Halbwertszeit: das Würfel-Modell

Radioaktiver Zerfall ist Zufall ohne Gedächtnis: Jeder Kern hat in jedem Zeitabschnitt dieselbe Zerfallswahrscheinlichkeit, egal wie alt er ist. Das Würfel-Modell bildet genau diese Eigenschaft ab (Chance 1/6 pro Runde, unabhängig von der Vorgeschichte) und erzeugt daraus die Exponentialkurve mit ihrer Kennzahl, der Halbwertszeit. Das ist die Zeit, in der die Hälfte des Bestands zerfällt: immer wieder die Hälfte, nie „der Rest“.

Die Halbwertszeit realer Nuklide kann kein Schulversuch abwarten. Das Modell macht den Mechanismus in zwanzig Minuten erlebbar und beantwortet die Frage, an der die meisten scheitern: Wie kann aus regellosem Einzelzufall ein exaktes Gesetz werden? Wer die Würfelkurve selbst gebaut hat, versteht C-14-Datierung, Aktivitätsabnahme und die Aussage „nach zehn Halbwertszeiten ist noch ein Tausendstel übrig“ aus dem Mechanismus heraus.

Rutherford und Soddy fanden das Zerfallsgesetz 1902 empirisch. Dass dahinter echter Zufall steckt und kein verborgener Mechanismus, der „reife“ Kerne auswählt, wurde erst mit der Quantenphysik klar; Einstein nannte es widerstrebend „Würfeln“. Libby machte 1949 aus der C-14-Halbwertszeit (5730 Jahre) die Radiokarbon-Uhr der Archäologie, Nobelpreis 1960. Ötzis Alter (5300 Jahre) steckt in genau unserer Kurve.

Wirf 600 Würfel, entferne alle Sechser, notiere den Bestand: 10 Runden lang. Vergleiche mit der (5/6)-Vorhersage, lies die Halbwertszeit an zwei Halbierungen ab und deute die Abweichungen.

Vor Runde 1 den Startbestand wirklich zählen, nicht der Packung glauben. Die ausgeschiedenen Würfel kommen in eine separate Schale; sie liefern als Kontrolle die „Aktivität“, also die Zerfälle pro Runde.

Wanne mit Würfeln, Aussortier-Schale; daneben Achsenkreuz Bestand über Rundenzahl mit erwarteter Treppen-Exponentialkurve und den Halbierungsmarken bei 3,8 und 7,6.

Aufbau: 600 Spielwürfel (gesammelt aus Spielesammlungen; ersatzweise 300 mit verdoppelten Runden-Deutungen), große Wanne oder Tischfläche zum Werfen, Becher zum Schöpfen, Strichliste; alternativ Münzen (Wahrscheinlichkeit ½: schnellere, gröbere Kurve).

In jeder Runde: alle verbliebenen Würfel werfen, die Sechser aussortieren und zählen, den Restbestand notieren. Nach 10 Runden die Kurve zeichnen, und zwar für den Bestand und für die Ausgeschiedenen je Runde.

Kein Messwert trifft die Erwartung genau, aber keiner verfehlt sie um mehr als etwa 8. Die Kurve „zittert“ um die Vorhersage, folgt ihr aber unübersehbar.

Das Gesetz besteht den Test: Die gezählte Kurve schmiegt sich an $600 \cdot (5/6)^k$ an, und die Abweichungen bleiben im $\sqrt{N}$-Rahmen (bei rund 100 Zerfällen pro Runde etwa ±10). Der Einzelwürfel bleibt unberechenbar, der Bestand nicht. Aus 600 gedächtnislosen Zufällen ist ein quantitatives Gesetz geworden, dieselbe Verwandlung, die schon das Statistik-Experiment am Zählrohr zeigte, hier nun als ganze Kurve.

Die Kernprüfung, die Konstanz der Halbwertszeit: Der Bestand kreuzt 300 zwischen Runde 3 und 4 (351 → 297), also bei $k \approx 3{,}8$, und 150 zwischen Runde 7 und 8 (172 → 145), also bei $k \approx 7{,}6$. Von 600 auf 300 dauerte es genauso lang wie von 300 auf 150. Die Halbierungszeit hängt nicht vom Bestand ab, und genau das unterscheidet die Exponentialkurve von jedem gleichmäßigen Schwund. Ein linear schrumpfender Bestand wäre nach einer festen Zeit weg; der exponentielle halbiert sich nur, immer wieder. Nach 10 Halbwertszeiten (38 Runden) wäre rechnerisch noch gut ein halber Würfel da. Praktisch fällt irgendwann der letzte, aber ein „Ende nach Plan“ gibt es nicht.

Vom Modell zum Nuklid, und zur C-14-Uhr: Ersetze „Runde“ durch ein festes Zeitintervall und „1/6“ durch die Zerfallskonstante des Nuklids, fertig ist das reale Zerfallsgesetz $N = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$. C-14 hat $T_{1/2} = 5730$ Jahre. Ein Fund mit 25 % des ursprünglichen C-14-Gehalts liegt bei zwei Halbwertszeiten, also 11 460 Jahren. Die Archäologie liest das Alter an unserer Kurve ab, nur rückwärts. Die Würfel zeigen auch die Grenze der Methode: Bei sehr alten Funden mit vielen Halbwertszeiten ist der Restbestand so klein, dass die √N-Streuung das Signal frisst. Die C-14-Datierung endet praktisch bei rund 50 000 Jahren, nicht weil die Kurve endet, sondern weil die Statistik es tut.

Der Würfelbestand folgt $600 \cdot (5/6)^k$ mit einer konstanten Halbwertszeit von 3,8 Runden (Halbierungen bei k ≈ 3,8 und 7,6). Aus gedächtnislosem Einzelzufall entsteht das exponentielle Zerfallsgesetz, das Fundament von Aktivitätsrechnung und C-14-Datierung, im Modell ehrlich erwürfelt.

Beim Modellexperiment sind die wichtigsten „Fehler“ Deutungsfehler: