speicherbedarf einer CD-Aufnahme

Eine Audio-CD verwendet 44 100 Hz Abtastrate, 16 je Messwert und 2 Kanäle (Stereo). Wie viel Speicher braucht eine Minute?

  1. 1

    Zuerst klären, woraus sich der Bedarf zusammensetzt. Bei Ton wird nicht ein Klang gespeichert, sondern eine Folge von Messwerten. Der Platz hängt deshalb an vier Größen: wie oft gemessen wird (Abtastrate), wie genau ein Messwert ist (Bit je Wert), wie lange aufgenommen wird und über wie viele Kanäle. Messwerte pro Sekunde und Kanal: 44 10044\,100.

  2. 2

    Bits pro Sekunde für beide Kanäle: 44 100×16×2=1 411 200 Bit44\,100 \times 16 \times 2 = 1\,411\,200\ \text{Bit}. Die 2 steht für Stereo, bei Mono entfiele sie, und der Bedarf wäre halb so groß. Jeder Faktor der Kette wirkt also unmittelbar auf das Ergebnis.

  3. 3

    Eine Minute hat 60 Sekunden: 1 411 200×60=84 672 000 Bit1\,411\,200 \times 60 = 84\,672\,000\ \text{Bit}.

  4. 4

    Umrechnen in , denn 1 Byte =8= 8 Bit: 84 672 000:8=10 584 000 Byte84\,672\,000 : 8 = 10\,584\,000\ \text{Byte}.

    Einheitenprobe: „Messwerte mal Bit je Messwert“ ergibt Bit, und erst „Bit geteilt durch Bit je Byte“ ergibt Byte. Wer die Einheiten mitschreibt, kann das Teilen durch 8 nicht vergessen, der häufigste Fehler dieser Aufgabenart.

  5. 5

    Das sind rund 10,610{,}6 Megabyte. Zum Vergleich: Eine CD fasst etwa 700 MB, also ungefähr 66 Minuten. Genau dafür wurde das Format entworfen.

Etwa 10,610{,}6 MB pro Minute.

Was passiert bei zu grober Auflösung?

Ein Temperatursensor misst zwischen 0 und 32 Grad. Er speichert jeden Wert mit 3 . Wie genau kann er messen und was bedeutet das praktisch?

  1. 1

    3 Bit ergeben 23=82^3 = 8 Stufen.

  2. 2

    Der Bereich ist 32 Grad breit, also ist eine Stufe 32:8=432 : 8 = 4 Grad groß.

  3. 3

    Gemessene 21,3 Grad und gemessene 23,9 Grad landen beide auf derselben Stufe (20 bis 24 Grad) und werden ununterscheidbar gespeichert.

  4. 4

    Praktisch heißt das: Der Sensor kann nicht erkennen, ob es im Zimmer angenehm oder schon zu warm ist. Für eine Heizungssteuerung ist er unbrauchbar.

  5. 5

    Mit 8 Bit wären es 256256 Stufen, also 32:256=0,12532 : 256 = 0{,}125 Grad je Stufe. Das reicht deutlich, kostet aber knapp dreimal so viel Speicher je Messwert.

3 Bit ergeben eine Genauigkeit von nur 4 Grad. Die Auflösung entscheidet, welche Unterschiede überhaupt sichtbar bleiben.

Typischer Fehler

„Wenn ich die Abtastrate hoch genug wähle, ist die digitale Aufnahme irgendwann exakt wie das Original.“

Die Richtung stimmt, die Schlussfolgerung nicht. Eine höhere Abtastrate macht den Abstand zwischen den Messpunkten kleiner, aber nie null. Und selbst wenn er null wäre, bliebe der zweite Verlust: Jeder gemessene Wert wird auf eine von endlich vielen Stufen gerundet.

Der Kern ist ein Mengenargument. Zwischen 20,0 und 20,1 Grad liegen unendlich viele Werte. Endlich viele Stufen können unendlich viele Werte nicht einzeln abbilden, egal wie viele Stufen man nimmt. „Beliebig genau“ ist erreichbar, „exakt“ nicht.

Merke die Formulierung: Digitalisierung kann den Fehler unter jede gewünschte Schwelle drücken. Sie kann ihn nicht beseitigen.

Übung 1

leicht

Ordne zu: analog oder digital?

a) Quecksilberthermometer b) Anzahl der Schüler in der Klasse c) Lautstärke eines Konzerts d) Seitenzahl in einem Buch e) Zeigerstellung eines Tachos

Tipp anzeigen

Frage: Gibt es zwischen zwei Werten immer noch einen weiteren?

Lösung anzeigen

a) analog (die Quecksilbersäule steigt stufenlos) b) digital (zwischen 27 und 28 Schülern gibt es nichts) c) analog (Schalldruck verläuft stufenlos) d) digital (es gibt keine Seite 14,7) e) analog (der Zeiger kann jede Zwischenstellung einnehmen)

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Das Unterscheidungsmerkmal festlegen: die Zwischenwerte

    Das Merkmal ist nicht „Technik oder Natur“ und auch nicht „Bildschirm oder Zeiger“. Entscheidend ist allein: Gibt es zwischen zwei benachbarten Werten immer noch einen weiteren? Ja heißt analog (stufenlos), nein heißt digital (in Stufen).

  2. 2

    a), c) und e): die stufenlosen Größen

    Die Quecksilbersäule steigt ohne Sprünge, zwischen 21,321{,}3 und 21,421{,}4 Grad liegt 21,3521{,}35 Grad. Der Schalldruck eines Konzerts verläuft ebenso stufenlos, und der Tachozeiger kann jede Zwischenstellung einnehmen. Alle drei sind analog.

  3. 3

    b) und d): die abzählbaren Größen

    Zwischen 27 und 28 Schülern gibt es nichts, und eine Seite 14,7 existiert in keinem Buch. Beide Größen können nur einzelne, klar getrennte Werte annehmen und sind damit digital.

  4. 4

    Gegenprobe mit einem Grenzfall

    Zur Kontrolle prüft man einen Fall, der beides berührt: Geld. Ein Betrag in Euro kennt keinen Zwischenwert unter einem Cent, ist also digital, obwohl er sich anfühlt wie eine gewöhnliche Größe. Umgekehrt bleibt die Temperatur analog, auch wenn ein Digitalthermometer sie in Stufen anzeigt.

Übung 2

mittel

Ein Sprachaufnahmegerät nimmt mit 8000 Hz und 8 je Wert in Mono auf.

a) Wie viele Stufen stehen je Messwert zur Verfügung? b) Wie viel Speicher braucht eine Aufnahme von 5 Minuten in Kilobyte? c) Die Aufnahme klingt dumpf. Welche der beiden Einstellungen ist dafür verantwortlich, und warum?

Tipp anzeigen

Zu c): Dumpf heißt „hohe Töne fehlen“. Hohe Töne sind schnelle Schwingungen.

Lösung anzeigen

a) 28=2562^8 = 256 Stufen.

b) Bits gesamt: 8000×8×300=19 200 0008000 \times 8 \times 300 = 19\,200\,000 Bit. In : 19 200 000:8=2 400 00019\,200\,000 : 8 = 2\,400\,000 Byte, also 2400 Kilobyte (rund 2,3 MiB).

c) Verantwortlich ist die Abtastrate. Hohe Töne sind schnelle Druckänderungen; wer nur 8000 Mal pro Sekunde misst, erfasst Schwingungen oberhalb von 4000 Hz nicht mehr zuverlässig. Genau diese hohen Anteile machen einen Klang hell, also fehlt Helligkeit. Die 8 Bit Auflösung erzeugen zwar Rauschen, aber keine Dumpfheit.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Teil a): Stufen aus Bits berechnen

    Jedes Bit kann zwei Zustände annehmen. Zwei Bit ergeben vier Kombinationen, drei Bit acht. Bei jedem zusätzlichen Bit verdoppelt sich die Anzahl, also ist sie eine Zweierpotenz.

    2^8 = 256

    Zwischenergebnis

    256 Stufen je Messwert.

  2. 2

    Teil b): Erst alles in Bit

    Der Speicherbedarf ist das Produkt aus Messwerten pro Sekunde, Bits je Messwert und Dauer. Mono heißt ein Kanal, also entfällt der Faktor für die Kanäle.

    8000\ \tfrac{1}{\text{s}} \times 8\ \text{Bit} \times 300\ \text{s} = 19,200,000\ \text{Bit}

    Zwischenergebnis

    19 200 000 Bit

    5 Minuten sind 5×60=3005 \times 60 = 300 Sekunden. Diese Umrechnung zuerst zu machen, verhindert den häufigsten Fehler.

  3. 3

    Teil b): Umrechnen in Kilobyte

    Gespeichert wird in Byte, und ein Byte fasst 8 Bit. Erst am Ende zu teilen ist bequemer, weil dann nur eine Division nötig ist.

    19,200,000 : 8 = 2,400,000\ \text{Byte} = 2400\ \text{kB}

    Zwischenergebnis

    2400 Kilobyte

  4. 4

    Teil c): Welche Einstellung erzeugt Dumpfheit?

    Hier hilft es, beide Verluste getrennt zu betrachten. Die Auflösung wirkt auf die Feinheit einzelner Werte; ist sie zu grob, hört man Rauschen. Die Abtastrate wirkt auf die Geschwindigkeit der Änderungen; ist sie zu klein, gehen schnelle Änderungen verloren. Ein heller Klang besteht gerade aus schnellen Schwingungen.

    Zwischenergebnis

    Die Abtastrate ist die Ursache.

Übung 3

schwer

Eine Wetterstation soll die Temperatur zwischen −30-30 und +50+50 Grad aufzeichnen, und zwar auf 0,50{,}5 Grad genau.

a) Wie viele Stufen werden mindestens gebraucht? b) Wie viele je Messwert sind nötig? c) Bei einer Messung alle 10 Minuten: Wie viele fallen in einem Jahr an, wenn jeder Messwert auf volle Byte aufgerundet gespeichert wird? d) Begründe, warum eine Messung jede Sekunde für diesen Zweck kaum zusätzliche brächte.

Tipp anzeigen

Zu b): Suche die kleinste Zweierpotenz, die mindestens so groß ist wie deine Stufenzahl.

Lösung anzeigen

a) Der Messbereich ist 50−(−30)=8050 - (-30) = 80 Grad breit. Bei 0,50{,}5 Grad je Stufe: 80:0,5=16080 : 0{,}5 = 160 Stufen.

b) 27=1282^7 = 128 reicht nicht, 28=2562^8 = 256 reicht. Also 8 Bit, das ist genau 1 Byte.

c) Messungen pro Tag: 24×6=14424 \times 6 = 144. Pro Jahr: 144×365=52 560144 \times 365 = 52\,560 Messwerte, also 52 560 Byte, rund 51 KiB. Das passt problemlos auf jeden Speicherchip.

d) Die Lufttemperatur ändert sich sehr langsam; innerhalb einer Sekunde bleibt sie praktisch gleich. Die zusätzlichen 599 Messwerte je 10 Minuten wären fast alle identisch mit ihren Nachbarn und brächten deshalb kaum Wissenszuwachs, kosteten aber 600 Mal so viel Speicher. Die Abtastrate muss zur Änderungsgeschwindigkeit der Größe passen, nicht zum technisch Machbaren.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Vom Messbereich zur Stufenzahl

    Zuerst die Breite des Bereichs bestimmen. Hier ist die Falle die negative Untergrenze: 50−(−30)=8050 - (-30) = 80 Grad, nicht 20. Diese 80 Grad werden in Schritte von 0,50{,}5 Grad zerlegt.

    80:0,5=16080 : 0{,}5 = 160

    Zwischenergebnis

    160 Stufen.

  2. 2

    b) Von der Stufenzahl zur Bitzahl: aufrunden, nicht runden

    Gesucht ist die kleinste Zweierpotenz, die mindestens 160 erreicht. 27=1282^7 = 128 ist zu klein, 28=2562^8 = 256 reicht. Also 8 Bit, und das ist zufällig genau 1 Byte.

    Zwischenergebnis

    8 Bit je Messwert.

  3. 3

    c) Vom Messtakt zur Jahresmenge

    Alle 10 Minuten heißt 6 Messungen je Stunde, also 24⋅6=14424 \cdot 6 = 144 je Tag und 144⋅365=52 560144 \cdot 365 = 52\,560 im Jahr. Da jeder Messwert auf volle Byte aufgerundet 1 Byte belegt, sind das 52 560 Byte, rund 51 KiB.

    52 560⋅1 Byte=52 560 Byte52\,560 \cdot 1\,\text{Byte} = 52\,560\,\text{Byte}

    Zwischenergebnis

    Rund 51 KiB im Jahr.

  4. 4

    d) Die Abtastrate muss zur Änderungsgeschwindigkeit passen

    Die Lufttemperatur ändert sich sehr langsam; innerhalb einer Sekunde bleibt sie praktisch gleich. Die zusätzlichen 599 Messwerte je 10 Minuten wären fast alle mit ihren Nachbarn identisch, brächten also kaum Wissenszuwachs, kosteten aber 600-mal so viel Speicher.

Zusammenfassung

Analoge Größen verlaufen stufenlos, digitale kennen nur endlich viele getrennte Werte. Die Umwandlung geschieht in zwei Schritten: Die Abtastung misst in festen Zeitabständen und verliert alles dazwischen, die Quantisierung rundet jeden Messwert auf eine von 2n2^n Stufen und verliert die Feinheit innerhalb einer Stufe. Beide Verluste lassen sich beliebig klein machen, aber nicht beseitigen. Höhere Abtastrate und feinere Auflösung bedeuten mehr Qualität und mehr Speicher; der Bedarf ergibt sich als Produkt aus Abtastrate, je Wert, Dauer und Kanälen. Der Gewinn ist die verlustfreie Kopierbarkeit, denn ein Gerät muss nur entscheiden, ob ein Signal eher 0 oder eher 1 bedeutet.